精品解析：福建省漳州市诏安县某校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年上学期第一次质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 2的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：2的平方根是：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键． 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先估计的范围，再得出a的范围即可. 【详解】解：∵4＜7＜9， ∴， ∴，即， 故选C. 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法. 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 5，11，12 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 6，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 直角三角形两直角边分别为和，则其斜边的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 本题根据勾股定理直接求解． 【详解】解：∵直角三角形两直角边分别为和， ∴斜边为：， 故选：C． 5. 如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上， ， ， 且， 为等腰直角三角形， 故选：C． 6. 在0.2，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ） A. 0.2 B. C. ﹣1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照无理数的定义逐个来判定即可． 【详解】解：A、0.2属于有理数，故A不符合题意； B、＝3，为有理数，故B不符合题意； C、﹣1为有理数，故C不符合题意； D、为开不尽方根，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查无理数的识别，解题的关键是熟知无理数的定义． 7. 下列说法错误的是（　　） A. 3的平方根是 B. ﹣1的立方根是﹣1 C. 0.1是0.01的一个平方根 D. 算术平方根是本身的数只有0和1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的概念进行判断即可． 【详解】解：A、3的平方根是±，原说法错误，故此选项符合题意； B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意； C、0.1是0.01一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的概念，掌握平方根、立方根、算术平方根的概念是解题的关键． 8. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A. 15 dm B. 17 dm C. 20 dm D. 25 dm 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求解出最短路程即可． 【详解】最短路径 故答案为：B． 【点睛】本题考查了利用勾股定理求最短路程的问题，掌握勾股定理是解题的关键． 9. 实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为（　　） A. 7 B. ﹣7 C. 2a﹣15 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】根据二次根式的性质可得:+,因为,所以原式=,故选A. 10. 设，，则x、y的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，原式先进行分母有理化，再进行作差比较即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 以直角三角形的三边为边向形外作正方形，若，，则_______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的几何意义，可归纳为：以斜边为边长的正方形的面积等于以两条直角边为边长的正方形的面积之和．在直角三角形中使用勾股定理可得，代入面积即可求解. 【详解】解：在中满足， ∵，，， 又∵，， ∴ 故答案为：17． 12. 已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a+b＝____． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出和的范围，得到a、b的值，再代入a＋b计算即可． 【详解】∵2＜＜3，2＜＜3， ∴a＝−2，b＝2， a＋b＝−2＋2＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出和的范围是解此题的关键． 13. 一根木杆在离地米处折断，木杆的顶端落在离木杆底端4米处，则木杆折断之前的高度为______米． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理应用．由题意，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：∵一竖直的木杆在离地面3米处折断，顶端落在地面离木杆底端4米处， ∴折断的部分长为（米）， ∴折断前高度为（米）． 故答案为：8． 14. 如图所示，点A，B，P在正方形网格的格点（水平线与垂直线的交点）处，则∠PAB+∠PBA的度数等于_____． 【答案】45° 【解析】 【分析】根据图形，可知∠CPA＝45°，根据三角形外角的性质可得∠CPA＝∠PAB+∠PBA，从而可以得到∠PAB+∠PBA的值． 【详解】解：∵∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA， ∴∠PAB+∠PBA＝45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的和． 15. 如图，数轴上点A所表示的数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，,，勾股定理计算，结合数轴的意义计算数即可．本题考查了勾股定理，数轴上表示数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴； ∵点A在原点右侧，表示正数， ∴； 故点A表示的数是， 故答案为：． 16. 已知：，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式求值，利用平方差公式计算即可，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 三、计算题与解答（共86分） 17. 计算：(1)；(2). 【答案】(1)；(2)4-. 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的乘除法则运算． 【详解】(1)原式＝2﹣+＝； (2)原式＝﹣＝4﹣． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18. 求下列各式中的． （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根定义求解即可； （2）先将方程进行变形，再根据立方根定义求解即可． 【小问1详解】 解： ， 当时，， 当时，， 即：或． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是本题解题关键． 19. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1， （1）判断是否为直角三角形？ （2）求最长边上的高？ 【答案】（1）是，理由见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断； （2）根据三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 解：为直角三角形，理由： 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； 【小问2详解】 解：设最长边上的高为， 由题意得，， ∴． 20. 老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？ 【答案】2米． 【解析】 【详解】试题分析: 设未知数，根据2次测量中竹竿相等的等量关系列出方程根据勾股定理求解． 试题解析: 设河水的深度为h米． 由勾股定理得：h2+1.52=（h+0.5）2 h2+2.25=h2+h+0.25 h=2答：河水的深度为2米． 点睛:本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,解本题的关键是正确的运用勾股定理求解. 21. 如图，在△ABC中，AD为 BC边上的中线，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ECD； （2）若AB=3，AC=5，AD=2，求证： AE⊥CE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据为中线得到,再根据即可证明全等； （2）由（1）的全等得出，再根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】证明：（1）∵为边上的中线 ∴ 又∵， ∴ （2）由（1）得： 又∵ ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的逆定理,灵活应用相关的线段与角的转化是解题关键． 22. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分面积． 【答案】30． 【解析】 【分析】根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根据勾股定理求得CF的长，再设BF＝x，即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解． 【详解】解：∵四边形ABCD矩形， ∴AB=CD，AD=BC， 由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称， 故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm． △CEF中，CF＝=4cm， 设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝（x+4）cm． 在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2． 解得x＝6，故BC＝10． 所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）． 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 23. 阅读理解 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______； ②______； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据观察，可发现规律，直接将分母有理化进而得出即可； （2）根据规律，利用二次根式的加减，可得答案． （3）模仿（1）的过程，利用已知首先将原式分母有理化，进而得出即可． 【小问1详解】 解：①， ②， 故答案为； ，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则，以及平方差公式是解答问题的关键． 24. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）． （1）若点在上，且满足时，求出此时的值； （2）若点恰好在的角平分线上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，用勾股定理计算出，用t表示出，再在中，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）作的平分线，过P作于D点，由角平分线性质可得，利用面积法求出的长，进而求出的长，由此即可得到答案． 【小问1详解】 ∵在中，，，， ∴， 由题意得，则 ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得，即， 解得：； 【小问2详解】 解：如图所示，作的平分线，过P作于D点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 25. 阅读材料（一）如果我们能找到两个实数x、y使且，这样，那么我们就称“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：， (二)在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： （1）化简“和谐二次根式”：①______，②______； （2）已知，，求的值； （3）设的小数部分为，求证：． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）见详解． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可； （2）先根据阅读材料（一）化简m与n的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可； （3）先根据阅读材料（一）化简，求出小数部分为b的值，再证明即可． 【小问1详解】 解：①， ②， 【小问2详解】 ， ， ∴， ； 【小问3详解】 证明：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，二次根式的性质与化简，分式的值，考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，弄懂题意，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期第一次质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 2的平方根是（ ） A. B. C. D. 2 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 5，11，12 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 6，12，13 4. 直角三角形两直角边分别为和，则其斜边的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 在0.2，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ） A. 0.2 B. C. ﹣1 D. 7. 下列说法错误是（　　） A. 3的平方根是 B. ﹣1的立方根是﹣1 C. 0.1是0.01的一个平方根 D. 算术平方根是本身的数只有0和1 8. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A. 15 dm B. 17 dm C. 20 dm D. 25 dm 9. 实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为（　　） A. 7 B. ﹣7 C. 2a﹣15 D. 无法确定 10. 设，，则x、y大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 以直角三角形三边为边向形外作正方形，若，，则_______． 12. 已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a+b＝____． 13. 一根木杆在离地米处折断，木杆的顶端落在离木杆底端4米处，则木杆折断之前的高度为______米． 14. 如图所示，点A，B，P在正方形网格的格点（水平线与垂直线的交点）处，则∠PAB+∠PBA的度数等于_____． 15. 如图，数轴上点A所表示的数是________． 16. 已知：，则的值为_________． 三、计算题与解答（共86分） 17 计算：(1)；(2). 18. 求下列各式中的． （1） （2） 19. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1， （1）判断是否为直角三角形？ （2）求最长边上的高？ 20. 老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？ 21. 如图，在△ABC中，AD为 BC边上的中线，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ECD； （2）若AB=3，AC=5，AD=2，求证： AE⊥CE． 22. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积． 23. 阅读理解 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______； ②______； （2）求的值； （3）求的值． 24. 如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）． （1）若点在上，且满足时，求出此时的值； （2）若点恰好在的角平分线上，求的值． 25. 阅读材料（一）如果我们能找到两个实数x、y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：， (二)在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： （1）化简“和谐二次根式”：①______，②______； （2）已知，，求的值； （3）设的小数部分为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$