精品解析：广东省广州市广东仲元中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

2025届高三数学月考试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　) A. －15x4 B. 15x4 C. －20ix4 D. 20ix4 3. 设、，若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为，充放电次数达到1000次的概率为.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电1000次的概率为（ ） A 0.324 B. 0.36 C. 0.4 D. 0.54 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将离心率为的双曲线的实半轴长a和虚半轴长b（）同时增加m（）个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（　　） A. 对任意a，b， B. 当时，；当时， C. 对任意的a，b， D. 当时，；当时， 8. ，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A. B. C. D. 二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分． 9. 年月日国家统计局发布了制造业采购经理指数（）,如下图所示: 下列说法正确的是（ ） A. 从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的第百分位数为 B. 从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的极差为 C. 从年月到年月制造业采购经理指数（）呈下降趋势 D. 大于表示经济处于扩张活跃的状态;小于表示经济处于低迷萎缩的状态,则年月到年月,经济处于扩张活跃的状态 10. 已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（ ） A. 双曲线方程为 B. 的面积为 C. 以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D. 以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切 11. 如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的值最小 B 当时， C. 若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D. 直线与平面所成角的正弦值是 三．填空题:本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2025，则该数列的首项为________． 13. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______． 14. 为求方程的虚根，可把原式变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为______________. 四、解答题:本题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 如图，为平面四边形的四个内角. （1）证明：； （2）若，，，，，求的值. 16. 已知等比数列的公比，，且，，成等差数列，数列满足：，． （1）求数列和的通项公式． （2）若恒成立，求实数的最小值． 17. 已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且． （1）求证：平面平面； （2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 18. 如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，两点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时， （1）求的值； （2）若直线AB在y轴上的截距，求面积的最大值． 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出n维“立方体”顶点数； （2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学月考试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断. 【详解】当时，， 当时，， 所以. 故选：A 2. 设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　) A. －15x4 B. 15x4 C. －20ix4 D. 20ix4 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A. 【考点】二项展开式，复数的运算 【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为． 3. 设、，若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断出各选项的正误. 【详解】，，，则， ， 所以，A、B、C选项错误，D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查利用不等式的基本性质判断不等式的正误，考查推理能力，属于基础题. 4. 若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 5. 近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为，充放电次数达到1000次的概率为.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电1000次的概率为（ ） A. 0.324 B. 0.36 C. 0.4 D. 0.54 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知事件的概率，应用条件概率的计算公式，求新能源汽车已经经过了800次的充放电能够达到充放电100次的概率即可. 【详解】设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1000次”， 由题设知：， ∴某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电1000次的概率为：. 故选：C. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，进而可得，再根据两角差的余弦公式化简求出的关系，即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：B. 7. 将离心率为的双曲线的实半轴长a和虚半轴长b（）同时增加m（）个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（　　） A. 对任意的a，b， B. 当时，；当时， C. 对任意的a，b， D. 当时，；当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式，讨论、，结合作差法比较大小，即可得离心率的大小. 【详解】由题设，，且， 当，则（），得，即， 同理可得，当时，有. 故选：D 8. ，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，分析函数的单调性，则所求不等式即为，可得出，由参变量分离法可得出对恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出正实数的最大值. 【详解】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数上单调递增， 利用单调性并根据可得，则有， 又，即可得，即对恒成立，因此即可， 令，，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，因此正实数的最大值是. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分． 9. 年月日国家统计局发布了制造业采购经理指数（）,如下图所示: 下列说法正确的是（ ） A. 从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的第百分位数为 B. 从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的极差为 C. 从年月到年月制造业采购经理指数（）呈下降趋势 D. 大于表示经济处于扩张活跃的状态;小于表示经济处于低迷萎缩的状态,则年月到年月,经济处于扩张活跃的状态 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据折线图中的数据,结合极差、平均数、百分位数定义与计算方法逐一判断即可. 【详解】由图知,从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）从小到大的顺序为,因为,所以第百分位数为第个数,即为,故A正确; 从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的最大值为,最小值为,所以极差为,故B正确; 由图易知制造业采购经理指数（）有升有降,故C错误; 由图知年月到年月PMI均大于,所以经济处于扩张活跃的状态,故D正确. 故选:ABD. 10. 已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（ ） A. 双曲线的方程为 B. 的面积为 C. 以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D. 以为直径圆与以实轴为直径的圆相切 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线定义结合为等边三角形得，，由余弦定理得 ，进而求出方程为判断选项A；求出判断选项B；利用两圆相切的几何意义可判断选项C、D. 【详解】由已知得，由双曲线定义知：， 因为，所以，故，， 在中，由余弦定理得：， 解得：，所以，方程为，A错误. 的面积为，B正确. 取的中点，，两圆内切，故C错误. 取的中点，则，两圆外切，故D正确. 故选：BD 11. 如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的值最小 B 当时， C. 若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D. 直线与平面所成角正弦值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A,B，建立空间直角坐标系，利用向量运算可判断；对于C，构造圆锥．母线与中轴线夹角为，然后用平面去截圆锥，根据椭圆定义可判断；对于D，易知是与平面所成的角，可判断得解. 【详解】对于A选项，建立如图1所示的空间直角坐标系， 设，则． 设，则． ， ， ， 当，即时，的值最小，故A正确． 对于B选项，， ， ，故B正确． 对于C选项，如图2所示构造圆锥．母线与中轴线的夹角为，然后用平面去截圆锥， 使直线与平面的夹角为，则截口为点的轨迹图形， 由圆锥曲线的定义可知，点的轨迹为椭圆，故C正确． 对于D选项，直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角． 是与平面所成的角，又，则，故D不正确． 故选：ABC． 三．填空题:本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2025，则该数列的首项为________． 【答案】-5 【解析】 【分析】设首项为，利用中位数的定义求解即可. 【详解】设首项为，则，解得. 故答案为：. 13. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率. 【详解】由题意得， 由正弦定理得，故， 由椭圆定义可知，， 故， 又， 由余弦定理得 ， 即，解得， 故， 解得， 因为，所以，解得. 故答案为： 14. 为求方程的虚根，可把原式变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为______________. 【答案】或 【解析】 【分析】由，对比系数得，解出即可得出． 【详解】， 对比系数得， 解得，或， 所以原方程的虚根为， 故原方程的一个虚根的实部为，或． 故答案为：或． 四、解答题:本题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 如图，为平面四边形的四个内角. （1）证明：； （2）若，，，，，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得解； （2）化简得到.连结，利用余弦定理，可求得，.连结，同理可得，，即得解. 【详解】解：（1） （2）由，得，. 由（1），有 连结，在中，有 在中，有 所以 则 于是. 连结，同理可得 于是 所以. 16. 已知等比数列的公比，，且，，成等差数列，数列满足：，． （1）求数列和的通项公式． （2）若恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（I）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得，再将换为，两式相减可得 ； （2）若恒成立，即为的最大值，由，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到的最小值． 【小问1详解】 设， 因为，，成等差数列，所以， 即，又， ∴， ∴， 又∵， 而 ，， ∴有， ∴，， 当时，，，也符合上式， 故． 【小问2详解】 若恒成立， 即：最大值， 记，时，， ， 当，，，时，， 当时， 当时， 即：或时，最大为． 即，所以最小为． 17. 已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且． （1）求证：平面平面； （2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）不妨设，根据线面垂直的性质证明，利用勾股定理证明，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 不妨设， 因为平面平面，故， 在中，， 由余弦定理，， 得，故，则， 因为平面，所以平面， 而平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系， 则， 故， ，所以， 设，则，即， 所以； 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，所以， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得，故． 18. 如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，两点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时， （1）求的值； （2）若直线AB在y轴上的截距，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由倾斜角互补可知，即，由，代入得； （2）利用点差法求得，设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程利用弦长公式和点到直线距离公式计算面积，再利用导数求最值. 【小问1详解】 由抛物线过点，得， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 由倾斜角互补可知，即， 由，代入得． 【小问2详解】 设直线的斜率为，由，得， 由（1）得，将其代入上式得． 因此设直线的方程为，由，消去得， 由，得， 这时， ，又点到直线的距离为， 所以， 令，则由，得或， 当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 故的最大值为，故面积的最大值为． 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出n维“立方体”的顶点数； （2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 【答案】（1） （2）①分布列见解析，；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时， 且，则可认为方差． 【小问1详解】 对于n维坐标有两种选择（）． 故共有种选择，即个顶点 【小问2详解】 ①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同， 即，剩下个坐标值满足． 此时所对应情况数为种． 即 故分布列为： 1 2 … … 数学期望 倒序相加得 即． ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为． 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认为方差． I．：当时，有 即． II． 当n足够大时，有 当时， 当时， 故． 综上所述，可以认为． 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何新定义和排列组合，概率，分布列，正态分布相结合的综合应用问题，属于难题，本题的关键是理解题意，能正确理解随机变量取值的意义，并能利用正态分布的意义，进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$