精品解析：四川省自贡市富顺县代寺学区2024-2025学年九年级学情调研第二次九年级数学试题

代寺学区2024－2025学年上期学情调研第二次九年级数学试题 数学试题（总分150） 一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( ) A. y=2(x+1)2+3 B. y=2(x－1)2－3 C. y=2(x+1)2－3 D. y=2(x－1)2+3 3. 下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 55° B. 70° C. 125° D. 145° 5. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6 6. 一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为(　 　) A. 65° B. 130° C. 50° D. 100° 8. 函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（　　） A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1＝y2 D. y1、y2的大小不确定 9. 一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 4或-2 D. -4或2 11. 正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________． 14. 设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=______． 15. 如果点A（－1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x－1）2+h上，那么m的值为_____． 16. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若弧EF的长为，则图中阴影部分的面积为_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______． 三．解答题（共8小题，共78分） 19. 解方程： （1） （2）（配方法） 20. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2． 21. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． (1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC； (2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC； (3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF． （1）求证：△BCD≌△FCE； （2）若EF∥CD．求∠BDC的度数． 23. 新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 24. 如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径是1，求图中阴影部分的面积． 25. 小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： ①写出该函数的一条性质：__________； ②方程的解为：__________； ③若方程有四个实数根，则的取值范围是__________． （2）延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D ①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值． ②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 代寺学区2024－2025学年上期学情调研第二次九年级数学试题 数学试题（总分150） 一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．轴对称图形是找对称轴，沿对称轴折叠能完全重合． 2. 将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( ) A. y=2(x+1)2+3 B. y=2(x－1)2－3 C. y=2(x+1)2－3 D. y=2(x－1)2+3 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移不改变a的值求解此题． 【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，3）． 可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3． 故选：A． 3. 下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可． 【详解】A、△=0，方程有两个相等的实数根； B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根； C、△=-16＜0，方程没有实数根； D、△=1-4=-3＜0，方程没有实数根． 故选：B． 4. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 55° B. 70° C. 125° D. 145° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵∠B=35°，∠C=90°， ∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°． ∵点C、A、B1在同一条直线上， ∴∠BA B1=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°． ∴旋转角等于125°． 故选：C． 5. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， 在中,由勾股定理得： 故选：D. 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握这两个定理的内容. 6. 一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的内接正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．过作于，根据圆内接正多边形的特点，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，先利用等边三角形的判定及性质得，再利用勾股定理先求出，进而求得三角形的面积从而即可求解． 【详解】解：如图：过作于， 由题意可知，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴该正六边形的面积为：， 故选：． 7. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为(　 　) A. 65° B. 130° C. 50° D. 100° 【答案】C 【解析】 【详解】解：是的切线， ， ， 又∵ ， 则． 故选：C． 8. 函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（　　） A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1＝y2 D. y1、y2的大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据、与对称轴的大小关系，判断、的大小关系． 【详解】解：∵， ∴此函数的对称轴为：， ∵，两点都在对称轴左侧，， ∴对称轴左侧y随x的增大而增大， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键． 9. 一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图像和性质，可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，，对称轴应在y轴左侧，故B错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴左侧，故C正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴右侧，故D错误； 故选：C． 10. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 4或-2 D. -4或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解． 【详解】关于x的一元二次方程的两实数根为， ， ， ，即， 解得或， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 11. 正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1-x，根据y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH，求函数关系式，判断函数图象． 【详解】解：依题意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH=1-4×（1-x）x=2x2-2x+1， 即y=2x2-2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=． 故答案选C ． 12. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确， ∵图象与y轴的交点为正半轴， ∴c＞0，则abc＜0，故①错误， 由图象可知当x=1时，函数取最大值， 将x=1，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0）， 设函数解析式为：， 将交点坐标代入得：， 故化简得：， 将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确， 变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确， 则②③④正确， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________． 【答案】20% 【解析】 【分析】本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：设这个增长率是x，根据题意得： 2000×（1+x）2=2880， 解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）， 故答案为20%． 14. 设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=______． 【答案】2016 【解析】 【详解】由题意可得， ， ， ∵，为方程的个根， ∴， ， ∴． 15. 如果点A（－1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x－1）2+h上，那么m的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案． 【详解】由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得：（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键． 16. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 【答案】－3＜x＜1 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知： 抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0）， 根据对称性，则另一交点为（﹣3，0）， 所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点睛】考点：二次函数的图象． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若弧EF的长为，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】2- 【解析】 【分析】由切线的性质和平行四边形的性质得到BA⊥AC，∠ACB＝∠B＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°＝∠FAE，根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求得结果． 【详解】如图所示，连接AC， ∵CD与⊙A相切， ∴CD⊥AC， 在平行四边形ABCD中， ∵AB＝DC，AB∥CD，AD∥BC， ∴BA⊥AC， ∵AB＝AC ∴∠ACB＝∠B＝45°， ∵，AD∥BC ∴∠FAE＝∠B＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°＝∠FAE， ∴， ∴的长度＝，解得R＝2， ∴S阴影＝S△ACD−S扇形＝×22−＝2−． 故答案为：2−． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，弧长的求法，扇形面积的求法，知道S阴影＝S△ACD−S扇形是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题． 【详解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0）， ∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a， ∴AB=AC， ∵∠BPC=90°， ∴PA=AB=AC=a， 如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大， ∵A（1，0），D（4，4）， ∴AD=5， ∴AP′=5+1=6， ∴a的最大值为6． 故答案为6． 【点睛】圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径． 三．解答题（共8小题，共78分） 19. 解方程： （1） （2）（配方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可进行求解方程； （2）根据配方法可进行求解方程． 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2． 【答案】可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形 【解析】 【详解】解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m． 根据题意可得，x（50﹣2x）=300， 解得：x1=10，x2=15， 当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）． 答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形． 根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，AB=xm，则BC=（50﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可． 21. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． (1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC； (2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC； (3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标． 【答案】 （1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）图形如图所示，点P的坐标为：（2，0） 【解析】 【分析】（1）按题目的要求平移就可以了； （2）关于原点对称的点的坐标变化是∶横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可． （3）AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）作A点关于x轴的对称点A＇（1，-1），然后连接对称点与B点， 则BA＇的解析式为， 当时，． ∴点P的坐标为：（2，0）． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF． （1）求证：△BCD≌△FCE； （2）若EF∥CD．求∠BDC的度数． 【答案】 （1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE， 在△BCD和△FCE中， ∵CD＝CE，∠BCD＝∠FCE， CB=CF， ∴△BCD≌△FCE（SAS）． （2）90°． 【解析】 【分析】（1）根据旋转图形的性质可得：CD=CE，∠DCE=90°，根据∠ACB=90°得出∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE，结合已知条件得出三角形全等； （2）根据全等得出∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，从而得出∠DCE=90°，然后根据EF∥CD得出∠BDC=90°． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可知△BCD≌△FCE， ∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE， ∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°， ∵EF∥CD， ∴∠E=180°-∠DCE=90°， ∴∠BDC=90°． 23. 新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 【答案】（1）A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；（2）本次购买至少准备229元，最多准备290元 【解析】 【分析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，即可求解； （2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），即可求解． 【详解】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得， 答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元； （2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元， 由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（1≤x≤11，x为整数）， ∵-1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝11时，w的最小值为229， 故本次购买至少准备216元，最多准备229元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意准确找到等量关系，建立函数模型是解题的关键. 24. 如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径是1，求图中阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：如图，过点作于点，连接， 与相切于点， ， 平分， ， 在和中，， ， ， 是的半径， 又， 是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证； （2）设分别交于点，连接，先根据圆的切线的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据图中阴影部分的面积等于即可得． 【详解】证明：（1）略 （2）如图，设分别交于点，连接， 的半径是1， ， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 则图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 25. 小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： ①写出该函数的一条性质：__________； ②方程的解为：__________； ③若方程有四个实数根，则的取值范围是__________． （2）延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】（1）①关于y轴对称；②；③；（2）将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，当时，自变量的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直线y=-1与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解； （2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题． 【详解】解：（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）； 故答案为关于y轴对称； ②由题意及图象可看作直线y=-1与函数的图象交点问题，如图所示： ∴方程的解为； 故答案为； ③由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，如图所示： ∴由图象可得若方程有四个实数根，则的取值范围是； 故答案为； （2）由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示： ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D ①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值． ②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②存在；或2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，两点间距离公式，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线表达式为，设，则，，由得到，再转化为二次函数求最值； ②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：①当， ∴ 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴设直线表达式为， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积最大值为， ∴此时； ②存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形， 此时，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $