5、6.2.4 第1课时 两向量的夹角及数量积的概念-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　两向量的夹角及数量积的概念 　 第六章　6.2　6.2.4　向量的数量积 学习目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．　 2.掌握向量数量积的定义及投影向量，培养数学抽象核心素养．　 3.会计算平面向量的数量积，培养数学运算核心素养． 知识点一　两向量的夹角 1 知识点二　两向量的数量积 2 知识点三　投影向量 3 课时测评 5 内容索引 随堂演练 4 知识点一　两向量的夹角 返回 问题导思 问题1.在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？ 提示：θ是向量F与向量s的夹角． 新知构建 当θ＝0时，a与b______； 当θ＝π时，a与b______． 非零向量 ∠AOB＝θ 同向 反向 微提醒 (1)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 . (2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 例1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 规律方法 1．求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． 2．特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.　　 A．30° B．60° C．120° D．150° √ 返回 知识点二　两向量的数量积 返回 问题导思 问题2.物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？ 提示：W ＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角). 新知构建 1．平面向量数量积的意义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为___． 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝________． (2)a⊥b ⇔ a·b＝___． 0 |a|cos θ 0 (4)|a·b|___|a||b|. ≤ 微提醒 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． 例2 已知正三角形ABC的边长为1，求： 规律方法 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．　　 0 －16 －16 (2)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________． 返回 知识点三　投影向量 返回 问题导思 问题3.如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则 线段OD就是线段OA在OB上的投影，如何用|OA|和θ表示|OD|? 提示：|OD|＝|OA|cos θ. 新知构建 投影 投影 微提醒 (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量． (2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性． 例3 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； 解：a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. (2)求a在b上的投影向量． 规律方法 投影向量的求法 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).　　 √ 课堂小结 知识 (1)向量的夹角．(2)向量数量积的定义．(3)投影向量．(4)向量数量积的性质． 方法 数形结合 易错误区 向量夹角共起点；a·b>0 两向量夹角为锐角，a·b<0 两向量夹角为钝角． 返回 随堂演练 返回 √ 2．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是 A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 √ √ 2 返回 4．已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________． e 课时测评 返回 1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．(多选)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，O为其中心，下列结论正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是 A．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．|a·b|≤|a||b| √ √ √ 选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误．A，C，D显然正确．故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 等边三角形 －8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图，已知△ABC是等边三角形． 解：因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°. 如图，延长AB至点D，使BD＝AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：因为E为BC的中点， 所以AE⊥BC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.故选D. 11．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为 A．30° B．45° C．60° D．90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)下列说法正确的是 D．已知向量a，b，若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a·b＝|a||b| √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新定义)定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于 A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(14分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在 OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 1．夹角：已知两个____________a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则____________(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b. 又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 对点练1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是 如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.故选C. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (5)cos θ＝. (4)|a|＝ 是求向量的长度的工具． (1)·； 解：因为与的夹角为60°， 所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)·； 解：因为与的夹角为120°， 所以·＝||||cos 120°＝1×1×(－)＝－. (3)·. 解：因为与的夹角为60°， 所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16. 对点练2．(1)在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________． 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 1．如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b______，叫做向量a在向量b上的______向量． 2．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 解：a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝e＝ －e＝－e. 对点练3．已知e为单位向量，＝6，向量a，e的夹角为，则a在e上的投影向量是 A．2e B．0 C．－3e D．－2e e为单位向量，则 ＝1，则向量a在向量e上的投影向量为cos θ＝6cos e＝－3e.故选C. 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于 A．3 B．－3 C．－3 D．3 由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×(－)＝－3.故选B. D．|a|＝ a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故A错误；向量夹角的范围是[0，π]，故B错误；由数量积的性质知，故C正确；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝，故D正确．故选CD. 3．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·＝______． ·＝||||cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2. 设a与b的夹角为θ，a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝2×e＝e. A．－3 B．－6 C．6 D．2 a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×(－)＝－6.故选B. 2．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为 A．3 B． C．2 D． 设a与b的夹角为θ，因为|a|·cos θ＝b，所以|a|·cos θ＝，所以|a|·cos θ＝，所以a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.故选B. 3．在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 由题意得B＝30°，AD⊥BC，所以在上的投影向量为||· cos 30°·＝.故选B. 4．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于 A．－ B． C．－ D． a·b＝·＝－·＝－||·||cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝－.故选A. A．·＝－1 B．·＝2 C．|＋|＝|－| D．·＝· 由正六边形的性质可知，与反向共线，所以·＝||||cos 180°＝－1，故A正确；与的夹角为120°，所以·＝||||cos 120°＝2×2×(－)＝－2，故B错误；＋＝，－＝，||＝||，故C正确；·＝||||cos 60°＝，·＝·＝||||cos 120°＝－，故D错误．故选AC. 7．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________． 设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1，则cos θ＝＝，又因为0≤θ≤π，所以θ＝. b 设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，所以|a|cos θ＝，＝，即a在b上的投影向量为b. 9．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是___________，·＝________． ·＝||||cos ∠BAC，即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝，因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．此时·＝||||cos 120°＝－8. (1)求向量与向量的夹角；(6分) 则＝， 所以∠DBC为向量与的夹角． 因为∠DBC＝120°，所以向量与的夹角为120°. (2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．(4分) 所以与的夹角为90°. A．向量a在向量b上的投影向量可表示为· B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° 对于A，根据投影向量的定义，知A正确；对于B，因为a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又因为0≤θ≤π，所以θ∈，故B正确；对于C，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故C错误；对于D，由|a|＋|b|＝|a＋b|得：向量a，b同向共线，所以a·b＝|a||b|cos 0＝|a||b|，故D正确．故选ABD. 13．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝________． 由题意知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25. 14．(11分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值；(5分) 解：若＝，则＝＋， 故x＝y＝. (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．(6分) 解：因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以||＝2. 又因为＝3，所以||＝. 所以||＝＝，cos ∠OPB＝； 所以与的夹角θ的余弦值为－. 所以·＝||||cos θ＝－3. cos θ＝＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝.所以|a×b|＝2×5×＝8. cos θ＝＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝.所以|a×b|＝2×5×＝8. (1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量；(6分) 解：连接AM，BM(图略)，由已知可得＝，四边形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－(＋)＝－－. (2)求·的取值范围．(8分) 解：法一：设＝k，k∈[0，1]，则＝(k－1)－，＝－－k，·＝， 所以·的取值范围是. 法二：易知∠DMC＝60°，且||＝||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可． 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC＝1， 则·＝cos 60°＝. 所以·的取值范围为. $$