精品解析：浙江省湖州市长兴县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024学年第一学期质量监测 九年级数学试题卷 友情提示： 1．全卷分卷Ⅰ与卷Ⅱ两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的图象开口方向是（ ） A. 向左 B. 向右 C. 向上 D. 向下 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 蜡烛在真空中燃烧 D. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 3. 如图，在中，，为半径，点为上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 5. 关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，有最小值 C. 当时，有最大值 D. 当时，有最大值 6. 如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三个等腰直角三角形拼接在一起，，且它们的斜边，，在同一直线上，连结，若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. 18 C. D. 10. 二次函数（a，b，c为常数，且），满足，则以下结论正确的是（ ） A. 若，该函数图象经过点 B. 若，该函数图象经过点 C. 若a，b，c的绝对值相等，则该函数图象可能经过点 D. 若a，b，c中有两数相等，则该函数图象可能经过点 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的概率是______． 12. 若两个相似多边形的相似比为，则它们面积的比为 _____． 13. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，那么扇形的面积是__________cm2． 14. 将抛物线向下平移个单位后与轴只有一个交点，则______． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为_____． 16. 如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片．点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合）．连结，，分别延长和，并相交于点．若，，用含的代数式表示的面积是______． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 18. 为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．南浔古镇，B．德清莫干山，C．太湖龙之梦，D．中南百草园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后不放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． （1）小明获得一次抽奖机会，求他恰好抽到景区A门票的概率． （2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．（请用画树状图或列表的方式求解） 19. 如图，是的直径，点，在上，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20. 一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求球运动路线的函数表达式． （2）球被抛出多远？ 21. 在如图的的正方形网格中建立直角坐标系（只画出了第一象限），网格中的每个小正方形的边长都为，格点的顶点坐标分别为，，． （1）将线段绕点顺时针旋转得到，请画出． （2）请仅用无刻度的直尺画出的外接圆的圆心，并求点的坐标． 22. 《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题，是测量城池、山高和井深之的测量问题，这种测量方法称为“重差术”（图1），“重差术”起源于魏晋时期刘徽的“日高图”，他曾用此方法测量太阳的高度．某天小浔偶然翻阅到“重差术”这一章，一时来了兴趣便开始了研究，请你帮助小浔完成这个研究． （1）如图2，为了测量教学楼的高度，小浔将一个直角三角尺放置于地上，并使得A、C、E在同一直线上，，若测量得米，米，米，请帮助小浔计算楼高的长． （2）“重差术”介绍了古人测量太阳高度的一种方法．如图3，为了测量太阳（点A）的高度，在相距1000米的D、G两地分别直立一个旗杆，旗杆长2米，分别测得旗杆的影子长和，便可计算太阳的高度，小浔发现图中有两组相似三角形，根据，可以求出的值，又根据，可得（的值，设影子长，； ①请分别用a和b的代数式表示和． ②若米，米，计算“太阳”的高度． 23. 定义：对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．如函数，在范围内，该函数的最大值是，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②求该函数的的值． （2）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 24. 如图1，在中，为直径，C为圆上一动点（不与重合），于点G，E为上的一动点，延长交的延长线于点F，连结，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图2，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期质量监测 九年级数学试题卷 友情提示： 1．全卷分卷Ⅰ与卷Ⅱ两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的图象开口方向是（ ） A. 向左 B. 向右 C. 向上 D. 向下 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数中二次项系数的正负决定图象开口方向是解题的关键． 根据二次函数解析式得到二次项系数，由此即可求解． 【详解】解：二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上， 故选：C ． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 蜡烛在真空中燃烧 D. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件，理解随机事件、不可能事件、必然事件的意义是正确判断的关键．根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可． 【详解】A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意； B. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； C. 蜡烛在真空中燃烧是不可能事件，故本选项符合题意； D. 班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在中，，为半径，点为上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解：本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，可得，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 4. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 【答案】A 【解析】 【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 5. 关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，有最小值 C. 当时，有最大值 D. 当时，有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式中的正负性，判定图象开口，顶点坐标为，结合图形开口和对称轴直线确定最值即可求解． 【详解】解：二次函数中，，顶点坐标为，对称轴直线为， ∴二次函数图象开口向上，二次函数在时，取得最小值， 故选：B ． 6. 如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为一个小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 8. 如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的计算，弧长的计算，掌握以上知识，数形结合得到圆心角的度数是解题的关键． 根据垂径地理得到，，根据锐角三角函数值的计算得到，，，则，再根据弧长公式（是弧长，是圆心角的度数，是扇形的半径）计算即可求解． 【详解】解：∵于点，， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B ． 9. 如图，三个等腰直角三角形拼接在一起，，且它们的斜边，，在同一直线上，连结，若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. 18 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，找出相似三角形是解题关键．令与的交点为，与的交点为，根据等腰三角形三角形的性质，推出，，进而得到，，再利用斜边长，求出直角边长，进而得出，，即可求出中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，令与的交点为，与的交点为， 、、是等腰直角三角形， ， ，， ，， ，， ，，， ，，，， ，， ，， ，， , 故选：A． 10. 二次函数（a，b，c为常数，且），满足，则以下结论正确的是（ ） A. 若，该函数图象经过点 B. 若，该函数图象经过点 C. 若a，b，c的绝对值相等，则该函数图象可能经过点 D. 若a，b，c中有两数相等，则该函数图象可能经过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数关系是解题的关键． 根据条件逐一判断即可解答． 【详解】解：A、当时，，解得，，，当，，故A不符合题意； B、当时，，假设经过，则当，，即，又，故，此时与相矛盾，故B不合题意； C、若，，的绝对值相等，，，，则，不合题意，故C不合题意； D、若，则，，当，，当，；故D符合题意． 故选：D． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据概率的计算公式直接计算即可． 【详解】解：掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数有6种可能，点数是3只有1种情况， 所以向上一面的点数是3的概率． 故答案为：． 12. 若两个相似多边形的相似比为，则它们面积的比为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可求解，熟记相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵相似多边形的相似比是，面积比是相似比的平方， ∴它们的面积比为， 故答案为：． 13. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，那么扇形的面积是__________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式计算即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是关键，属于基础题． 14. 将抛物线向下平移个单位后与轴只有一个交点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，与横轴交点的计算，掌握平移规律，理解只有一个交点的含义是解题的关键． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到解析式，再根据二次函数与轴只有一个交点得到，即可求解． 【详解】解：抛物线向下平移个单位得到的解析式为， ∵平移后的二次函数与轴只有一个交点， ∴， 解得，， 故答案为：3 ． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的性质，即可得到BE的长，再根据△ABC∽△FBE，即可得到EF的长． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴由勾股定理得，AB＝， 由题可得，AD＝AC＝6， ∴BD＝10﹣6＝4， 由题可得，MN垂直平分BD， ∴BE＝2，∠BEF＝∠ACB＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△FBE， ∴， 即， 解得EF＝， 故答案为：． 【点睛】题主要考查了勾股定理和相似三角形解的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 16. 如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片．点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合）．连结，，分别延长和，并相交于点．若，，用含的代数式表示的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径或半圆所对圆周角为直角，折叠的性质可得，，，证明，得到，证明，得到，则，在中，由勾股定理得到，结合圆的面积公式即可求解． 【详解】解：为直径， ∴， ∵折叠， ∴， 如图所示，设交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的面积是 故答案为： ． 【点睛】本题考查了本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，折叠的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查比的性质，掌握比的性质计算是解题的关键． （1）将代入，结合分式的性质化简计算即可； （2）将代入，结合分式的性质化简计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴． 18. 为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．南浔古镇，B．德清莫干山，C．太湖龙之梦，D．中南百草园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后不放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． （1）小明获得一次抽奖机会，求他恰好抽到景区A门票的概率． （2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．（请用画树状图或列表的方式求解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A和景区B门票的情况，即可求解． 【小问1详解】 解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回， ∴每张卡片抽到的概率都是， 设小明恰好抽到景区A门票为事件A， 则； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： ， ∴一共有12种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种， ∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为． 19. 如图，是的直径，点，在上，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角是直角；运用圆周角定理寻求等角是解题的关键． （1）由直径所对圆周角是直角，得，进而可得，从而得到，即可证明； （2）由直径可得，根据题意得，可以求得，即可求解的半径； 【小问1详解】 证明：是的直径， ． ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 又，， ， 的半径长度为； 20. 一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求球运动路线的函数表达式． （2）球被抛出多远？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，设抛物线的解析式为：， 把代入得， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点为，， 球被抛出． 21. 在如图的的正方形网格中建立直角坐标系（只画出了第一象限），网格中的每个小正方形的边长都为，格点的顶点坐标分别为，，． （1）将线段绕点顺时针旋转得到，请画出． （2）请仅用无刻度的直尺画出的外接圆的圆心，并求点的坐标． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解， 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变化，三角形外接圆圆心的确定，掌握平面直角坐标系的特点，垂直平分线的作图方法是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据三角形外接圆的圆心在三边垂直平分线的交点处作图，结合平面直角坐标系的特点得到坐标即可． 【小问1详解】 解：根据旋转的性质，作图如下， 【小问2详解】 解：如图所示， ∵，是以边长为的正方形的对角线， ∴分别作出的垂直平分线交于点，则点即为所求的外接圆， ∴． 22. 《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题，是测量城池、山高和井深之的测量问题，这种测量方法称为“重差术”（图1），“重差术”起源于魏晋时期刘徽的“日高图”，他曾用此方法测量太阳的高度．某天小浔偶然翻阅到“重差术”这一章，一时来了兴趣便开始了研究，请你帮助小浔完成这个研究． （1）如图2，为了测量教学楼的高度，小浔将一个直角三角尺放置于地上，并使得A、C、E在同一直线上，，若测量得米，米，米，请帮助小浔计算楼高的长． （2）“重差术”介绍了古人测量太阳高度的一种方法．如图3，为了测量太阳（点A）的高度，在相距1000米的D、G两地分别直立一个旗杆，旗杆长2米，分别测得旗杆的影子长和，便可计算太阳的高度，小浔发现图中有两组相似三角形，根据，可以求出的值，又根据，可得（的值，设影子长，； ①请分别用a和b的代数式表示和． ②若米，米，计算“太阳”的高度． 【答案】（1）14米 （2）①，；②1252米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）通过证明，得到，代入数据求出的长即可； （2）①利用相似三角形对应边成比例的性质表示即可；②设，，由①中的结论得到，，解方程求出的值，即可求出的长． 【小问1详解】 解：米，米， 米， ，， ， ， ，即， 解得：米， 答：楼高的长为14米． 【小问2详解】 解：①， ， ； ， ， ； 综上所述，，． ②设，， 由①可得，，， ，， 解得：米，米， 米， 答：“太阳”的高度为1252米． 23. 定义：对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．如函数，在范围内，该函数的最大值是，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②求该函数的的值． （2）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 【答案】（1）①二次函数解析式为；②； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）①把点代入，运用待定系数法即可求解；②根据材料提示的方法结合二次函数图象的性质，求出最大值，最小值即可求解； （2）根据题意，可得到函数的极差值为：，把点代入函数，得到，分类讨论：当时，根据一次函数解析式，极差值的计算方法可解；当时，根据一次函数的极差值讨论二次函数极差值的计算，得到二次函数的最大值的点坐标为，代入一次函数计算即可；由此即可求解． 【小问1详解】 解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； ②∵二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为，顶点坐标为， 即当时，二次函数有最小值， 当时，随的增大而减小， ∴在中，有最大值，最大值为， ∴； 【小问2详解】 解：∵函数的图象经过点， ∴函数的图象经过第一、三象限，随的增大而增大， ∴在中，时有最小值，最小为，时有最大值，最大值为 ∴函数的极差值为：， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得，， 当时，， ∴函数的图象经过第二、四象限，随的增大而减小， ∴在中，时有最大值，最大为，时有最小值，最小值为 ∴， ∵两个函数的相等， ∴， 解得，； 当时，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，当时，随的增大而增大， 在中，函数的最小值为， ∵函数的极差值，两个函数的相等， ∴当的最大值为时，， 解得，，， ∵，不符合题意， ∴， ∴把代入函数中得，， 解得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查新定义，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的综合，二次函数最值的计算方法，理解新定义的计算方法，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 24. 如图1，在中，为直径，C为圆上一动点（不与重合），于点G，E为上的一动点，延长交的延长线于点F，连结，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图2，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形对角互补、相似三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得，再利用同角的余角相等得到； （2）根据圆内接四边形对角互补得，再利用等角的补角相等得到，可证明，再利用相似的性质即可求得； （3）易知，可得，由（2）易得，连结，，可得，知，设，，，即，根据得到，再根据即可求解． 【小问1详解】 为直径， ， ． ， ， ． 【小问2详解】 为圆的内接四边形， ． ，且由（1）得． ． 又， ． ，， ． 【小问3详解】 ，， ． ． ， ， ， 即． 连结，． ， ． ， ， 设，，． ， ， 即． ， ， ， 即． ， ， 解得． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $