6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　 平面向量及其应用 6．4　平面向量的应用 6．4．3　余弦定理、正弦定理 第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 一、 测量距离问题 二、 测量高度问题 三、 测量角度问题 课堂达标 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 [课下巩固训练(十四)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 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测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 【即学即用】　1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80， eq \r(3)≈1.73) 解析：过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D(图略)，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，则AB＝ eq \f(46,sin 67°).在△ABC中，根据正弦定理得BC＝ eq \f(AB sin 37°,sin 30°)＝46× eq \f(sin 37°,sin 67°sin 30°)≈60(m). 答案：60 例2　山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝95°，CD＝116 m，在点D处测得黄河楼顶A的仰角为45°，求黄河楼的实际高度(结果精确到0.1 m，取sin 55°≈0.82). 解：由题知，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝55°，在△BCD中，由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BCD)＝ eq \f(CD,sin ∠CBD)， 则BD＝ eq \f(CD sin ∠BCD,sin ∠CBD)＝ eq \f(116×sin 30°,sin 55°)≈ eq \f(58,0.82)≈70.73 m. 在△ABD中，AB⊥BD，∠ADB＝45°， 所以AB＝BD tan ∠ADB＝BD≈70.73 m， 故黄河楼的实际高度约为70.7 m. 感悟升华　解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形； (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用几何知识与方程思想． 【即学即用】　2.(1)为了测量某建筑物的高度AB，可以选与底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝100 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则该建筑物的高度AB＝______m. 解析：在△BCD中，∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，则∠CBD＝30°，由正弦定理得BC＝ eq \f(CD sin 120°,sin 30°)＝ eq \f(100×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝100 eq \r(3)，在Rt△ABC中，AB⊥BC，∠ACB＝60°，则AB＝BC tan 60°＝300，所以该建筑物的高度AB＝300 m. 答案：300 (2)如图，风景秀美的宝湖公园有一棵高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点间的距离为20 m，则这颗银杏树的高度为________m. 解析：在△ABC中，AB＝20，∠A＝30°，∠ACB＝15°，sin 15°＝sin (45°－30°)＝ eq \f(\r(2),2)× eq \f(\r(3),2)－ eq \f(\r(2),2)× eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理得 eq \f(BC,sin 30°)＝ eq \f(AB,sin 15°)，则BC＝ eq \f(20×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝10( eq \r(6)＋ eq \r(2))，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，因此CD＝BC sin 45°＝10( eq \r(6)＋ eq \r(2))× eq \f(\r(2),2)＝10( eq \r(3)＋1)，所以这颗银杏树的高度为10( eq \r(3)＋1) m. 答案：10( eq \r(3)＋1) 例3　在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处( eq \r(3)－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 eq \r(3) kn的速度追截走私船．此时，走私船正以10 kn的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10 eq \r(3)t，BD＝10t， 在△ABC中，∵AB＝ eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝( eq \r(3)－1)2＋22－2×( eq \r(3)－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC＝ eq \r(6)，且sin ∠ABC＝ eq \f(AC,BC)·sin ∠BAC＝ eq \f(2,\r(6))× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(\r(2),2)， ∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角． ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得sin ∠BCD＝ eq \f(BD·sin ∠CBD,CD)＝ eq \f(10t sin 120°,10\r(3)t)＝ eq \f(1,2)， ∴∠BCD＝30°. 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船． 感悟升华　测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 【即学即用】　3.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20( eq \r(3)＋1) n mile的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile，正以10 eq \r(2) kn的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且 eq \r(3)＋1 h后开始持续影响基地2 h．求台风移动的方向． 解：如图所示， 设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20. 由题意AB＝20( eq \r(3)＋1)，DC＝20 eq \r(2)，BC＝( eq \r(3)＋1)·10 eq \r(2). 在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°. 在△ABC中，由余弦定理得cos ∠BAC＝ eq \f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝ eq \f(\r(3),2). 所以∠BAC＝30°， 又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向， 又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°. 1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　 ) A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上 解析：如图所示． 答案：C 2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　 ) A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，知α＝β. 答案：B 3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　 ) A． eq \r(2)a km B． eq \r(3)a km C．a km D．2a km 解析：△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝ eq \r(2)a. 答案：A 4．一船以15 km/h的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km. 解析：如图所示，AC＝15×4＝60，∠BAC＝30°，∠B＝45°，在△ABC中， eq \f(60,sin 45°)＝ eq \f(BC,sin 30°)，∴BC＝30 eq \r(2). 答案：30 eq \r(2) 【基础巩固】 1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　 ) A．10 km B．10 eq \r(3) km C．10 eq \r(5) km D．10 eq \r(7) km 解析：如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10 eq \r(7)(km). 答案：D 2．如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB长度为(　　 ) A．3 km B．4 km C． eq \r(13) km D． eq \r(17) km 解析：由余弦定理可得AB＝ ＝ eq \r(9＋16－2×3×4×\f(1,2))＝ eq \r(13)(km). 答案：C 3．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是(　　 ) A． eq \f(15,7) h B． eq \f(5,14) h C． eq \f(7,15) h D． eq \f(14,5) h 解析：设航行x h时，甲船在P处，乙船在Q处，甲、乙两船相距s km，如图所示， 在△BPQ中，由余弦定理，知PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ cos 120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·(－ eq \f(1,2))＝28x2－20x＋100，所以当x＝ eq \f(5,14)时，s2最小，即s最小． 答案：B 4．一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30 n mile，如图所示．随后该船以20 kn的速度，沿直线向东南方向航行1 h后到达点B，测得灯塔C在其北偏东25°方向，则sin ∠ACB＝(　　 ) A． eq \f(2,3)sin 70° B． eq \f(2,3)sin 75° C． eq \f(3,2)cos 70° D． eq \f(\r(3),3) 解析：由题意可知，∠ABC＝45°＋25°＝70°，AB＝20 n mile，由正弦定理可得 eq \f(AC,sin ∠ABC)＝ eq \f(AB,sin ∠ACB)，代入数据得sin ∠ACB＝ eq \f(2,3)sin 70°. 答案：A 5．如图，八卦桥(图1)是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔(图2)，晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽．某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为45°和60°，C，D间的距离是12 m．则宝塔的高度AB是(　　 )m.(结果保留根号) A．6 eq \r(3) B．12 eq \r(2) C．12＋6 eq \r(3) D．18＋6 eq \r(3) 解析：设宝塔的高度AB＝x m，因为∠ACB＝45°，AB⊥AC，故AC＝x m，而CD＝12 m，故AD＝(x－12)m，又∠ADB＝60°，所以tan ∠ADB＝ eq \f(AB,AD)＝ eq \f(x,x－12)＝ eq \r(3)，解得x＝(18＋6 eq \r(3))m，即宝塔的高度AB是(18＋6 eq \r(3))m. 答案：D 6．如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m. 解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得 eq \f(100,sin 30°)＝ eq \f(x,sin 45°)，解得x＝100 eq \r(2). 答案：100 eq \r(2) 7．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 eq \r(3) h，船实际航程为________km. 解析：如图所示， 在△ACD中，AC＝2 eq \r(3)，CD＝4 eq \r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2 eq \r(3)×4 eq \r(3)× eq \f(1,2)＝36，∴AD＝6.即该船实际航程为6 km. 答案：6 8．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据： eq \r(2)≈1.414， eq \r(5)≈2.236) 解析：由题意可知，AB＝200 m，AC＝100 eq \r(2) m，由余弦定理可得BC＝ eq \r(40 000＋20 000－2×200×100\r(2)×(－\f(\r(2),2)))≈316.2(m)，所以这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s). 答案：22.6 9．如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进20 m到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向． (1)求点D到塔底B的距离BD； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为30°，求铁塔高AB. 解：(1)由题意可知，∠BCD＝45°，∠BDC＝105°故∠CBD＝30°， 在△BCD中，由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BCD)＝ eq \f(CD,sin ∠CBD)，即 eq \f(BD,sin 45°)＝ eq \f(20,sin 30°)， 所以BD＝ eq \f(20sin 45°,sin 30°)＝ eq \f(20×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝20 eq \r(2) m. 因此点D到塔底B的距离BD为20 eq \r(2) m. (2)在△BCD中，由正弦定理得 eq \f(BC,sin ∠BDC)＝ eq \f(BD,sin ∠BCD)， 即BC＝ eq \f(20\r(2),sin 45°)·sin 105°＝40sin (60°＋45°)＝40×(sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°)＝40× eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝10( eq \r(6)＋ eq \r(2))， 在Rt△ABC中，AB＝BC×tan ∠ACB＝10( eq \r(6)＋ eq \r(2))× eq \f(\r(3),3)＝10 eq \r(2)＋ eq \f(10\r(6),3)， 所以铁塔高AB为(10 eq \r(2)＋ eq \f(10\r(6),3))m. 10．在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372 km.此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？(参考数据： eq \r(3)≈1.73，sin 53°≈ eq \f(4,5)，cos 53°≈ eq \f(3,5)，tan 53°≈ eq \f(4,3)) 解：设我方军舰大约需要x h到达C岛，则AC＝30x， 由题意知，∠ABC＝28°＋25°＝53°，∠ACB＝58°－28°＝30°，BC＝372 km， 在△ABC中，∠BAC＝180°－53°－30°＝97°， 又sin 97°＝sin (180°－83°)＝sin 83°＝sin (53°＋30°)＝sin 53°cos 30°＋cos 53°sin 30°＝ eq \f(4,5)× eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(3,5)× eq \f(1,2)＝ eq \f(4\r(3)＋3,10)， 在△ABC中，由正弦定理可得 eq \f(BC,sin ∠BAC)＝ eq \f(AC,sin ∠ABC)，即 eq \f(372,sin 97°)＝ eq \f(30x,sin 53°)，解得x≈10， 所以我方军舰大约需要10 h到达C岛． 【综合运用】 11．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　 ) A．7 km B．8 km C．9 km D．6 km 解析：在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos (π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos ∠D，解得cos ∠D＝－ eq \f(1,2)，所以AC＝ eq \r(49)＝7. 答案：A 12．(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 eq \r(6) n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 eq \r(3) n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　 ) A．A处与D处之间的距离是24 n mile B．灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C．灯塔C在D处的西偏南60° D．D在灯塔B的北偏西30° 解析：在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， 则∠B＝45°，AB＝12 eq \r(6)，由正弦定理得AD＝ eq \f(AB sin ∠B,sin ∠ADB)＝ eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝ 答案：AC 24，所以A处与D处之间的距离为24 n mile，故A正确； 在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°，又AC＝8 eq \r(3)，解得CD＝8 eq \r(3)，所以灯塔C与D处之间的距离为8 eq \r(3) n mile，故B错误；∵AC＝CD＝8 eq \r(3)，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；灯塔B在D的南偏东60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误． 13．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h. 解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302，化简得4t2－8 eq \r(2)t＋7＝0，∴t1＋t2＝2 eq \r(2)，t1·t2＝ eq \f(7,4)，从而|t1－t2|＝ eq \r((t1＋t2)2－4t1t2)＝1(h). 答案：1 14．某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6 m，小李的身高(AB)1.5 m，小军的身高(CD)1.75 m，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据： eq \r(2)≈1.41， eq \r(3)≈1.73) 解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，∴MN＝0.25， ∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME， 设AM＝ME＝x，则CN＝(x＋6)，EN＝(x－0.25)， ∵∠ECN＝30°，∴tan ∠ECN＝ eq \f(EN,CN)＝ eq \f(x－0.25,x＋6)＝ eq \f(\r(3),3)，解得x≈8.8， 则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3 m. 旗杆的高EF约为10.3 m. 【创新探索】 15．如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点．某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度). (1)请你利用准备好的工具(可不全使用)，设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告； 注：测量报告中包括你使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式． (2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差原因进行说明． 解：(1)选用测角仪与米尺即可，如图所示． ①选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上； ②在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测得测角仪的高度是h； ③经计算得建筑物的高度AB＝ eq \f(a sin αsin β,sin (α－β))＋h eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(a tan αtan β,tan α－tan β)＋h)). (2)①测量工具问题； ②两次测量时位置的间距差； ③用身高代替测角仪的高度． (答案不唯一) $$