精品解析：广东省汕头市金平区2024-2025学年上学期九年级教学质量检测数学试卷

2024～2025学年度第一学期九年级教学质量监测 数学试卷 说明：本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为2，，则点A在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 5. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 7. 中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（ ） A B. C. D. 9. 如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点，关于原点对称，则_____ 12. 成语是中华文化瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“刻舟求剑”描述的事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 13. 若关于x的方程的两根为，则_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是_______． 15. 如图，为半圆O直径，点C在半圆上一动点（与A、B不重合）．将绕点A逆时针旋转得，连接．若，则的最小值为_____． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个． （1）先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出的球是黑球”为必然事件，求m的值； （2）先从袋子中取出n个红球，再放入n个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求n的值． 17. 为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调，某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，求改药品平均每次降价的百分率？ 18. 阅读与思考 请仔细阅读，并完成任务． 小明学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了如何用尺规过圆上一点作圆的切线，怎样用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，他想出了一种作法．具体如下（已知点P是外的一点）： 作法（如图）： （1）连接，作线段的垂直平分线，交于点A； （2）以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点B； （3）作直线，则直线是的切线． 证明： 任务：请你帮小明写出证明过程． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． （1）求证：； （2）当四边形为菱形时，求的长． 20. 如图，在直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点M、N，连接、、． （1）证明：； （2）若，求k的值． 21 综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标的值． 五．解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． （1）证明：平分； （2）若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 23. 如图1，抛物线的顶点A坐标为． （1）求抛物线的解析式 （2）如图2，点在y轴上．点在x轴上，轴，交抛物线于点D．求证：； （3）在（2）的条件下，轴，交直线于点E．将绕点E顺时针旋转得到线段．若线段与抛物线只有一个公共点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第一学期九年级教学质量监测 数学试卷 说明：本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握其定义和表示形式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”及表示形式“”进行判定即可求解． 【详解】解：A、，含有一个未知数，不符合题意； B、，含有两个未知数，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、方程中不是整式，不符合题意； 故选：C ． 2. 已知的半径为2，，则点A在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内， （d即点到圆心的距离，即圆的半径）判断即可． 【详解】解：的半径为2，， ∴点A在内． 故选：A． 3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 5. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由顶点坐标可设抛物线解析式为，再根据抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同可得得到即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故选：D． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式解答即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴ 故没有实数根， 故选：B． 7. 中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：(弧长为，圆心角度数为，圆的半径为)是解题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为：． 故选：A． 8. 某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设拱桥的圆心为，连接、，设拱桥的半径为，由垂径定理可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径． 【详解】解：如图，设拱桥的圆心为，连接、， 设拱桥的半径为， 由题意可得：，，， 则， ， 在中，根据勾股定理，可得： ， 即：， 解得：， 故选：． 9. 如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算，结合电路图进行分析时解题关键．由电路图可知，随机闭合两个开关，可有三种可能，其中能使小灯泡发光的有2种可能结果，即可获得答案． 【详解】解：由电路图可知，随机闭合两个开关，可有三种可能， 闭合开关，小灯泡发光， 闭合开关，小灯泡发光， 闭合开关，小灯泡不发光， 所以，随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为． 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的图象，得，根据函数图象分布性质解答即可． 本题考查了函数图象的分布，熟练掌握分布规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，抛物线开口向上，故， 抛物线与y轴交于负半轴， 故， 由抛物线的对称轴在原点的左侧， 故， 故， 故的图象经过一、三、四象限，的图象经过二、四象限， 故选：B． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点，关于原点对称，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据原点对称的两个点，横坐标，纵坐标分别互为相反数，解答即可． 本题考查了点的对称，熟练掌握对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据点，关于原点对称， 得， 故． 故答案为：． 12. 成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“刻舟求剑”描述的事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 【答案】不可能 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，理解并掌握“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”的概念是解题的关键． 随机事件：指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；必然事件：在一定的条件下重复进行试验时必然会发生的事件；根据上述概念辨析即可求解． 【详解】解：成语“刻舟求剑”描述的事件是不可能事件， 故答案为：不可能 ． 13. 若关于x的方程的两根为，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．根据一元二次方程的根与系数关系可知，，将算式的值代入中即可求解． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， 则． 故答案为：2． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在函数的图象上，点是矩形内的一点，连接，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，过点作于点，作于点，有矩形的性质得到，，根据题意可得，，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵顶点在函数的图象上， ∴， ∵点是矩形内的一点， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 15. 如图，为半圆O的直径，点C在半圆上一动点（与A、B不重合）．将绕点A逆时针旋转得，连接．若，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得，结合，得，设中点为M，则，结合，得点E的运动轨迹是以中点M为圆心，以为半径的半圆上，利用圆的性质，勾股定理解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质，得， ∵， ∴， 设中点为M， ∴， ∵， ∴点E的运动轨迹是以中点M为圆心，以为半径的半圆上， 连接交于点N， ∴， 根据旋转的性质，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据圆的性质，得当点E与点N重合时，取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，熟练掌握勾股定理，圆的有关性质是解题的关键． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个． （1）先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出的球是黑球”为必然事件，求m的值； （2）先从袋子中取出n个红球，再放入n个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求n的值． 【答案】（1）4 （2）2 【解析】 【分析】本题考查概率问题，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率；掌握概率的计算公式以及准确理解题意是解答本题的关键． （1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件； （2）利用概率公式列出方程，求得的值即可． 【小问1详解】 解：若事件为必然事件，则袋中应全为黑球，即摸出4个红球后，摸到黑球是必然事件； 的值为4． 【小问2详解】 摸出1个黑球的概率等于, , 解得： 17. 为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调，某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，求改药品平均每次降价的百分率？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或下降率）问题的数量关系，结合题意列方程． 设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意列方程得：， 解得：（舍去）， 则该药品平均每次降价的百分率为， 答：该药品平均每次降价的百分率为． 18. 阅读与思考 请仔细阅读，并完成任务． 小明学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了如何用尺规过圆上一点作圆的切线，怎样用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，他想出了一种作法．具体如下（已知点P是外的一点）： 作法（如图）： （1）连接，作线段的垂直平分线，交于点A； （2）以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点B； （3）作直线，则直线是的切线． 证明： 任务：请你帮小明写出证明过程． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，三角形内角和定理等，连接，利用线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，切线的判定证明即可． 【详解】证明：如图，连接． 由作图可知， ∴． 在中，∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． （1）求证：； （2）当四边形为菱形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，可证，由此即可求解； （2）根据菱形的性质得到，，为等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵由绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键． 20. 如图，在直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点M、N，连接、、． （1）证明：； （2）若，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得，，，，，得到，然后证明出即可； （2）如图所示，过点O作于点H，根据题意证明出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形的边长为2， 依题意，得，，， 则，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点O作于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21. 综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标的值． 【答案】（1） （2） （3）18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标的值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）如图（见解析），先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）求出当时，的值，再结合函数图象即可得； （3）根据种植苗木的要求可得在距离轴的两侧开始种植，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，由题意得：，，，， ∴， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，则， 解得或， 在图象中标出如下： 结合函数图象可知，当时，种植点的横坐标的取值范围为． 小问3详解】 解：∵为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）， ∴在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植的数量为（棵）， ∴最左边一棵苗木种植点的横坐标， 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标的值为． 五．解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． （1）证明：平分； （2）若平分， ①当时，求长； ②设，直接写出与的函数关系式． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，根据等弧或同弧所对圆周角相等得到，，则有，由此即可求解； （2）①如图，作，垂足为，可证，得到，再证，得到，则，根据为的直径，平分，得到，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解； ②根据为的直径，平分，得到，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，则都是等腰直角三角形，根据锐角三角函数的计算得到，再证明，得到，，由，得到即可求解． 【小问1详解】 证明：由圆内接四边形的性质可知， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：①如图，作，垂足为， ∵，平分（已证）， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴； ②∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，直径或半圆所对圆周角为直径，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，锐角三角函数的计算等知识的综合运用，掌握圆与四边形，三角形的综合运用，数形结合思想是解题的关键． 23. 如图1，抛物线的顶点A坐标为． （1）求抛物线的解析式 （2）如图2，点在y轴上．点在x轴上，轴，交抛物线于点D．求证：； （3）在（2）的条件下，轴，交直线于点E．将绕点E顺时针旋转得到线段．若线段与抛物线只有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题这一天考查了求抛物线解析式、二次函数及其图象的性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点式求解即可； （2）由题意可得：，即可，再根据两点间距离公式可得即可证明结论； （3）由题意可得E点坐标为，如图：将绕点E 顺时针旋转得到线段，则、，即、；然后分别把两点代入抛物线解析式即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点A坐标为， ∴，即． 【小问2详解】 解：∵轴，，点D在抛物线上， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由题意可得E点坐标为． 如图，将绕点E 顺时针旋转得到线段． ∴，． ∴，． 当抛物线上时， ∴．解得：． 当在抛物线上时， ∴．解得：． ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$