18、6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 　 第六章　6．4　6．4.3　余弦定理、正弦定理 学习目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题．　 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养数学建模核心素养． 应用一　测量距离问题 1 应用二　测量高度问题 2 应用三　测量角度问题 3 课时测评 5 内容索引 随堂演练 4 应用一　测量距离问题 返回 例1 √ 规律方法 测量距离问题的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方案 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 对点练1．杭州亚运会的主场馆坐落于杭州奥体中心，外形 酷似一只巨大的“莲花碗”，在大气磅礴的“莲花碗”旁有 一座高楼“杭州之门”，“杭州之门”呈“H”型，分东、 西两塔，为了测量“莲花碗”楼顶中心C与“杭州之门”东塔最高点D这两点间的距离，无人机在A点测得前方C，D两点的俯角分别为75°，30°后，沿水平飞行1 000米到B点，此时发现C，D两点在无人机后方，于是调整无人机方向，测得C，D两点的俯角分别为45°，60°(如图A，B，C，D在同一个铅垂平面内)，求CD的长度． 解：在△ABC中，因为∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，所以 ∠ACB＝180°－75°－45°＝60°， 返回 在△ABD中，因为∠DAB＝30°，∠DBA＝60°， 所以∠ADB＝180°－30°－60°＝90°， 应用二　测量高度问题 返回 例2 如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得∠BCD＝ 45°，∠BDC＝60°，CD＝100米，在点C测得塔顶A 的仰角为60°.求塔高AB. 解：在△BCD中，因为∠BCD＝45°，∠BDC＝60°， CD＝100，则∠CBD＝75°， 依题意，AB⊥BC， 规律方法 测量高度问题的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数，在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 对点练2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________． 150 m 返回 应用三　测量角度问题 返回 例3 如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15° 距离30 －30海里处有一个小岛C. (1)求小岛A到小岛C的距离； (2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向． 在△ABC中，因为AB<AC，所以∠ACB为锐角， 所以∠ACB＝45°，所以∠CAB＝180°－120°－45°＝15°. 由75°－15°＝60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行． 规律方法 画测量角度问题示意图的基本步骤 所以∠ABC＝45°，所以B点在C点的正东方向上， 所以∠CBD＝90°＋30°＝120°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船． 返回 课堂小结 知识 不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案． 方法 数形结合 易错误区 方位角是易错点． 随堂演练 返回 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为 A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β. √ 2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河 的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，可以计算出A，B两 点的距离为 √ 3．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为 √ 返回 4．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC ＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角 为15°，则天文台BC的高为_________． 课时测评 返回 由条件及题图可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.故选D. 1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯 塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东 60°，则灯塔A在灯塔B的 A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．某地为响应当地政府关于生态文明建设的号召，大力 开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进 行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据．如图所 示，测得A＝23°，C＝120°，AC＝60 米，则A，B间 的直线距离约为(参考数据：sin 37°≈0.6) A．60米 B．120米 C．150米 D．300米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20 m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．A处与D处之间的距离是24 n mile B．灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C．灯塔C在D处的西偏南60° D．D在灯塔B的北偏西30° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．如图，在救灾现场，搜救人员从A处出发沿正北方向行进x米到达B处，探测到一个生命迹象，然后从B处沿南偏东75°行进30米到达C处，探测到另一个生命迹象，如果C处恰好在A处的北偏东60°方向上，那么x＝________米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园．已知∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，∠BAC＝30°，∠DBC＝60°，AB＝2 千米，则CD＝________千米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以△ABD为等腰直角三角形， 在△DAC中，由余弦定理得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．魏晋南北朝(公元220－589)时期， 中国数学在测量学取得了长足进展． 刘徽提出重差术，应用中国传统的出 入相补原理，通过多次观测，测量山 高水深等数值，进而使中国的测量学 达到登峰造极的地步，超越西方约一 千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高度和距离(图①)，故题为《海岛算经》．受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园奥林匹克塔的高度和距离(示意图如图②所示)，录得以下数据(单位：米)：前表却行DG＝1，表高CD＝EF＝2，后表却行FH＝3，表间DF＝244.则塔高AB＝__________米，前表去塔远近BD＝__________米． 246 122 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)一艘海轮从A出发，沿北偏东70°的方向航行( －1) n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东10°的方向航行 2 n mile到达海岛C. (1)求AC的长；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行？(5分) 又BC<AC，∠CAB∈(0°，180°)，所以∠CAB＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B．小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30° C．PA＝2 km √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物 CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达 B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山 坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(11分)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为 “地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世 界上最深的海洋蓝洞，要测量如图所示的海洋蓝洞的口径 A，B两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°.求A，B两点间的距离． 解：因为∠ADB＝135°， ∠BDC＝∠DCA＝15°， 所以∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°， 所以AD＝CD＝80，又因为∠ACB＝120°， 所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为α，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若该船不改变行驶方向继续行驶，试判断它有没有触礁的危险，并说明理由．(8分) 解：有触礁的危险，理由如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于AE＝20>10＝AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE －AQ＝10. 过点E作EP⊥BC，交BC的延长线于点P，则EP为点E到直线BC的距离． 所以该船有触礁的危险． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站的距离为 A．10 km B．30(－1) km C．30(－1) km D．10 km 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，所以∠CAD＝30°，则有∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD＝10.又∠ACB＝75°，所以∠BCD＝45°，在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，由正弦定理，得BC＝＝5＋5.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝(10)2＋(5＋5)2－2×10×(5＋5)×＝500，所以AB＝10，即A，B两个基站之间的距离为10 km.故选D. 又因为AB＝1 000，所以由正弦定理，得＝，即AC＝＝米； ＝，即CD＝米． 又因为AB＝1 000，所以由正弦定理，得＝，即AD＝＝500米； 在△ACD中，因为AD＝500，AC＝，且∠CAD＝75°－30°＝45°， 由余弦定理，得CD＝＝ sin 75°＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝， 由正弦定理得：＝， BC＝＝＝50(3－)米， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，由tan ∠ACB＝得：AB＝50(3－)tan 60°＝50(3－)×＝150(－)， 所以塔高AB是150(－)米． 由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100 m，在△ACM中，∠AMC＝180°－(75°＋60°)＝45°，由正弦定理得AM＝·sin 60°＝100(m)，所以MN＝AMsin 60°＝100×＝150(m). 解：在△ABC中，AB＝60，BC＝30－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，根据余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝602＋(30－30)2－2×60×(30－30)·cos 120°＝5 400，则AC＝30.所以小岛A到小岛 C的距离是30海里． 解：根据正弦定理得：＝， 所以＝，解得sin ∠ACB＝， 所以BC＝，且由正弦定理得＝， 对点练3．如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的C处我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝(－1)2＋22－2(－1)·2cos 120°＝6， 所以sin ∠ABC＝＝＝， 在△BCD中，由正弦定理得＝， 所以sin ∠BCD＝＝＝，所以∠BCD＝30°. A．50 m B．50 m C．25 m D． m ∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50(m).故选A. A．6海里 B．6海里 C．4海里 D．12海里 设甲驱逐舰，乙护卫舰，航母所在位置分别为A，B，C(图略)则∠ACB＝45°＋15°＝60°，∠BAC＝90°－15°＝75°，∠ABC＝180°－60°－75°＝45°.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝6，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为6海里．故选A. 30 m 由题图，可得B＝45°，∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝30°，故BC＝＝＝30(m). 由题设，B＝180°－A－C＝37°，在△ABC中，＝，即＝，所以AB＝≈150米．故选C. 3．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，则起吊的货物与岸的距离AD为 A．30 m B． m C．15 m D．45 m 在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，由余弦定理得cos ∠ACB＝＝＝－，所以sin ∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，所以sin ∠ACD＝sin ∠ACB＝.在Rt△ADC中，AD＝AC·sin ∠ACD＝15×＝ m．故选B. A．20 m B．10 m C．10 m D． m 如图所示，AB表示旗杆，由题意可知：∠ACB＝45°，∠BCD＝90°－30°＝60°，CD＝20，∠ADB＝30°，所以设AB＝x，则BC＝AB＝x，BD＝AB＝x，在△BCD 中，BD2＝BC2＋CD2－2×BC×CD×cos ∠BCD，即(x)2＝x2＋202－2×x×20×，解得x＝10(x＝－20舍去)，所以旗杆的高为10 m．故选B. A．甲楼的高度为20 m B．甲楼的高度为10 m C．乙楼的高度为 m D．乙楼的高度为10 m 如图所示，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝20 m，所以AD＝BD tan 60°＝20m，AB＝40 m，在△ABC中，由题易知∠CAB＝30°＝∠CBA，∠ACB＝120°，设AC＝BC＝x，由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解得x＝，则乙楼的高度为 m．故选AC. 6．(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是 由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24，故A正确； 在△ACD中，由余弦定理得CD＝ ，即CD＝ ＝8，故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，知D在灯塔B的北偏西60°处，故D错误．故选AC. 10 依题意得C＝180°－A－B＝45°，由正弦定理得＝，所以＝，x＝10 米． ＝，即 2 在△BAC中，由正弦定理得＝，所以 CD＝＝ ＝2，所以CD＝2 千米． ＝，所以4＝， 所以AC＝＋，又∠DAB＝90°，∠DBA＝45°， 所以AD＝AB＝2， 依题意可得△EFH∽△ABH， △CDG∽△ABG，所以＝， ＝，所以＝， 又BH＝BD＋247，BG＝BD＋1， 所以＝，解得BD ＝122(米)，所以AB＝2BG＝246(米)． 所以AC＝ n mile. 解：由题意知，在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝－1，BC＝2， 根据余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos ∠ABC＝＋4＋2＝6， 解：根据正弦定理可得＝， 即sin ∠CAB＝·sin ∠ABC＝＝＝， 所以应沿北偏东25°的方向航行 n mile即可到达C处． 11．(多选)如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20 m，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°，则 A．BD＝10(3＋) m B．CD＝10 m C．CD＝10 m D．BC＝10 m 因为AB⊥BC，所以∠ABC＝90°，所以在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，AB＝20，所以AC＝＝＝40，BC＝40×＝20； 在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ABD＝60°，∠ADB＝45°，AB＝20，所以根据正弦定理得：＝，解得AD＝30，因为∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，所以∠DAC＝45°，所以在△ACD中，∠DAC＝45°，AD＝30，AC＝40，根据余弦定理得：CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 45°＝1 800＋1 600－2 400＝1 000，所以CD＝10； 在△ABD中，∠DAB＝75°，AD＝30，∠ABD＝60°，sin 75°＝sin (30°＋45°)＝，所以根据正弦定理得：＝，解得BD＝30＋10＝10(3＋).故选AC. 12．(多选)如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos ∠AOB＝－，则 A．此山的高PO＝ km D．小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为 由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝x km，由题可知OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝x km，OB＝x km.因为AB＝7.5××20＝ km，所以由余弦定理可知，cos ∠AOB＝＝＝－， 解得x＝1，从而PA＝2 km.因为sin ∠AOB＝，所以由等面积法可得O到AB的距离h＝ km，则最大仰角的正切值为＝.又AO>BO，所以最小仰角为30°.故选BCD. －1 易知∠ACB＝∠CBD－∠DAC＝30°，在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以AC＝100(m).在△ADC中，＝，所以cos θ＝sin (θ＋90°)＝＝－1. 在△BCD中，由正弦定理得：＝，即＝，解得BD＝80， 所以AB2＝802＋(80)2－2×80×80×(－)，解得AB＝80. 所以A，B两点间的距离为80. A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 如图所示，B＝－α－β，由正弦定理可得＝，即＝，化简得＝.故选A. 16.(14分)在以灯塔E为中心的6海里以内有暗礁，点E的正北方向20海里处有一个雷达观测站A.观测站某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距20海里的位置B，经过50分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中cos θ＝，0°<θ<90°)且与点A相距5海里的位置C. 解：由已知得AB＝20海里，AC＝5海里， ∠BAC＝θ，cos θ＝， 由余弦定理得BC＝＝5(海里). 所以船的行驶速度为＝6(海里/时). 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理的推论得cos B＝＝. 从而sin B＝＝＝，所以sin∠AQB＝sin (45°－B)＝(cos B－sin B)＝， 在△ABQ中，由正弦定理得AQ＝＝＝10. 在Rt△QPE中，PE＝QE·sin ∠PQE＝QE·sin ∠AQB＝10×＝<6， $$