11、重点题型强化(一)　平面向量数量积的综合应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

重点题型强化(一)　平面向量数量积的综合应用 　 第六章　平面向量及其应用 学习目标 1.掌握平面向量线性运算与数量积运算．　 2.会用数量积运算解决向量的模、夹角、垂直等问题，培养数学运算核心素养． 题型一　平面向量数量积的计算 1 题型二　平面向量数量积的应用 2 题型三　平面向量的数量积与三角函数的综合 3 课时测评 5 内容索引 随堂演练 4 题型一　平面向量数量积的计算 返回 例1 A．－15 B．－13 C．13 D．15 √ 规律方法 平面向量数量积的运算方法 1．当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角). 2．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 3．选择合适的基底，转化为基底去解决问题．　　 √ 返回 题型二　平面向量数量积的应用 返回 例2-1 角度1　模的问题 1 以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 角度2　角的问题 例2-2 角度3　垂直问题 例2-3 √ 规律方法 3．判定垂直：若a，b为非零向量，则a⊥ba·b＝0.　　 对点练2．(1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝ A．－6 B．－5 C．5 D．6 √ A．|b|＝2 B．a·b＝－2 C．(4a＋b)⊥ D．|a－b|＝1 √ √ 返回 题型三　平面向量的数量积与三角函数的综合 返回 例3 已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ )，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值． 规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1．题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解． 2．当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解．　　 对点练3．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)求证：向量a＋b与a－b垂直； 证明：因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， 所以|a|＝ ＝1，同理|b|＝1. 所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝ 1－1＝0， 所以向量a＋b与a－b垂直． 返回 (2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数). 解：a·b＝cosαcos β＋sin αsin β＝cos (β－α). 因为|ka＋b|＝|a－kb|， 所以|ka＋b|2＝|a－kb|2， 即k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2， 即k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2， 整理得a·b＝cos (β－α)＝0. 因为0<β<α<π，则0<α<π，0<β<π， 所以－π<β－α<0，所以β－α＝－ . 随堂演练 返回 1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝ A．2 B．3 C．4 D．5 由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝ ＝5.故选D. √ A．－6 B．6 C．－8 D．8 √ 3．(多选)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是 √ √ √ 4．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则 A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 返回 √ 课时测评 返回 1．向量a＝(1，1)，b＝(－1，0)，则a与b的夹角为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．已知向量a＝(2，1)，b＝(4，3)，c＝(1，－1)，若(λa＋b)⊥c，则λ＝ 由题意得，λa＋b＝λ(2，1)＋(4，3)＝(2λ＋4，λ＋3)，由(λa＋b)⊥c，得(λa＋b)·c＝0，所以2λ＋4＋(－1)(λ＋3)＝0，解得λ＝－1.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝ ，所以a·b＝1.故选D. 3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝ ，|a－2b|＝3，则a·b＝ A．－2 B．2 C．－1 D．1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．32 B．48 C．80 D．64 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．(多选)已知向量a＝(cos θ－2sin θ，sin θ－2cos θ)，b＝(1，2).若0<θ<2π，|a|＝|b|，则θ的值可以为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)已知平面向量a＝(1，3)，b＝(2，t)，则下列命题中的真命题有 A．若a∥b，则t＝6 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|·cos 〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3× ＋32＝11. 7．设向量a，b的夹角的余弦值为 ，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，m)，且a⊥(2a－b)，则|a－2b|＝_______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图，已知A(1，1)，B(5，4)，C(2，5)，设向量 a是与向量 垂直的单位向量． (1)求单位向量a的坐标；(3分) 解：设a＝(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求向量 在单位向量a上的投影向量的模；(4分) 又因为 ＝(1，4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求△ABC的面积S△ABC.(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰(非等边)三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求a·b及|a＋b|；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x∈ ，所以cosx≥0， 所以|a＋b|＝2cos x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－ ，求λ的值．(6分) 解：由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b| ＝cos 2x－4λcos x， 即f(x)＝2cos2x－1－4λcosx ＝2(cos x－λ)2－1－2λ2. 