第04讲 7.2.2 复数的乘、除运算（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第04讲 7.2.2 复数的乘、除运算 课程标准 学习目标 ①掌握复数代数形式的乘法和除法运算。 ②理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。 1.在熟悉课本能容的基础上，掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.在学习中逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律； 知识点01：复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) 【即学即练1】（2024·湖南湘西·模拟预测）若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 知识点02：复数代数形式的乘方 （1）复数的乘方 复数的乘方就是相同复数的乘积 （2）复数乘方的运算律 根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有： ① ② ③ 知识点03：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【即学即练2】（24-25高三上·河北邢台·期中）若复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 知识点04：复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 【即学即练3】（湖南省湘东十校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．0 B． C． D．2 题型01 复数代数形式的乘法运算 【典例1】（2024·甘肃庆阳·一模）已知复数，则的实部为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知，且，其中是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）若复数，则的实部与虚部之积为 . 题型02 复数的乘方 【典例1】（23-24高三上·广西桂林·阶段练习）若复数满足，则的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．1 D． 【典例2】（2024·河北保定·三模）设（是虚数单位），则（    ） A． B． C．2 D． 【变式1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知为虚数单位，的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在复平面内，复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 题型03 复数范围内的因式分解 【典例1】（23-24高三·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： ． 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）在复数范围内因式分解： ． 【变式2】（23-24高一下·吉林·期中）（1）已知复数满足，求； （2）在复数范围内因式分解：. 题型04 复数范围内方程的根 【典例1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是关于的方程的一个虚根，则（   ） A． B．2 C． D．1 【典例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知是关于x的方程的一个根，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【变式1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．22 C．30 D．32 【变式2】（24-25高三上·上海·开学考试）若是关于的实系数方程的一根，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．0 D．4 题型05共轭复数的概念及计算 【典例1】（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知复数满足，则（   ） A． B． C．5 D．10 【典例2】（2024·湖南衡阳·一模）复数满足，则的实部为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知复数，则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）复数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D． 题型06 复数的除法运算 【典例1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在复平面内，复数 (i为虚数单位)对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】（河南省豫西北教研联盟（许洛平）2024-2025学年高三第一次质量检测数学试题）已知复数满足，则 . 【变式1】（河北省邯郸市联考2024-2025学年高三上学期高考单科模拟综合卷（三）（10月）数学试题）已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数（    ） A． B． C． D． 【变式2】（河北省保定市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题）已知是的共轭复数，则（    ） A．0 B． C．2 D． 题型07根据复数乘、除法运算结果求参数 【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）计算下列复数的模： (1)； (2)； (3)． 【典例2】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算 (1) (2) (3). 【变式1】（24-25高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【变式2】（23-24高一下·天津河东·期中）计算： (1)； (2)； 题型08复数四则运算的创新应用 【典例1】1．（23-24高一下·重庆·期末）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 【变式1】（23-24高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C．5 D．13 2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）已知，则 （    ） A．0 B．1 C． D．2 4．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）若复数，则复数的共轭在复平面内对应的点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 6．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（   ） A． B．1 C． D．5 7．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数（其中为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·青海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限 10．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知复数，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则 D．若，则 三、填空题 11．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知是虚数单位，则 ． 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）若复数 (为虚数单位) 是纯虚数，则实数m= 。 四、解答题 13．（24-25高二上·全国·开学考试）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 14．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）（1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值． （2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值． B能力提升 15．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 16．（23-24高二下·江苏·期末）已知为复数，且为纯虚数，． (1)求复数； (2)若复数满足，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 7.2.2 复数的乘、除运算 课程标准 学习目标 ①掌握复数代数形式的乘法和除法运算。 ②理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。 1.在熟悉课本能容的基础上，掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.在学习中逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律； 知识点01：复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) 【即学即练1】（2024·湖南湘西·模拟预测）若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法运算可得答案. 【详解】若复数满足， 则. 故选：D. 知识点02：复数代数形式的乘方 （1）复数的乘方 复数的乘方就是相同复数的乘积 （2）复数乘方的运算律 根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有： ① ② ③ 知识点03：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【即学即练2】（24-25高三上·河北邢台·期中）若复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的除法法则可求，从而可求. 【详解】由题意得，． 故选：B. 知识点04：复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 【即学即练3】（湖南省湘东十校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题）已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先运用除法运算进行化简，再结合共轭复数概念,减法计算即可. 【详解】，则， 故选：B. 题型01 复数代数形式的乘法运算 【典例1】（2024·甘肃庆阳·一模）已知复数，则的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】根据复数的乘法法则求的代数形式，再求其实部即可. 【详解】因为， 所以， 所以的实部为. 故选：B. 【典例2】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知，且，其中是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据题意，由复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】由可得，即， 所以，解得，则. 故选：D 【变式1】（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】计算，根据纯虚数的定义计算可得的值. 【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，解得：. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）若复数，则的实部与虚部之积为 . 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】运用复数乘法进行化简计算，再根据实部虚部概念计算即可. 【详解】，则虚部为，实部为，乘积为：. 故答案为：. 题型02 复数的乘方 【典例1】（23-24高三上·广西桂林·阶段练习）若复数满足，则的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简求得，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得，则， 所以复数的实部与虚部之和为. 故选：D. 【典例2】（2024·河北保定·三模）设（是虚数单位），则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】根据虚数单位的乘方的性质，结合共轭复数的定义、复数的乘方运算法则进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：C 【变式1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知为虚数单位，的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】复数的基本概念、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果. 【详解】根据复数的乘方可知， 则，其虚部为. 故选：C 【变式2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在复平面内，复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】计算出，得到共轭复数，求出虚部. 【详解】复数，则z的共轭复数， 所以的虚部为. 故选：B． 题型03 复数范围内的因式分解 【典例1】（23-24高三·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】复数范围内分解因式 【分析】根据复数范围内的分解因式方法计算直接得出. 【详解】， ， ， ， ， 故答案为：. 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数范围内方程的根、复数范围内分解因式 【分析】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【详解】（1）； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）在复数范围内因式分解： ． 【答案】或 【知识点】复数范围内分解因式 【分析】将式子变形，构造出平方差形式在因式分解. 【详解】因为， 所以 ①， ②， 故答案为：或. 【变式2】（23-24高一下·吉林·期中）（1）已知复数满足，求； （2）在复数范围内因式分解：. 【答案】（1）； （2）. 【知识点】复数的除法运算、复数范围内分解因式 【分析】 （1）根据复数的运算法则，准确运算，即可求解； （2）利用求根公式求得方程的根，进而得到的因式分解. 【详解】解：（1）由复数满足， 可得. （2）由判别式， 所以方程的两个根为， 则. 题型04 复数范围内方程的根 【典例1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是关于的方程的一个虚根，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据实系数一元二次方程虚数根共轭和韦达定理可求的值. 【详解】因为是关于的方程的一个虚根， 所以是关于的方程的另一个虚根， 所以，解得. 故选：C 【典例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知是关于x的方程的一个根，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】D 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为是关于x的方程的一个根，， 所以是关于x的方程的一个根， 于是有， 故选：D 【变式1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．22 C．30 D．32 【答案】D 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以方程的另一个虚根为， 所以，解得，所以. 故选：D. 【变式2】（24-25高三上·上海·开学考试）若是关于的实系数方程的一根，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．0 D．4 【答案】C 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】将方程的根代入方程进行运算化简,然后利用复数相等的条件即得答案. 【详解】由题意可得，即， 所以. 故选：C 题型05共轭复数的概念及计算 【典例1】（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知复数满足，则（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的除法，整理其为标准式，结合共轭复数以及模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，则其共轭复数， 所以. 故选：B. 【典例2】（2024·湖南衡阳·一模）复数满足，则的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设出，，，由复数的运算求解即可. 【详解】设，，， ， ， 所以的实部为， 故选：C. 【变式1】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知复数，则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的四则运算及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以的共轭复数是. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·湖北·阶段练习）复数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据共轭复数的概念得到，根据条件用表示，化简之后求模长. 【详解】∵， ∴, ∵, ∴, ∴. 故选：C. 题型06 复数的除法运算 【典例1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在复平面内，复数 (i为虚数单位)对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的除法运算求出即可判断作答. 【详解】根据题意知，， 所以在复平面内，复数对应的点在第一象限. 故选：A 【典例2】（河南省豫西北教研联盟（许洛平）2024-2025学年高三第一次质量检测数学试题）已知复数满足，则 . 【答案】/ 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先利用复数的四则运算求出复数，再求其模长即得. 【详解】由，可得， 则. 故答案为：. 【变式1】（河北省邯郸市联考2024-2025学年高三上学期高考单科模拟综合卷（三）（10月）数学试题）已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据复数的乘法除法原则计算即可. 【详解】. 故选：A. 【变式2】（河北省保定市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题）已知是的共轭复数，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的运算法则求得，再根据共轭复数的定义求解即可. 【详解】， 则. 故选：B. 题型07根据复数乘、除法运算结果求参数 【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）计算下列复数的模： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】（1）根据复数的加法运算法则，结合复数模的运算公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式，结合复数乘法运算法则、复数模的运算公式进行求解即可； （3）根据完全平方公式，结合复数除法运算法则、复数模的运算公式进行求解即可 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为 所以； （3）因为 所以. 【典例2】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算 (1) (2) (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】（1）根据复数的加减法法则求解； （2）根据复数的乘除法法则求解； （3）根据复数的乘法法则求解. 【详解】（1） ； （2） （3）. 【变式1】（24-25高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】（1）（2）利用复数的乘法、乘方及除法运算求解即得. 【详解】（1）原式. （2）原式. 【变式2】（23-24高一下·天津河东·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】（1）利用复数的除法运算法则求解即可； （2）利用复数的四则运算法则化简求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 题型08复数四则运算的创新应用 【典例1】1．（23-24高一下·重庆·期末）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）存在，，（ⅱ）的范围为. 【知识点】求复数的模、复数乘、除运算的三角表示 【分析】（1）由已知可得，结合复数乘法的几何意义求，，由此可得结论； （2）设，， （ⅰ）先求，再求，由条件列方程求，由此可得结论； （ⅱ）求，化简关系可得，由此可求范围. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又， 所以，即， 因为， 所以， ， 所以，， （2）设，， 则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为， ， 设对应的复数为， 所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以， （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以的范围为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【变式1】（23-24高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)的最大值是3，最小值是0. 【知识点】求复数的模、复数的三角形式、复数乘、除运算的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】（1）运用复数的三角形式得到； （2）数形结合，运用余弦定理求出，进而求出，结合定义求解即可. （3）设，，依题意，可得，从而可求得的最大值和最小值. 【详解】（1）运用复数的三角形式得到. （2）如图，设复数对应向量为，设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 又， （3），设，， 则， ，，， ，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是转化，从而得到三角函数问题，进而得解. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C．5 D．13 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】先化简的表达式，然后求得的模. 【详解】， 所以. 故选：B 2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】利用复数除法运算计算即得. 【详解】由，得，所以的虚部为. 故选：D 3．（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）已知，则 （    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模. 【详解】依题意，，则. 故选：C 4．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据复数的概念和运算法则计算可得. 【详解】由题意，因为，所以， 故选：B. 5．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）若复数，则复数的共轭在复平面内对应的点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】应用复数乘法公式求出，再得到其共轭复数，由几何意义即可判断. 【详解】因为，所以， 又因为，所以复数的共轭在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 6．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可. 【详解】由， 得， 所以. 故选：B. 7．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】根据条件得到，再利用复数的运算，得到，即可求解. 【详解】因为复数在复平面内的对应点为，所以， 则，所以的虚部为， 故选：C. 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数（其中为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得. 【详解】， 故. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一下·青海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABC 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先化简，再结合复数的概念，共轭复数，复数的模，复数在复平面内对应的点分别判断各个选项即可. 【详解】因为， 则，，的虚部是， 在复平面内对应的点为，位于第三象限 故ABC正确，D错误． 故选：ABC. 10．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知复数，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【知识点】复数的乘方、求复数的模、求复数的实部与虚部、复数的基本概念 【分析】根据复数的运算及概念，直接判断AB，举例判断CD. 【详解】A.设，由得，那么也是实数，正确； B.设，由得，那么的虚部为，正确； C.若，则，此时，错误； D.若，为实数，所以不一定是实数，错误. 故选：AB 三、填空题 11．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知是虚数单位，则 ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算 【分析】由复数的四则运算化简即可. 【详解】 故答案为： 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）若复数 (为虚数单位) 是纯虚数，则实数m= 。 【答案】0或 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数、复数的分类及辨析 【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出． 【详解】复数, 复数是纯虚数，则有，解得或. 故答案为：0或. 四、解答题 13．（24-25高二上·全国·开学考试）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）根据共轭复数定义和复数的乘除运算法则化简求出，再求其模长即得； （2）利用复数的几何意义求出，和，由两向量的夹角公式即可求得. 【详解】（1） （2）依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 14．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）（1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值． （2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）或；（2） 【知识点】复数范围内方程的根、向量夹角的计算 【分析】（1）根据题意复数满足方程，带入化简后利用复数相等列出等式即可求解； （2）由条件得，进而求出，再分别求出与的坐标和模长，再用夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为复数是关于x的方程的一个根， 所以， 整理得， 当时，代入可得， 当时，有， 解得， 综上：或 . （2）由已知，化简可得， 即，所以 ， ∴， . ∴， 设与的夹角为， 则， 即与的夹角的余弦值为． B能力提升 15．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1 【知识点】复数的除法运算、求复数的模、复数的分类及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）设，借助复数运算法则及复数模长公式计算即可得解； （2）结合（1）中所得计算可得的实部为零，即可得证； （3）结合（1）、（2）中所得，化简计算后结合基本不等式即可得. 【详解】（1）设， 则 因为是实数，所以，即， 因为，所以，即，且， 由，得，解得， 即的实部的取值范围为； （2）∵， ， 因为，， 所以为纯虚数； （3） ， 由， 故， 当且仅当，即时，取最小值1． 16．（23-24高二下·江苏·期末）已知为复数，且为纯虚数，． (1)求复数； (2)若复数满足，求的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、由复数模求参数、已知复数的类型求参数 【分析】（1）解法一：设，根据除法运算和模长关系求，即可得复数；解法二：设设，可得，根据纯虚数的概念以及模长关系求，即可得复数； （2）由题意可知：，设复数在复平面内对应的点分别为，可知点在以点为圆心，为半径的圆上或圆内，结合圆的性质分析求解. 【详解】（1）解法一：因为纯虚数，设， 则， 可得，解得， 所以或； 解法二：设， 则， 因为为纯虚数  则，解得，且， 又因为，解得， 所以或. （2）因为，即， 设复数在复平面内对应的点分别为，O为坐标原点， 则，可知点在以点为圆心，为半径的圆上或圆内， 由题意可知：， 则，所以的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$