精品解析：辽宁省鞍山市海城市东部集团2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

海城市东部集团2024－2025学年第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称的定义． 根据中心对称图形的定义旋转 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A：不是中心对称图形，故选项错误； B：是中心对称图形，故选项正确； C：不是中心对称图形，故选项错误； D：不是中心对称图形，故选项错误； 故选：B． 2. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 3. 下列关系式中，y是x的反比例函数的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的定义是：形如（k是常数，的函数，叫反比例函数，根据以上知识点逐个判断即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B．是反比例函数，故本选项符合题意； C．是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； D．不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ） A. 四边形由矩形变为菱形 B. 对角线的长度不变 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性；根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向左扭动，， ，但 不再为直角，所以四边形变成平行四边形，但邻边不变且不相等，不可能变为菱形，故A不正确，不符合题意； B、向左扭动框架，的长度变大，故B不正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C不正确，不符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，符合题意， 故选：D． 5. 关于抛物线图象的性质，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是，最小值为，则抛物线与轴无交点，即可求解． 【详解】解：抛物线，，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是，则A，B，C正确， 最小值为，则抛物线与轴无交点，故D错误； 故选：D 6. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 C. 平面内不共线的三点确定一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意； B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意； C．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换；根据位似图形的性质，将点的横纵坐标乘以即可求解． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为2，把放大，点A的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或，即或， 故选：D． 8. 如图，圆内接四边形中， ，连接，， ，， ．则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形中， ， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴, 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴S扇形=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 10. 如图，抛物线，其对称轴是，且与轴的一个交点在和之间，结合图象给出下列结论： ① ； ②； ③； ④对于任意实数，总有； ⑤关于的方程的另一个根在和之间． 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据开口方向，对称轴以及与轴的交点可判断①②④，由二次函数图象的对称性，结合图象判断③⑤即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵抛物线交的正半轴， ∴， ∴ ，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与关于直线对称， ∵时，， ∴时，，即，故③错误； ∵， ∴变形可得：， ∵当时，，此时二次函数的值最大，即，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，故⑤正确； 综上正确的有：①②⑤； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 12. 辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了树状图法以及概率公式，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图，共有种等可能的结果，符合条件的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳这五项分别记为、、、、，树状图如下： 共有种等可能的结果，其中某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的结果有种， 某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是：， 故答案为：． 13. 抛物线的对称轴是y轴，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式．根据抛物线的对称轴公式“抛物线的对称轴是直线”即可得出关于m的方程，解方程即得答案． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：． 故答案为：1． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转 ，得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过B作于，过作轴于，构建，即可得出答案． 【详解】过B作于，过作轴于， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 15. 如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得 是等边三角形，，由可得，进而可得 是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接 ，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴． 故答案为：1 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）用因式分解法即可求解； （2）用公式法即可求解． 【小问1详解】 解： 或 ， ； 【小问2详解】 解： ，， ， ， 17. 如图，四边形是菱形，，，连接，点E在线段上，过点E作于点F，且，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形判定与性质及含30度角的直角三角形性质，根据菱形性质得出是等边三角形，进而求出， ，再根据直角三角形性质得出，即可求出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， . 18. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点顺时针旋转 后得到； （2）在（1）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 即为所画． （2）点旋转到点的过程中所经过的路径长为 【解析】 【分析】本题考查作图题旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． (1)根据旋转的性质作图即可； (2) 利用勾股定理求出OA的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴． 19. 如图，正比例函数的图象与双曲线交于，两点，半径为的与轴交于点，与轴的正半轴相切，连接，． （1）求双曲线的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，二次函数与一次函数的交点问题； （1）过点A作轴，垂足为点E，轴，垂足为点F，可得四边形是矩形，勾股定理求得，进而得出，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，关于对称，得出，进而结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作轴，垂足为点E，轴，垂足为点F， ∵与y轴的正半轴相切， ∴轴， ， ∴四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ 把代入得：， ∴，∴ 【小问2详解】 ∵，关于对称， ∴， 根据函数图象可得， 或时， 20. 为了丰富大课间活动，某校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用是2000元，计划2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元． （1）求2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率； （2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025年需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？ 【答案】（1） （2）3456元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实际应用，有理数计算等． （1）根据题意设2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率为x， 列出关于x的一元二次方程解出即可； （2）由（1）中求出年平均增长率为，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率为x， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：（元）， 答：预计2025年需要抽出3456元的资金用于购买羽毛球拍． 21. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且 ，垂足为E，连接并延长，交于点P． （1）求证：； （2）若⊙的半径，求线段 的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴． ∵ ∴ ， ∴． ∴． ∵ ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的切线，得出．根据 ，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出 即可； （2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵为直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键． 22. 某课外科技小组研制了一种航模飞机通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 【探究发现】 通过表格可发现与满足一次函数关系，即.而与之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数来描述． 【解决问题】 （1）直接写出关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） （2）如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下面的问题． ①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； ②在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 【答案】（1） （2）①飞机落到安全线时飞行的水平距离；②发射平台相对于安全线的最低高度为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据待定系数法求解即可； （2）①令二次函数，求出时间代入函数式即可求解； ②设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解． 【小问1详解】 与是二次函数关系， 设， 由题意得：，解得： ， ； 【小问2详解】 ①依题意, 得， 解得：(舍)， ， 当时， ， 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为； ②设发射平台相对于安全线的高度为， ∴飞机相对于安全线的飞行高度， ， ， 在中， 当时， ， 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于． 23. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证： ． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 ，连接，将线段 的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使 ，连接 ，发现了 与 的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接 ， ， ，求证： ． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若 ，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）选择豆豆同学的证明方法 证明：∵ ，平分，则 ，， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 乐琪同学的证明方法 证明：∵ ，平分，则 ，， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）证明：延长 到点，使，连接，延长， ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ． （3） 【解析】 【分析】（1）选择豆豆同学的证明方法：根据题意证明 得出 是等腰直角三角形，进而即可得出结论；乐琪同学的证明方法证明是等腰直角三角形，即可得证； （2）延长 到点，使，连接，延长 证明 ,进而根据等腰直角三角形的性质得出 ，进而根据勾股定理即可得证； （3）将沿折叠得到 ，得出 三点共线，是等腰直角三角形，则 ，延长交于点，过点作 于点，则 是等腰直角三角形， ，证明 得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示，将沿折叠得到 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 三点共线， ∵ ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， 如图所示，延长交于点，过点作 于点，则 是等腰直角三角形， ， ∵ ，则 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴，则 ， 在 中， ，则 ， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海城市东部集团2024－2025学年第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 下列关系式中，y是x的反比例函数的为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ） A. 四边形由矩形变为菱形 B. 对角线的长度不变 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 5. 关于抛物线图象的性质，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 6. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 C. 平面内不共线的三点确定一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和是 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，圆内接四边形中， ，连接，， ，， ．则 的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线，其对称轴是，且与轴的一个交点在和之间，结合图象给出下列结论： ① ； ②； ③； ④对于任意实数，总有； ⑤关于的方程的另一个根在和之间． 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 12. 辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是__________． 13. 抛物线的对称轴是y轴，则m的值为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转 ，得到，则点的坐标为__________． 15. 如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，四边形是菱形，，，连接，点E在线段上，过点E作于点F，且，求的长． 18. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点顺时针旋转 后得到； （2）在（1）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 19. 如图，正比例函数的图象与双曲线交于，两点，半径为的 与轴交于点，与轴的正半轴相切，连接，． （1）求双曲线的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 20. 为了丰富大课间活动，某校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用是2000元，计划2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元． （1）求2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率； （2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025年需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？ 21. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且 ，垂足为E，连接并延长，交于点P． （1）求证：； （2）若⊙的半径，求线段的长． 22. 某课外科技小组研制了一种航模飞机通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 【探究发现】 通过表格可发现与满足一次函数关系，即.而与之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数来描述． 【解决问题】 （1）直接写出关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） （2）如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下面的问题． ①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； ②在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 23. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证： ． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 ，连接，将线段 的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使 ，连接 ，发现了 与 的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接 ， ， ，求证： ． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若 ，，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $