6、6.2.4 第2课时 向量数量积的运算律及应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　向量数量积的运算律及应用 　 第六章　6.2　6.2.4　向量的数量积 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．　 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，培养数学运算核心素养． 知识点　向量数量积的运算律 1 课时测评 4 综合应用 2 内容索引 随堂演练 3 知识点　向量数量积的运算律 返回 问题导思 问题1.向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？ 提示：不相同；数量积得到的结果是实数；而数乘运算得到的结果是向量． 问题2.类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 提示：满足交换律和分配律． 新知构建 1．向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝____(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝______(数乘结合律)； (3)(a＋b)·c＝_________(分配律). b·a a·(λb) a·c＋b·c 2．多项式乘法与向量数量积的相同点 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝_______________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝_____________ (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝________ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝___________________________ a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 a2－b2 a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 微提醒 (1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)a，c不共线时，(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量． 例1 (1)(多选)如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的有 √ √ (2)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，向量a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝________． 规律方法 1．运用a·b＝|a||b|cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，求解时要灵活运用数量积的运算律． 2．若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算．　　 对点练1．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.求a·b与(a－2b)·(a＋b)的值． 解：a·b＝|a||b|cos θ ＝5×4·cos 120°＝－10； (a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2 ＝|a|2－|a||b|·cos 120°－2|b|2 ＝25－(－10)－2×42＝3. 返回 综合应用 返回 应用一　向量的模的计算 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝ 例2 √ 规律方法 求向量的模的基本思路 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据．这种通过求自身的数量积从而求模的思路是解决向量的模的问题的主要方法．此外，根据平面图形求向量的模时，要注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化．　　 对点练2．已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为 A．2 B．2 C．6 D．12 √ 因为|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1·cos 60°＋16×12＝12，所以|a－4b|＝2 .故选B. 应用二　向量的夹角与垂直 角度1　两向量的夹角 A．120° B．60° C．30° D．45° 例3 √ 规律方法 求两向量夹角的方法 求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝ 求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系再求解.　　 角度2　利用数量积解决向量的垂直问题 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b.求实数m为何值时，c与d垂直． 解：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1. 若c⊥d，则c·d＝0. 所以c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0， 例4 规律方法 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算代入，与向量的模、夹角相关的知识结合解题．　　 对点练3．已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小． 解：设a与b的夹角为θ，由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0， 又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°， 即a与b的夹角为60°. 返回 课堂小结 知识 (1)向量数量积的运算律．(2)利用数量积求向量的模和夹角．(3)向量垂直的应用． 方法 类比法 易错误区 忽略向量数量积不满足结合律． 随堂演练 返回 √ √ √ 返回 4．已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ＝________． 课时测评 返回 由|a|＝2，得|－2a|＝4，根据b在a上的投影向量为－2a，可知b在a上的投影的数量为－4，故根据数量积的几何意义，a·b等于|a|与b在a上的投影的数量的乘积，故a·b＝2×(－4)＝－8.故选C. 1．已知|a|＝2，向量b在a上的投影向量为－2a，则a·b＝ A．4 B．8 C．－8 D．－4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于 A．16 B．256 C．8 D．64 法一：因为|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，所以|2a＋3b|＝16.故选A. 法二：由题意知2a＝b，所以|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为3a＋2b与λa－b垂直，所以(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，所以λ＝ .故选A. 4．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．|a＋b|＝1 B．a⊥b C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1 分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；因为(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，所以|a＋b|＝ ，故A错误；因为(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，所以(4a＋b)⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D正确．故选CD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．已知非零向量a，b满足b2＝3a2，且a⊥(3a＋2b)，则向量a与b的夹角为____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝t e1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围是___________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝ . (1)求a与b的夹角θ；(5分) 所以1－2×1×2×cos θ＋4＝7， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若c＝t a＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.(5分) 解：因为a⊥c，所以a·(t a＋b)＝0， 所以t＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则 ＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(11分)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－3b)·(a＋b)＝3. (1)求|a＋b|的值；(5分) 解：因为(a－3b)·(a＋b)＝3， 所以|a|2＋a·b－3a·b－3|b|2＝3， 所以4－2a·b－3＝3，即a·b＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求向量a与a－2b的夹角．(6分) 解：设向量a与a－2b的夹角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)已知a，b是夹角为90°的两个单位向量，若非零向量c满足(c－a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(14分)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F 在CD边上运动(含C，D点). 解：因为E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 A．＋＋＝0 B．(－)·(－)＝0 C．(·)＝(·) D．|＋|＝|＋－| 对于A，＋＋＝2，故A错误；对于B，因为－＝－＝，－＝－＝， 由正六边形的性质知OF⊥EA，所以(－)·(－)＝0，故B正确；对于C，设正六边形的边长为1，则·＝1×1×cos 120°＝－，·＝1×1×cos 60 °＝，所以(·)＝(·)⇔－＝，式子显然成立，故C正确；对于D，设正六边形的边长为1，|＋|＝||＝1，|＋－|＝|＋－|＝|－|＝||＝，故D错误．故选BC. － 因为单位向量e1，e2的夹角为120°，且a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，所以a·b＝(－e1＋2e2)·(2e1＋e2)＝－2e＋3e1·e2＋2e＝－2＋3×1×1×cos 120°＋2＝－. A．6 B．4 C． D． a·(a－2b)＝0，所以a2－2a·b＝0.因为|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝，所以|a＋b|＝＝＝.故选C. 已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|＝，则a与b的夹角为 由|a－b|＝可得(a－b)2＝，即|a|2－2a·b＋|b|2＝，故1－1＋|b|2＝，即|b|＝.设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝，即cos θ＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.故选D. 所以m＝. 故当m＝时，c与d垂直． 所以cos θ＝， 1．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b＝ A．1 B．－4 C．－ D． 由已知，得e1·e2＝|e1||e2|cos ＝，所以a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－.故选C. 2．若两个单位向量a，b的夹角为，则|4a＋5b|＝ A．1 B． C． D．7 因为(4a＋5b)2＝16a2＋40a·b＋25b2＝16×12＋40×1×1×cos ＋25×12＝21，所以|4a＋5b|＝.故选C. 3．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(t m＋n)，则实数t＝ A．4 B．－4 C． D．－ 由题意知＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n⊥(tm＋n)，所以n·(t m＋n)＝0，所以t m·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.故选B. 因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.又a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝. A． B． C． D． 设向量a与b的夹角为θ.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos θ＝3，所以cos θ＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C. A． B．－ C．± D．1 5．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是 6．(多选)若e1，e2是夹角为π的单位向量，a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，则下列结论中正确的有 A．a⊥b B．|a|＝ C．|a－b|＝ D．cos 〈a，a－b〉＝ 由向量e1，e2是夹角为π的单位向量，可得e1·e2＝|e1||e2|cos ＝－.因为a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，所以a·b＝2e－2e－3e1·e2＝2－2＋＝≠0，所以a⊥b不成立，故A错误；|a|2＝e－4e1·e2＋4e＝1＋2＋4＝7，所以|a|＝，故B正确；由a－b＝－e1－3e2，可得|a－b|＝＝＝，故C错误；a·(a－b)＝－e－e1·e2＋6e＝－1＋＋6＝，则cos 〈a，a－b〉＝＝＝，故D正确．故选BD. 7．已知向量⊥，||＝3，则·＝________． 因为⊥，所以·＝·(－)＝·－2＝·－9＝0，即·＝9. 根据题意，设向量a与b的夹角为θ，又由a⊥(3a＋2b)，则有a·(3a＋2b)＝3a2＋2a·b＝0，变形可得a·b＝－a2，又由非零向量a，b满足b2＝3a2，即|b|＝|a|，则cos θ＝＝＝－，又由0≤θ≤π，则θ＝. (－，3)∪(3，＋∞) 因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，且a，b不共线，当a·b>0时，(3e1＋2e2)·(t e1＋2e2)＝3t e＋(6＋2t)e1·e2＋4e＝3t＋(6＋2t)＋4>0，得t>－，当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以解得所以当t≠3时，a，b不共线．综上，t的取值范围为(－，3)∪(3，＋∞). 解：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7， 所以cos θ＝－. 又θ∈，所以θ＝. 所以ta2＋a·b＝0，所以t＋1×2×(－)＝0， 所以c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×(－)＋4＝3， 所以|c|＝. 11．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，(a＋b)·＝12，则b在a上的投影向量为 A．a B．2b C．a D．2b (a＋b)·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝|a|2＋|a||b|cos 45°－3|b|2＝16＋|b|－3|b|2＝12，解得|b|＝或|b|＝－(舍去).故b在a上的投影向量为|b|cos 45°＝××＝a.故选A. 12．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为 因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，又因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选A. 因为a⊥b，所以a·b＝0，|a＋2b|＝＝，|a－2b|＝＝，所以(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝ ·cos 120°，化简得a2－2b2＝0，所以＝. 故|a＋b|＝＝＝＝. 则cos θ＝＝， 因为|a－2b|＝＝＝＝2， 所以cos θ＝＝， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即a与a－2b的夹角为. A．1 B． C． D．2 设a＋b与c的夹角为θ，由题意知，a·b＝0，则(c－a)·(c－b)＝c2－(a＋b)·c＋a·b＝c2－(a＋b)·c＝|c|2－|a＋b||c|cos θ＝0，因为c为非零向量，所以|c|＝|a＋b|·cos θ≤|a＋b|，易得|a＋b|＝，因此|c|的最大值为.故选B. (1)若点F是CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值；(6分) 所以＝＝，＝－＝－， 所以＝＋＝－＋， 又＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝， 故λ＋μ＝－＋＝. (2)若AB＝2，当·＝1时，求cos ∠EAF的值．(8分) 解：设＝m(0≤m≤1)， 则＝＋＝－m， 又＝＋＝＋，·＝0， 所以·＝(＋)·(－m)＝－m2＋2＝－4m＋2＝1， 故m＝. 所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＝3＋2＝5， 易得||＝，||＝， 所以cos ∠EAF＝＝＝. $$