7.2.2 复数的乘、除运算-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

 

 

7．2．2　复数的乘、除运算　　　　► 对应学生用书P56

[课程标准]　掌握复数代数形式的乘法和除法运算．

　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识

一、复数的乘法

1．复数乘法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

2．复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

想一想：in(n∈N*)有什么规律？

提示：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.

二、复数的除法

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)，

则＝＝＋i(c＋di≠0).

【基点小试】

1．若复数z＝(1＋2i)(2－i)，则z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

解析：选A.因为z＝(1＋2i)(2－i)＝4＋3i，

所以z在复平面内对应的点位于第一象限．

2．(2022·新高考全国Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　)

A．－2    B．－1    C．1    D．2

解析：选D.对原式两边同时乘以i得：z－1＝i，即z＝1＋i，所以＝1－i，即z＋＝2.

3．复数z＝的实部与虚部之和为(　　)

A．1    B．－1    C．3    D．－3

解析：选A.因为z＝＝＝＝－1＋2i，

所以复数z的实部与虚部之和为－1＋2＝1.

4．已知复数z满足z(1＋i)＝－i(其中i为虚数单位)，则z的模为(　　)

A．    B．    C．    D．2

解析：选B.因复数z满足z(1＋i)＝－i，则z＝＝＝＝－－i，所以|z|＝＝，即z的模为.

　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力

题型一　复数代数形式的乘法运算

例1.(1)(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋a·＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　)

A．a＝1，b＝－2    B．a＝－1，b＝2

C．a＝1，b＝2      D．a＝－1，b＝－2

(2)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是纯虚数，则实数a的值为(　　)

A．－1    B．0

C．1      D．2

解析：(1)选A.由题设，z＝1－2i，＝1＋2i，代入有a＋b＋1＋(2a－2)i＝0，故a＝1，b＝－2.

(2)选A.(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i＋a＝1＋a＋(a－1)i为纯虚数，

∴a＋1＝0，∴a＝－1.

[总结] 　复数乘法运算法则的应用

复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，(a＋bi)3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.

【练一练】

1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)

A．5－4i    B．5＋4i

C．3－4i    D．3＋4i

解析：选D.因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，

所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.

2．(2022·湖南娄底高一检测)已知i为虚数单位，若＝1－2i，则|z|＝(　　)

A．10     B．

C．    D．

解析：选B.由＝1－2i，可得z＝(1－2i)(1－i)＝1－i－2i＋2i2＝－1－3i，

则|z|＝＝.

题型二　复数代数形式的除法运算

例2.计算：

(1)；

(2).

解：(1)＝＝＝＝＋i.

(2)＝＝＝＝＝＝1－i.

[总结] 　复数除法运算法则的应用

复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．

【练一练】

3．若复数z满足(3－4i)z＝－1＋i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数＝(　　)

A．－－      B．－＋

C．－－    D．－＋

解析：选D.z＝＝＝＝－－，

所以＝－＋.