精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

石嘴山三中2024—2025学年第一学期高二年级期末数学试题 命题人：司玉丽 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式 【详解】正负相间用表示，∴． 故选D． 【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律． 2. 已知等差数列的前n项和为，=5，则=（ ） A. 5 B. 25 C. 35 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差中项及等差数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，为等差数列， 所以 故选：B 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导函数图象确定和的区间，确定的递增和递减区间，得到答案. 【详解】由导函数图象可知，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， D正确，其他选项不合题意. 故选：D 4. 设是可导函数，且，则（ ） A. B. -1 C. 0 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据导数定义，即可求出． 【详解】试题分析：因为 所以， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于基础题． 5. 已知数列，满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出的前4项，得到的周期，从而得到答案. 【详解】，，，，……， 故为周期数列，一个周期为3， 故. 故选：C 6. 已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等差数列的性质以及前项和公式即可求解. 【详解】由， . 故选：D 7. 设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.若，且，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得，利用双曲线的定义以及可求得，，再利用余弦定理可得出的值，由此可求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以，， ，， ，可得，，所以，， 由已知可得，解得， 由余弦定理可得， 即，则，即，， 因此，双曲线的渐近线方程为，即. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路： （1）转化已知条件，得到、、中任意两个量的等量关系； （2）若得到、的等量关系，则渐近线方程可得；若已知、或、之间的等量关系，结合可求得的值，则渐近线方程可求. 8. 已知函数（），正项等比数列满足，则 A. 99 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数（）， 正项等比数列满足， 则，选C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. B. 函数在上递增，在上递减 C. 函数的极值点为， D. 函数的极大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断. 【详解】解：由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误； 对C，函数的极值点为，，故C正确； 对D，函数的极大值为，故D错误. 故选：ABD. 10. 无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（ ） A. 可能为等差数列 B. 可能为等比数列 C. 中一定存在连续三项构成等差数列 D. 中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则 所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题． 11. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 仅有为的最小值 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用求出通项公式；B选项，当时，，，当时，，故B错误；C选项，利用等差数列求和公式得到C正确；D选项，先求出，结合C得到答案. 【详解】A选项，中，当时，， 当时，， 显然满足，故，A正确； B选项，因为当时，，，当时，， 故为的最大值，B错误； C选项，， 故，C正确； D选项，， ， 由C知，，故，D错误. 故选：AC 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则等于__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】求导，代入，求出答案. 【详解】，令得，解得. 故答案为： 13. 已知椭圆被直线截得弦的中点坐标为，则直线的方程___. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入椭圆，利用点差法求出直线斜率即可得出方程. 【详解】由中点的坐标代入椭圆方程，可得，即直线与椭圆相交， 设直线与椭圆的交点为，，，， 可得，， 两式相减可得， 由中点坐标公式可得，， 代入上式，可得直线的斜率为， 可得直线的方程为，即为. 故答案为：. 14. 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=_____尺. 【答案】2n+1﹣21﹣n 【解析】 【分析】 写出两只老鼠打洞的通项公式，利用分组求和即可得解. 【详解】根据题意大老鼠第n天打洞尺， 小老鼠第n天打洞尺， 所以 故答案为： 【点睛】此题考查等比数列的辨析，写出通项公式，根据求和公式求和，关键在于熟练掌握相关公式，涉及分组求和. 三、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和；单调递减区间为. （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由解得，再将代入导函数验证是否满足题意； （2）由（1）可得函数的单调区间； （3）由（2）可得函数的极值，再和端点处的函数值比较大小，即可得最值. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为，. 因为函数在处取得极值，所以， 即，解得. 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 此时，函数在处取得极小值，故满足题意. 因此，. 【小问2详解】 由（1）可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 由（1）可知，函数在区间上有极大值，极小值. 又，，因为， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16. 数列满足，， （1）设，证明数列是等差数列 （2）求数列的前项和. 【答案】（1）因为，所以 因为，所以，且 所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）先化简得到即，再求得，最后判断数列是以1为首项，以2为公差的等差数列. （2）先求出数列的通项公式，再运用“裂项相消法”求数列的前项和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）的， 所以 所以 【点睛】本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题. 17. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值； 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数几何意义得到切线方程； （2）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出极值. 【小问1详解】 ， ， 故的图象在点处的切线为， 即； 【小问2详解】 的定义域为， 由（1）知， 令得，令得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，极小值为，无极大值； 18. 已知数列的前n项和为，满足. （1）求和； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和. 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）中，令，求出，再令，结合，求出； （2）利用得到为公比为2的等比数列，利用等比数列求通项公式求出答案； （3）求出，错位相减法求和即可. 【小问1详解】 中，令得，解得， 令得，即，解得； 【小问2详解】 ①， 当时，②， 式子①-②得， 故， 所以为公比为2的等比数列，首项为， 故； 【小问3详解】 ， 则③， ④， 式子③－④得 ， 故. 19. 已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）若为点轨迹上任一点，求到直线距离最小值 （3）设直线与点的轨迹交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质及椭圆定义可得动点的轨迹方程； （2）求出与直线平行，且与椭圆相切的直线方程，再利用平行线距离公式即可. （3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，再根据点到直线的距离可得三角形面积，再结合对勾函数单调性可得最值. 【小问1详解】 由已知圆，则， 又线段的垂直平分线交于点， 所以， 则， 所以动点到定点，的距离之和为定值， 即动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 且，，即，， 椭圆方程为. 【小问2详解】 设与直线平行的直线方程为， 将其与椭圆方程联立得，即， 即，当该直线与椭圆相切时， 则，解得， 显然当时，到直线距离最小，即求两平行线之间距离， 则距离最小值. 【小问3详解】 设直线与椭圆的交点为，， 联立直线与椭圆，得， 即， 且，， 则， 又点到直线的距离， 则的面积， 设，则，， 又函数在上单调递增， 即当，即时，取得最小值为， 此时取得最大值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山三中2024—2025学年第一学期高二年级期末数学试题 命题人：司玉丽 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为 A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前n项和为，=5，则=（ ） A. 5 B. 25 C. 35 D. 50 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设是可导函数，且，则（ ） A. B. -1 C. 0 D. -2 5. 已知数列，满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（ ） A. B. C. D. 7. 设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.若，且，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（），正项等比数列满足，则 A. 99 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. B. 函数在上递增，在上递减 C. 函数的极值点为， D. 函数的极大值为 10. 无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（ ） A. 可能为等差数列 B. 可能为等比数列 C. 中一定存在连续三项构成等差数列 D. 中一定存在连续三项构成等比数列 11. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 仅有为的最小值 C. D. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则等于__________.（用数字作答） 13. 已知椭圆被直线截得弦的中点坐标为，则直线的方程___. 14. 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=_____尺. 三、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间的最大值与最小值． 16. 数列满足，， （1）设，证明数列是等差数列 （2）求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值； 18. 已知数列的前n项和为，满足. （1）求和； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和. 19. 已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）若为点轨迹上任一点，求到直线距离最小值 （3）设直线与点的轨迹交于两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $