精品解析： 浙江省宁波市南三县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年浙江省宁波市南三县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求） 1. 抛物线与y轴交点的坐标是（ ） A. （0，3） B. （3，0） C. （1，0） D. （0，1） 2. 下列事件中，属于随机事件是（ ） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B. 从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C. 奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D. 明天太阳从西方升起 3. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 如图，在中，， ，，则长为（ ） A. B. C. D. 6. 图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（ ） A. B. C. D. 7. 一个长为 4cm，宽为 3cm 长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点 A 位置的变化为A→Al→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点 A 滚到A2位置时共走过的路径长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 8. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A. 点 的坐标为 B. C. 与 周长之比为 D. 与 的面积之比为 9. 小甬同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 的值是（　　） A. B. 0 C. D. 1 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象的对称轴为______． 12. 某路口红绿灯时间设置为：红灯30秒，绿灯27秒，黄灯3秒．当人或车随意经过该 路口时，遇到红灯的概率是________． 13. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是______． 14. 如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于______． 15. 如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片()，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是___________． ． 16. 如图，四边形内接于，，，，则的半径长为_________________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分） 17. （1）计算：． （2）已知线段是线段的比例中项线段，若，求线段的长． 18. 有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，把它们背面朝上，记下数字，然后放回 （1）用列表或画树状图的方法计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； （2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 19. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段上找一点D，使． 20. 已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 21. 如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为． （1）求点D与塔顶P的距离； （2）若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）． 22. “直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 23. （1）问题发现 如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （2）类比探究 如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 24. 如图，为的直径，点是半径上一动点（不与，重合），过点作弦垂直，连接，，以为直角边作等腰，且，连接，分别与和交于、两点． （1）求证：； （2）求证：； （3）当点在半径上运动时，值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省宁波市南三县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求） 1. 抛物线与y轴交点的坐标是（ ） A. （0，3） B. （3，0） C. （1，0） D. （0，1） 【答案】A 【解析】 【分析】将代入抛物线，求得即可． 【详解】解：将代入抛物线得，， 即与y轴交点的坐标是， 故选：A 【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键掌握与与y轴交点，横坐标为0． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B. 从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C. 奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D. 明天太阳从西方升起 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件的分类，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、是必然事件，不符合题意； B、不可能事件，不符合题意； C、是随机事件，符合题意； D、是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】同弧所对圆心角是圆周角2倍，即． 【详解】解：， ． 故选：． 【点睛】此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4. 若，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案． 【详解】解：∵3x＝2y， ∴x：y＝2：3， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积． 5. 如图，在中，， ，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角函数值的定义，可直接求出AB的值． 【详解】解：在中，，， ， 又， AB=6． 故选择：C． 【点睛】本题考查了三角函数的值，熟练掌握同角的三角函数的关系是解题的关键． 6. 图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出进而根据列出比例式，代入数据，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，．， ∴， ∴物体的高度为． 故选：C． 7. 一个长为 4cm，宽为 3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点 A 位置的变化为A→Al→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点 A 滚到A2位置时共走过的路径长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，第二部分是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可． 【详解】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm， ∴AB=5cm， 第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°， 此次点A走过的路径是 第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°， 此次走过的路径是 ∴点A两次共走过的路径是= 故选B． 8. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A. 点 的坐标为 B. C. 与 的周长之比为 D. 与 的面积之比为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形与相似图形的关系，根据位似图形的性质，位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边互相平行或在同一直线上，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 、点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与 的周长之比为，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与的面积之比为，原选项不正确，符合题意； 故选：． 9. 小甬同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 的值是（　　） A B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称、二次函数的图象与性质，由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【详解】解：由图象可得，函数图象关于点中心对称， ∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1， ∴， ∴，，……， ∴， ∵，， ∴当时，，当时，， ∴， 故选：C． 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、正方形的性质，作于，由题意可得证明，得出，设，，则，，由全等三角形的性质可得，由正方形的性质，证明，得出，最后再由正切的定义求解即可． 【详解】解：如图：作于， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，则，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∵中间为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象的对称轴为______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为：直线． 12. 某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯27秒，黄灯3秒．当人或车随意经过该 路口时，遇到红灯的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】对于此题，类似于几何概率模型，将红灯、绿灯、黄灯对应时间看成线段长、面积或体积皆可，根据几何概率的求法，找准两点：①全部情况的总长度（面积或体积）；②符合所求的长度（面积或体积）；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：红灯30秒，绿灯27秒，黄灯3秒， 遇到红灯的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率模型概率的求解，将此类题目准确对应成相应的线段长、面积或体积是解决问题的关键． 13. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是， 故答案为：． 14. 如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形的面积是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为r的扇形的面积． 连接，，求出的度数都是，求出，，得，根据等底、等高的三角形的面积相等得出和的面积相等，求出阴影部分的面积=扇形的面积，求出，再根据扇形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：连接，， ∵C，D是以为直径的半圆周的三等分点，是的直径， 的度数都是， ， ， 是等边三角形， ， ， 和的面积相等， 即阴影部分的面积=扇形的面积， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片()，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是___________． ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，对折两次后的小长方形的长为b，宽为，再根据相似图形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：根据题意，对折两次后的小长方形的长为b，宽为， ∵小矩形与原矩形相似， ∴，则， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 16. 如图，四边形内接于，，，，则的半径长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接，证明为的直径，，证明，得出，，推出为等腰直角三角形，进而得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴为的直径，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分） 17. （1）计算：． （2）已知线段是线段的比例中项线段，若，求线段的长． 【答案】（1）2；（2）线段的长为4 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算、比例中项等知识，熟练掌握特殊角三角函数值和比例中项的定义是解题关键． （1）先计算余弦、正切、正弦，再计算二次根式的混合运算即可得； （2）先根据比例中项的定义可得，从而可求出的值，再根据平方根的性质和求解即可得． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵线段是线段的比例中项线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴线段的长为4． 18. 有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，把它们背面朝上，记下数字，然后放回 （1）用列表或画树状图的方法计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； （2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）公平，见解析． 【解析】 【分析】（1）列表表示两次摸到纸牌上数字之和为6的所有情况，再根据概率公式计算即可得到答案； （2）分别计算纸牌上数字之和为奇数和偶数的概率，进行比较即可得到游戏是否公平，即可作答． 此题考查列表法或列树状图的方法求事件的概率，正确理解题中的事件是放回或是不放回事件是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，列表如下 和 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共有16种等可能的情况，其中两次摸到纸牌上数字之和为6的等可能的情况有三种， ∴（和为6）； 【小问2详解】 解：游戏公平，理由如下： 由（1）得两次摸到纸牌上数字之和为奇数的等可能的情况有8种，两次摸到纸牌上数字之和为偶数的等可能的情况有8种， ∴（和为奇数），（和为偶数）， ∴游戏公平． 19. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【小问1详解】 解：如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， ，， ， ，， ； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， ， 点即为所求作的点． 20. 已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标 为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，根据函数值求自变量的取值范围等等： （1）利用待定系数法求出解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）求出函数值为3时自变量值，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：把，代入到中得， ∴， ∴二次函数表达式为，即， ∴顶点坐标 为； 【小问2详解】 解：在中，当时，解得或， ∴由函数图象可知，当时，的取值范围为． 21. 如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为． （1）求点D与塔顶P的距离； （2）若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义，熟练运用三角函数求出，的值是解题的关键， （1）根据，，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案； （2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，在中易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 答：点D与塔顶P的距离为． 【小问2详解】 解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：古塔的高度为． 22. “直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 【答案】（1） （2）应将销售单价定为15元 （3）此时W的最大值为2160元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用、一元二次方程的应用、不等式的应用： （1）利润等于销量乘以售价与进价之差，由此可列函数关系式； （2）结合（1）中结论列一元二次方程，解方程即可； （3）先求出销售单价x的取值范围，再将二次函数一般式化为顶点式，即可求出W的最大值． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ； 【小问2详解】 解：由， 解得或． ∵销量随售价x的增大而减小， ∴售价越小，销量越高，越有利于减少库存， ∴应将销售单价定为15元； 【小问3详解】 解：由，且，解得， ， ∴当时，W随着x的增大而减小， ∴当时，函数值最大，最大为． 答：此时W的最大值为2160元． 23. （1）问题发现 如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （2）类比探究 如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点作，结合平行四边形的性质及已知条件可得是等边三角形，进而得到；然后证明可得，设，则，解得，最后代入计算即可． 【详解】证明：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）如图：过点作， ∵在中， ， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设，则，解得：， ∴． 24. 如图，为的直径，点是半径上一动点（不与，重合），过点作弦垂直，连接，，以为直角边作等腰，且，连接，分别与和交于、两点． （1）求证：； （2）求证：； （3）当点在半径上运动时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）不变，，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理及等腰三角形的性质得，再根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案； （2）先根据“边角边”证明，可得， ，由（1）得，进而得出，然后根据是等腰直角三角形，可知，接下来说明，再最后根据勾股定理得出答案； （3）连接，先说明，可得，再证明，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【小问1详解】 证明： ， ∵是等腰直角三角形， ∴ ； 【小问2详解】 证明：如图， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得 ∵， ， ； 【小问3详解】 解：不变，，理由如下： 如图，连接， ， ∵ 根据勾股定理，得即 ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，同弧(等弧)所对的圆周角相等，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $