19、重点题型强化(三)　解三角形中的综合问题-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

重点题型强化(三)　解三角形中的综合问题 　 第六章　平面向量及其应用 学习目标 1.会解决解三角形与三角恒等变换、三角函数的综合问题，培养数学运算核心素养．　 2.会解决三角形的中线、角平分线等问题，培养直观想象及数学运算核心素养． 一、解三角形与三角恒等变换的综合 1 二、解三角形与三角函数的综合 2 三、解三角形中的中线问题 3 课时测评 5 内容索引 四、解三角形中的角平分线问题 4 五、解三角形中的最值(范围)问题 5 一、解三角形与三角恒等变换的综合 返回 例1 (2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC 中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B． (1)求sin A； 解：因为A＋B＝3C， 所以π－C＝3C，即C＝ ， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos Asin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C， 所以sin A＝3cos A， (2)设AB＝5，求AB边上的高． 由sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C 规律方法 对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系(此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的)，进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解.　　 (1)求c的值； (2)求sin B的值； 解：由(1)知，b＝2c＝2， (3)求sin (2A－B)的值． 返回 二、解三角形与三角函数的综合 返回 例2 (1)求ω的值及f(x)的对称中心； 显然f(x)的最大值为1，最小值为－1， (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)＝－1，a＝，求△ABC周长的取值范围． 规律方法 正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题．　　 (1)求角A； 返回 三、解三角形中的中线问题 返回 例3 在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B． (1)求A； 所以bc cos (π－A)＝3，得bc＝6， 由余弦定理得：b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13， 规律方法 求解三角形中线问题的常用方法 1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 对点练3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a sin B＝ b cos A. (1)求角A的大小； 返回 (2)若BC边上的中线AD＝ ，且c＝4，求b的值． 即28＝c2＋b2＋2bc cos ∠BAC＝c2＋b2＋bc， 即b2＋4b－12＝0，解得b＝2(负值舍去). 四、解三角形中的角平分线问题 返回 例4 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 规律方法 求解三角形角平分线问题的常用方法 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c： 1．利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. √ 返回 五、解三角形中的最值(范围)问题 返回 例5 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C. (1)求角A； 解：由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A② (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 规律方法 解三角形中的最值(范围)问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围).　　 对点练5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝ (a2＋b2－c2). (1)求角C的大小； 返回 (2)求sin A·sin B的最大值． 课时测评 返回 A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，则 ＝________，角C的最大值为________． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，a＝6，1≤b≤4，则sin A的取值范围为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)设f(x)＝sin x cos x－cos2(x＋ )，x∈R. (1)求f(x)的单调递增区间；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 可得1＋ bc＝b2＋c2. 因为b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc，a＝ ，则b＋c的取值范围是____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求AC的长；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若AB⊥AD，∠B＝ .求BC的长．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ D．四边形ABCD的面积无最大值 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求角A的大小；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围．(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 即tan A＝3，所以0<A<， 所以sin A＝＝. 所以AB边上的高h＝AC· sin A＝2×＝6. 解：由(1)知，cos A＝＝， ＝(＋)＝， 由正弦定理，＝， 可得AC＝＝2， 对点练1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2c，cos A＝－. 解：由余弦定理的推论知，cos A＝＝＝－，解得c＝1. 由cos A＝－，知sin A＝， 因为＝，所以sin B＝. 解：因为cos A＝－<0，所以A为钝角，B为锐角，从而cos B＝. 因为sin 2A＝2sin A cos A＝－，cos 2A＝2cos2A－1＝－，所以sin(2A－B)＝sin 2A cos B－cos 2A sin B＝. 已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋，其中ω>0，若实数x1，x2满足|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为. 解：f(x)＝sinωx cos ωx－sin2ωx＋＝sin2ωx－＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin (2ωx＋)， 则|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值等于，则＝，则＝π，ω＝1； 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，则f(x)的对称中心为，k∈Z. 解：f(A)＝sin ＝－1，2A＋＝－＋2kπ，k∈Z，又A∈(0，π)，则A＝， 由正弦定理得＝＝＝＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C， 则周长为a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C＝＋2sin B＋2sin (－B)＝＋sin B＋cos B＝＋2sin(B＋)， 又0<B<，则<B＋<，则<2sin(B＋)≤2， 故周长的取值范围为(2，2＋ ]. 对点练2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f(x)＝sin (x＋B)＋cos (x＋B)tan C，且f()＝－. 解：f(x)＝＝＝＝－. 因为f()＝－，所以－＝－，所以sin (－A)＝1. 又0<A<π，所以－<－A<， 所以－A＝，所以A＝. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ，所以a2＝(b＋c)2－3bc，所以3R2＝6R2－12，所以R＝2，所以a＝2. (2)若△ABC的面积为，且sin B＋sin C＝，求a的值． 解：因为△ABC的面积S＝bc sin A＝bc·＝，所以bc＝4， 设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知＝＝＝2R， sin B＝，sin C＝，a＝R，sin B＋sin C＝⇒b＋c＝R， 因为sin B≠0，所以sin ＝sin A， 解：cos ＝cos (－)＝sin ， 所以b sin ＝asin B， 由正弦定理得：sin B sin ＝sin A sin B， 所以sin ＝2sin cos ，因为A∈(0，π)，∈(0，)，所以sin ≠0，得cos ＝，即＝， 所以A＝. (2)若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长． 解：因为·＝3， 因为＝(＋)， 所以||2＝(＋)2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝，所以||＝，即AD的长为. 2．向量法：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则2＝(b2＋c2＋2bc cos A).　　 解：由a sin B＝b cos A及正弦定理可得：sin A sin B＝sin B cos A， 因为A，B∈(0，π)，则sin B>0，可得sin A＝cos A>0，则tan A＝，因此A＝. 解：因为＝(＋)， 所以2＝＋，所以42＝(＋)2＝2＋2＋2·， 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，A＝，·＝，AD是△ABC的角平分线，求AD的长． 解：由A＝，·＝，得cb cos ＝， 所以bc＝3，又a＝2， 所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc＋bc＝12，可得b＋c＝＝， 所以bc sin ＝b·AD·sin ＋c·AD·sin ，所以AD＝＝＝. 2．内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝. 3．等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝(角平分线长公式).　　 对点练4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝1＋.内角A的角平分线交BC于点M，若BM＝2CM，则＝ A． B． C． D．2 由条件有，＝1＋＝1＋＝＝， 又sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，sin B>0，sin C>0，则＝，即cos A＝，又A∈(0，π)，则A＝， 由AM为∠CAB的角平分线，则＝＝2，即AB＝2AC，且∠CAM＝∠BAM＝，在△ACM中，cos ∠CAM＝＝，即AC2＋AM2－CM2＝AC·AM　①，cos ∠CMA＝，在△ABM中，cos ∠BMA＝＝，由∠BMA＋∠CMA＝π， 则＋＝0，化简得，AM2＝2AC2－2CM2　②，将②代入①可得，CM＝AC　③，将③代入②可得，AM＝AC，所以BC＝AC，所以＝＝.故选A. 由①②得cos A ＝－. 因为0<A<π，所以A＝. 解：由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin (π－A－B)＝3cos B－sin B． 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin (B＋). 又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. 解：由题意可知ab sin C＝×2ab cos C， 所以tan C＝. 因为0<C<π，所以C＝. 解：由已知sin A·sin B＝sin A·sin (π－C－A)＝sin A·sin (－A)＝sin A(cos A＋sin A)＝sin 2A－cos 2A＋＝sin (2A－)＋. 因为0<A<，所以－<2A－<， 所以当2A－＝，即A＝时，sin A·sin B取最大值.所以sin A·sin B的最大值是. 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC为 因为向量m，n共线，所以a cos ＝b cos ，由正弦定理得sin A cos ＝sin B cos ，所以2sin cos cos ＝2sin cos cos .因为cos ≠0，cos ≠0，所以sin ＝sin .因为0<<，0<<，所以＝，即A＝B，同理可得B＝C，所以△ABC为等边三角形．故选A. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝ A． B． C．2 D．3 因为b2＋c2－a2＝bc，所以cos ∠BAC＝＝，因为B＝，所以∠BAC∈，所以∠BAC＝，所以C＝，所以＝，所以c＝×＝2.因为AE平分∠BAC， 所以∠BAE＝∠BAC＝，所以∠AEB＝π－－＝，所以＝，所以AE＝＝×sin ＝×＝.故选A. 3．已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2b cos B，则AC边上的中线长为 A． B．3 C． D．4 由题意结合正弦定理得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2(负值舍去)，即a＝b＝2，c＝2b cos B＝2. 设AC边的中点为D，则＝(＋)，因此||＝＝ ＝ ＝.故选C. 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB＝ A．－ B． C． D．± 因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4. 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠ADB＝.因为b>c，所以B>C.又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos ∠ADB＝.故选B. 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则 A．A＝ B．C＝ C．B＝ D．C＝ 因为m⊥n，所以m·n＝cos A－sin A＝0，即tan A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.因为a cos B＋b cos A＝c sin C，所以根据正弦定理可得sin A cos B＋sin B cos A＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C，又sin(A＋B)＝sin C，所以sin C＝sin2C.因为sinC≠0，所以sin C＝1，所以C＝，所以B＝π－A－C＝.故选ACD. 6．(多选)在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos ∠BAC＝，以下结论正确的是 A．AB＝8 B．＝ C．AB＝6 D．△ABD的面积为 如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos2α－1＝，且0<α<，所以cosα＝，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝AD cos α＝，在Rt△ACB中，AB＝＝×8＝6，故A错误，C正确； 根据角平分线定理，＝＝×＝，故B正确；因为cos α＝，且0<α<，所以sin α＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin α＝×6×＝，故D正确．故选BCD. 由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝.在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ＝3.因此AD＝. 因为2sinA sin B cos C＝sin2C，所以2ab cosC＝c2⇒a2＋b2－c2＝c2⇒＝2，所以cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号．因为0<C<π，所以0<C≤，即角C的最大值为. 因为C＝，a＝6，1≤b≤4，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝(b－3)2＋27，所以c2＝(b－3)2＋27∈[27，31]，所以c∈[3，]，所以由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈. 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. 解：f(x)＝sinx cos x－cos2，x∈R. 化简可得，f(x)＝sin2x－－cos (2x＋) ＝sin 2x＋sin 2x－＝sin 2x－， 所以1＋bc≥2bc，所以bc≤2＋. (2)在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f()＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．(5分) 解：由f()＝0，即sin A－＝0， 可得sin A＝，因为0<A<，所以cos A＝. 所以△ABC的面积为S＝bc sin A≤. 故△ABC面积的最大值为. 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为 A．8 B．6 C．3 D．4 因为BC边上的高为a，所以S△ABC＝a×a＝bc sin A，所以a2＝2bc sin A，由余弦定理得2bc sin A＝b2＋c2－2bc cos A，整理得＝2sin A＋2cos A，即＋＝4sin(A＋).因为A∈(0，π)，所以A＋∈，所以当A＋＝，即A＝时，4sin (A＋)有最大值，且最大值为4.所以＋的最大值为4.故选D. 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6 设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6x cos θ　①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18x cos θ　②，联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc(当且仅当3b＝c时，等号成立)，所以bc≤16，所以S△ABC＝bc sin ≤×16×＝4.故选B. (，2] 因为b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理的推论得cos A＝＝＝.由A∈(0，π)，可得A＝.因为由正弦定理得＝＝＝＝2，所以b＋c＝2sin B＋2sin C＝2sin B＋2sin (－B)＝2sin B＋2(cos B＋sin B)＝3sin B＋cos B＝2sin (B＋). 因为B＋C＝，所以B∈(0，)，可得B＋∈(，)，所以sin (B＋)∈(，1]，所以b＋c＝2sin (B＋)∈(，2]. 所以AC＝3. 14．(11分)如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝，CD＝，△ACD的面积为. 解：因为∠D＝，CD＝，△ACD的面积为， 所以S△ACD＝AD·CD·sin D＝×AD××＝，所以AD＝， 所以由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6×(－)＝18， 所以在△ABC中，由正弦定理，得＝， 即＝，所以BC＝3. 解：由(1)知，在△ACD中，AD＝，CD＝，∠D＝，所以∠DAC＝， 因为AB⊥AD，所以∠BAC＝. 又因为∠B＝，AC＝3， 15．(5分)(多选)如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a cos C＋c cos A)＝2b·sin B，∠CAB＝，若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列说法正确的是 A．B＝ B．∠ACB＝ C．四边形ABCD面积的最大值为＋3 因为(a cos C＋c cos A)＝2b sin B，所以由正弦定理可得(sin A cos C＋sin C cos A)＝2sin2B，所以sin(A＋C)＝2sin2B，所以sinB＝2sin2B.又因为sinB≠0，所以sin B＝.因为∠CAB＝，所以B∈(0，)，所以B＝，所以∠ACB＝π－∠CAB－B＝，故A，B正确； S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin ∠ADC＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC)＋AD·DC·sin ∠ADC＝×(9＋1－6cos ∠ADC)＋×3×1×sin ∠ADC＝＋3sin (∠ADC－)≤＋3，当且仅当∠ADC－＝，即∠ADC＝时，等号成立，故C正确，D错误．故选ABC. 16．(14分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin (A－)sin (A＋)＝－. 解：因为sin (A－)sin (A＋)＝－， 所以(sin A－cos A)(－sin A＋cos A)＝－，即sin A cos A－sin2A－cos2A＝－， 所以sin2A－(1－cos 2A)－(1＋cos 2A)＝－，整理可得sin 2A＋cos 2A＝， 所以可得sin (2A＋)＝， 因为A∈(0，π)，可得2A＋∈(，)， 所以2A＋＝，可得A＝. 解：由正弦定理＝＝，且a＝1，A＝， 所以b＝sin B，c＝sin C， 所以a＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)＝1＋·[sin B＋sin (－B)]＝1＋2sin(B＋). 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得<B<，所以<B＋<， 所以1＋2sin(B＋)∈(1＋，3]， 即△ABC周长的取值范围是(1＋，3]. $$