3、7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7.2　复数的四则运算 7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义 [学习目标]　1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则，培养数学运算核心素养．　2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题，培养直观想象核心素养． 知识点一　复数的加、减运算 问题1.类比向量坐标的加减运算，若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，你能得到复数 z1±z2吗？ 提示：根据复数与向量的对应关系，设z1＝a＋bi与向量＝(a，b)对应，z2＝c＋di与向量＝(c，d)对应，所以z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i与向量＋＝(a＋c，b＋d)对应，同理，z1－z2＝a－c＋(b－d)i与－＝(a－c，b－d)对应． 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则： (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． 2．对任意z1，z2，z3∈C，有： (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [微提醒]　把复数的代数形式看作是关于“i”的多项式，则复数的加减法类似于多项式的加减法，只需“合并同类项”即可． 例1　 (1)计算：＋(2－i)－； (2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z. 解：(1)＋(2－i)－＝＋i＝1＋i. (2)因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 复数加、减法运算的法则 1．复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； 2．复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．　　 对点练1．若复数z满足z－i＝1－i，则z在复平面内所对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：因为z－i＝1－i，所以z＝1－i＋i＝1＋i，故z在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选A. 学生用书第59页 知识点二　复数加、减运算的几何意义 问题2.我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示： 设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d). 几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线． 加法 减法 几何意义 z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线 复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 例2　如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求： (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度． 解：(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所表示的复数为－3－2i. 因为＝，所以所表示的复数为－3－2i. (2)因为＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线＝＋＝＋， 所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以＝＝. 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).　　 对点练2.(1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则||＝________． (2)若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________． 答案：(1) 　(2)(－∞，2) 解析：(1)因为＝＋，所以对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， 所以||＝＝. (2)z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2. 复数模的综合问题 例3　如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　 ) A．1　　　B． C．2　　　D． 答案：A 解析：|z＋i|＋|z－i|＝2，则复数z表示的点在复平面内以(0，1)和(0，－1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示点z到(－1，－1)的距离，由图可知最小值为1.故选A. 两个复数差的模的几何意义 1．|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． 学生用书第60页 2.|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． 3．涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．　　 对点练3．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________． 答案：[0，3] 解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，所以0≤|z＋1|≤3. 知识 (1)复数代数形式的加、减运算法则． (2)复数加、减法的几何意义． (3)复平面上两点间的距离公式． 方法 类比、数形结合． 易错误区 忽略模的几何意义． 1．设z1＝－3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：由题意得z1＋z2＝－3－4i＋(－2＋3i)＝－5－i，在复平面内对应的点为(－5，－1)，位于第三象限．故选C. 2．如果z－(2－3i)＝－1＋i，那么复数z为(　　 ) A．1－2i B．1＋4i C．－1－2i D．－1＋4i 答案：A 解析：z－(2－3i)＝－1＋i，故z＝－1＋i＋2－3i＝1－2i.故选A. 3．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________． 答案：－1 解析：因为z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，所以解得a＝－1. 4．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________． 答案：9π 解析：由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π. 学科网（北京）股份有限公司 $$