7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦复数代数形式的加减运算法则、几何意义及模的最值问题，通过问题导思类比向量坐标运算引入新知，搭建从向量到复数的学习支架，帮助学生建立知识迁移脉络。 其亮点在于采用类比迁移与数形结合，以向量运算类比复数加减法则，结合几何意义解决模的最值问题（如典例3用圆的性质求|z+3-4i|最大值），培养数学运算与直观想象核心素养。小结用表格梳理方法，分层评价含新情境题，助力学生能力提升，为教师提供系统教学资源。

7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 　 第七章 单元学习六　复数的运算 单元整体设计　引入一类代数对象，就要研究它的运算，复数也是如此.本单元主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们逆运算的角度给出复数减法、除法的运算法则，还讨论复数加、减运算的几何意义.学习计划2课时. 本单元内容重点是复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及运算律，复数加、减运算的几何意义.难点是复数减法、除法的运算法则.在研究的过程中，提升数学运算、直观想象的核心素养. 学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则，培养数学运算 的核心素养. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思 想解题，培养直观想象的核心素养. 任务一　复数的加、减运算 1 任务二　复数加、减运算的几何意义 2 任务三　与复数模有关的最值、范围问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　复数的加、减运算 返回 (阅读教材P75，完成问题1) 问题1.类比向量坐标的加减运算，若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，你能得到复数z1±z2吗？ 提示：根据复数与向量的对应关系，设z1＝a＋bi与向量＝(a，b)对应，z2＝c＋di与向量＝(c，d)对应，所以z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i与向量＋＝(a＋c，b＋d)对应，同理，z1－z2＝a－c＋(b－d)i与－＝(a－c，b－d)对应. 问题导思 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则： (1)z1＋z2＝_________________； (2)z1－z2＝_________________. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有： (1)z1＋z2＝________； (2)(z1＋z2)＋z3＝_____________. 新知构建 (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 把复数的代数形式看作是关于“i”的多项式，则复数的加减法类似于多项式的加减法，只需“合并同类项”即可. 微提醒 (链接教材P76例1)计算：(1)5i－(2＋2i)； 解：5i－(2＋2i)＝－2＋(5－2)i＝－2＋3i. (2)(6－5i)＋(3＋2i)； 解：(6－5i)＋(3＋2i)＝(6＋3)＋(－5＋2)i＝9－3i. (3)＋－； 解：＋－＝＋i＝－i. 典例 1 (4)[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i](a，b∈R). 解：[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i] ＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i ＝－2b－2bi. 规律方法 复数加、减法运算的法则 1.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部. 2.复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 对点练1.(1)设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m＝ A.－1 B.3 C. D.－1或3 √ z＝(2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i.因为z为纯虚数，所以解得m＝.故选C. (2)复数z满足z＋6i＝(i为虚数单位)，则z的虚部为______. －3 设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为z＋6i＝，所以a＋bi＋6i＝a－bi，可得b＋6＝－b，解得b＝－3，则z的虚部b＝－3. 返回 任务二　复数加、减运算的几何意义 返回 (阅读教材P75—76，完成问题2) 问题2.我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示：设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d). 几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线. 问题导思   加法 减法 几何 意义 z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线   复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应   复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 新知构建 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求： (1)所表示的复数，所表示的复数； 解：因为0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所表示的复数为 －3－2i. 因为＝，所以所表示的复数为－3－2i. (2)对角线所表示的复数； 解：因为＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. 典例 2 (3)对角线所表示的复数及的长度. 解：因为＝＋＝＋， 所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以＝＝. 规律方法 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 　　向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数). 对点练2.(1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则｜｜＝______. 因为＝＋，所以对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， 所以｜｜＝＝. (2)若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是__________. (－∞，2) z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2＜0，即a＜2. 返回 任务三　与复数模有关的最值、范围问题 返回 已知复数z满足｜z｜＝1，则｜z＋3－4i｜(i为虚数单位)的最大值为_____. 典例 3 6 设z＝a＋bi(a，b为实数)，则｜z｜＝1表示以原点为圆心，1为半径的圆上的点，则｜z＋3－4i｜＝表示圆上的点到点(－3，4)的距离，根据圆的性质可知，所求的最大值为＋1＝5＋1＝6. 变式探究 保持本例条件不变，求｜z－1｜的取值范围. 解：设z＝x＋yi(x∈R，y∈R)，｜z｜＝｜x＋yi｜＝，则x2＋y2＝1，x∈[－1，1]，则｜z－1｜＝｜(x－1)＋yi｜＝＝＝∈[0，2]. 规律方法 两个复数差的模的几何意义 1.｜z－z0｜表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式. 2.｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆. 3.涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 对点练3.(1)i是虚数单位，若复数z满足｜z－3i｜＝2，则｜z｜的取值范 围是 A.[1，5] B.[3－，3＋] C.[0，5] D.[0，3＋] √ 在复平面内，若复数z满足｜z－3i｜＝2，则复数z对应的点Z的轨迹是以(0，3)为圆心，2为半径的圆.因为｜z｜的几何意义是点Z到原点的距离， 所以3－2≤｜z｜≤3＋2，所以｜z｜的取值范围是[1，5].故选A. (2)如果复数z满足｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，那么｜z＋i＋1｜的最小值是 A. B.1 C.2 D. √ ｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，则复数z表示的点在复平面内以(0，1)和(0，－1)为端点的线段上，｜z＋1＋i｜表示点z到(－1，－1)的距离，由图可知最小值为1.故选B. 返回 课堂小结 任务再现 (1)复数代数形式的加、减运算法则.(2)复数加、减法的几何意义.(3)复平面上两点间的距离公式 方法提炼 类比、数形结合 易错警示 忽略模的几何意义 随堂评价 返回 1.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝ A.8i B.6 C.6＋8i D.6－8i √ z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.故选B. 2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 由题图可知＝(－2，－1)，＝(0，1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，因此z1－z2＝－2－i－i＝－2－2i，所以z1－z2在复平面内对应的点的坐标为(－2，－2)，在第三象限.故选C. 3.复数z满足3＋2z＝5＋2i，则｜z｜＝ A. B.2 C. D. √ 设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为复数z满足3＋2z＝5＋2i，所以3(a－bi)＋2(a＋bi)＝5a－bi＝5＋2i，可得a＝1且b＝－2，故｜z｜＝＝.故选C. 4.设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的取值范围是__________. [0，3] 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤｜z｜ ≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋1｜表示复数z的对应 点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离， 即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时， dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，所以0≤ ｜z＋1｜≤3. 返回 课时分层评价 返回 1.复数(1＋2i)－(3－4i)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 复数(1＋2i)－(3－4i)＝－2＋6i，其在复平面内对应的点(－2，6)位于第二象限.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知i为虚数单位，x，y为实数，若(x＋yi)＋2＝(3－4i)＋2yi，则x＋y＝ A.2 B.3 C.4 D.5 √ 由(x＋yi)＋2＝(3－4i)＋2yi得(x＋2)＋yi＝3＋(2y－4)i，则所以x＋y＝5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，则表示向量的复数为 A.3＋9i B.2＋8i C.－9－i D.9＋i √ 复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量，因为＝－，所以表示向量的复数为(6＋5i)－(－3＋4i)＝9＋i.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如果｜z｜＋z＝5＋i，那么z－等于 A. B.2i C.＋2i D.－2i √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则｜z｜＝｜a＋bi｜＝.由题意知a＋bi＋＝5＋i，即a＋＋bi＝5＋i，所以所以z＝＋i，＝－i，所以z－＝2i.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设复数z1＝－i，z2＝x＋yi(x，y∈R)，z1，z2对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则 A.｜z1｜＝2 B.若∥，则x＋y＝0 C.若⊥且｜z2｜＝1，则x＝± D.若｜z1－z2｜＝，则｜z2｜的最大值为2＋ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由z1＝－i，可得｜z1｜＝＝2，故A正确；对于B，由z1＝－i，z2＝x＋yi，可得＝(，－1)，＝(x，y)，因为∥，所以x＋y＝0，故B错误；对于C，因为⊥，所以x－y＝0，即y＝x，又因为｜z2｜＝1，所以x2＋y2＝1，联立可得x2＝，解得x＝±，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由z1＝－i，z2＝x＋yi，可得z1－z2＝(－x)－(1＋y)i，｜z1－z2｜＝即为｜(－x)－(1＋y)i｜＝，则(x－)2＋(y＋1)2＝3，则｜z2｜表示圆(x－)2＋(y＋1)2＝3上的点到原点的距离，即｜z2｜的最大值为2＋，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是 A.点C位于第二象限 B.z1＋z3＝z2 C.＝ D.△ABC为等腰直角三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，由题意，O(0，0)，A(1，1)，B(1，2)，因为OABC为平行四边形，则C(0，1)，所以z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝1＋i＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；｜z1－z3｜＝｜1＋i－i｜＝1＝｜AC｜，故C正确；由图形可知△ABC为等腰直角三角形，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知复数z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，m为实数.若z1－z2＝0，则m＝______. －1 由题意可得z1＝z2，则 解得m＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知｜z｜＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝_____. 3i 设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为｜z｜＝3，所以a2＋b2＝9.因为z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，所以又a2＋b2＝9，所以所以z＝3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.设f(z)＝z－3i＋｜z｜，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝__________. 3＋3 z1＋z2＝3＋3i，f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋｜3＋3i｜＝3＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知复数z1＝a＋(7－a)i，z2＝5＋(3a＋1)i(a∈R，i是虚数单位). (1)若z2的实部与z1的模相等，求实数a的值； 解：依题意，｜z1｜＝＝，因为z2的实部与z1的模相等，则＝5， 整理得a2－7a＋12＝0，解得a＝3或a＝4. (2)若复数z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围. 解：因为z1＋z2＝(a＋5)＋(2a＋8)i，且z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限，所以解得－5＜a＜－4， 所以实数a的取值范围是(－5，－4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点.若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则△AOB一定为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 √ 根据复数加、减法的几何意义及｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知i为虚数单位，复数z满足1≤｜z＋1＋i｜≤，则｜z－1－i｜的最大值为______. 3 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤ ｜z＋1＋i｜≤表示如图所示的圆环.因为｜z－1 －i｜＝｜z－(1＋i)｜表示z在复平面内对应的点Z到 点(1，1)的距离，而点(1，1)到点(－1，－1)的距离 为2，大圆的半径为，所以｜z－1－i｜的最大 值为2＋＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(开放题)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足｜z－2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数z＝________________. 1＋i(答案不唯一) z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i.由｜z－2i｜＝｜z｜知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知在复平面内，平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i. (1)求点B所对应的复数z0； 解：由已知得＝(3，2)，＝(－2，4)，所以＝＋＝(1，6)， 所以点B所对应的复数z0＝1＋6i. (2)若复数z满足｜z－z0｜＝1，则复数z在复平面内所对应的点的集合是什么图形？ 解：设复数z在复平面内所对应的点为Z，因为｜z－z0｜＝1，所以点Z到点B(1，6)的距离为1， 所以满足｜z－z0｜＝1的点Z的集合是以B(1，6)为圆心，1为半径的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，复数z1，z2，z1＋z2在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形ABC的面积为 A.3 B.2 C.2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i＝＋i，所以a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，a＋c＝，b＋d＝1，所以(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2bd＋2ac＝4，即2bd＋2ac＝－4，所以｜AB｜＝｜z1－z2｜＝｜a－c＋(b－d)i｜＝＝＝＝2.又｜BC｜＝｜z1｜＝2，｜AC｜＝｜z2｜＝2.在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D，则D为AB的中点，即AD＝DB＝AB＝，所以CD＝＝＝1，所以S△ABC＝AB×CD＝×2×1＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)(新情境)欧拉是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ＋1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”.请你根据欧拉公式：eiθ＝cos θ＋isin θ，解决以下问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)将复数＋eπi表示成a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)的形式； 解：由题意可得＋eπi＝＋(cos π＋isin π)＝＋(－1)＝－＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求｜＋eiθ｜(θ∈R)的最大值. 解：由题意可得＋eiθ＝＋(cos θ＋isin θ)＝i＋(cos θ＋isin θ)＝cos θ＋(1＋sin θ)i， 所以｜＋eiθ｜＝＝＝. 因为θ∈R，所以sin θ∈[－1，1]，因此0≤2＋2sin θ≤2＋2＝4， 所以｜＋eiθ｜(θ∈R)的最大值为2. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 复 数 返回 $