因为x∈ ，所以0≤cos x≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x＝0时， f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ③当λ>1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ， 综上所述，λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以x－y＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 因为x∈[0，2]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则·＝ 法一(基底法)：因为∠ABC＝90°，F为AB的中点，CB＝8，AB＝12，所以FA＝FB＝6，所以CF＝＝10，又CE＝3，所以FE＝CF－CE＝7，所以·＝(－)·(－)＝·－·(＋)＋2＝6×6×(－1)＋7×7＝13. 法二(坐标法)：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(6，0).在Rt△CBF中，CF＝＝10，又CE＝3，所以CE＝FC，即FE＝FC，则＝＋＝＋＝(6，0)＋(－6，8)＝(，)，同理＝(－，)，所以＝(，－)，＝(－，－)，则·＝×(－)＋(－)2＝13. 对点练1．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AC＝2，M为AB的中点，D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则·＝ A.－2 B．－ C．－1 D．－ 连接MD(图略)，因为在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝2，M为AB的中点，D为AC的中点，所以DM＝BC＝，DE＝AC＝1，＝＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝－1＝－.故选D. 在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边CD上，满足＝.若||＝4，∠DAB＝，且⊥，则||＝________． 设||＝a，则由题意可得E(2，0)，B(4，0)，C(4＋，a)，F(＋，a).所以＝(2＋，a)，＝(－，a)，因为⊥，所以·＝0，即(2＋)(－)＋(a)2＝0，所以5a2＋3a－8＝0，解得a＝1或a＝－(舍去)，所以||＝1. 已知矩形ABCD的边长满足BC＝3AB，点P满足＝(＋)，则cos ∠DPA的值为________． － 以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设BC＝3AB＝3，则点A(0，0)，B(1，0)，C(1，3)，D(0，3)，＝(＋)＝(1，0)＋(1，3)＝(1，)，则点P(1，)，所以＝(－1，)，＝(－1，－)，因此||＝＝，||＝，·＝(－1)×(－1)＋×(－)＝1－＝－.cos ∠DPA＝＝＝－. 已知a，b都是单位向量，若a－b与b垂直，且|a＋b|＝k|a－b|，则k的值为 A．1 B． C．2 D． 由于a－b与b垂直，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝a·b－＝0，a·b＝，由|a＋b|＝k|a－b|两边平方并化简得2＋2a·b＝k2(2－2a·b)，即2＋1＝k2(2－1)，k2＝3，k＝或k＝－(舍去)，所以k的值为.故选D. 1．求模：利用公式|a|＝. 2．求夹角：cos θ＝. 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5.故选C. (2)(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则 由题意可知，b＝(2a＋b)－2a＝－＝，则|b|＝||＝2，故A正确；a·b＝·＝||·||cos 120°＝×2×2×(－)＝－1，故B错误；(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×(－1)＋22＝0，则(4a＋b)⊥，故C正确；|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×(－1)＋4＝7≠1，即|a－b|≠1，故D错误．故选AC. 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2. 解：f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－) ＝3cos x－sin x＝2cos (x＋). 因为x∈[0，π]，所以x＋∈， 从而－1≤cos (x＋)≤. 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3； 2．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点M是边BC的中点，则·的值为 因为在△ABC中，点M是边BC的中点，所以＝(＋)，因为＝－，AB＝4，AC＝2，所以·＝(－)·(＋)＝(2－2)＝×(4－16)＝－6. A．a·b＝5 B．|a－b|＝ C．〈a，b〉＝ D．a∥b a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，故A正确；a－b＝(2，1)，|a－b|＝＝，故B正确；|a|＝＝，|b|＝＝，则cos 〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉＝，故C正确；3×(－2)≠(－1)×1，故D错误．故选ABC. A． B． C． D． 由题意得cos 〈a，b〉＝＝＝－，则a与b的夹角为.故选C. A．－ B． C．－1 D．1 4．在直角梯形ABCD中，AB＝8，CD＝4，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝ 因为·(＋)＝·＋·，所以由数量积的几何意义可得，·的值为||与在上投影的数量的乘积．又在上的投影的数量为AB＝4，所以·＝32.同理可得·＝8×6＝48，所以·(＋)＝32＋48＝80. A． B．π C． D． 因为|a|＝|b|，所以(cos θ－2sin θ)2＋(sin θ－2cos θ)2＝12＋22，化简整理可得8sin θ·cos θ＝0，则sin θ＝0或cos θ＝0，因为0<θ<2π，所以θ＝或π或.故选ABD. B．若a⊥b，则t＝－ C．若|a|＝|b|，则t＝ D．若a与b的夹角为，则t＝1 对于A，由a∥b得t－6＝0，解得t＝6，故A正确；对于B，由a⊥b得2＋3t＝0，解得t＝－，故B正确；对于C，由|a|＝|b|得＝，解得t＝±，故C错误；对于D，由a与b的夹角为得＝，解得t＝1或t＝－4(舍去)，故D正确．故选ABD. 5 根据题意，2a－b＝(－1，4－m)，因为a⊥(2a－b)，所以a·(2a－b)＝1×(－1)＋2×(4－m)＝0，所以m＝，所以a－2b＝(－5，－5)，所以|a－2b|＝＝5. 9．已知四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，AB＝2，且＝，则·＝________． 如图，因为＝，所以M为CD中点，·＝·(＋)＝·(＋)＝·(＋)＝·＋2＝||·||cos ∠BAD＋||2＝2＋2＝4. 依题意有＝(4，3)，||＝5，|a|＝1， 且a⊥，即a·＝0， 所以 解得或 所以a＝(－，)或a＝(，－). 所以当a＝(－，)时， |h|＝＝； 解：设向量与单位向量a的夹角为θ，在单位向量a上的投影向量为h， 则|h|＝|||cos θ|＝＝|·a|. 当a＝(，－)时， |h|＝＝. 所以向量在单位向量a上的投影向量的模为. 解：S△ABC＝|||h|＝×5×＝. 11．在△ABC中，＋＝0，·＝－，则△ABC的形状为 由＋＝0，可得·＋·＝0，即(＋)·＝0，所以有(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||.因为·＝··cos B＝cos B＝－，0°<B<180°，所以B＝120°，所以△ABC为等腰(非等边)三角形．故选D. 12．(多选)在平面四边形ABCD中，||＝||＝||＝·＝1，·＝，则 A．||＝1 B．⊥ C．＝ D．·＝ 因为||＝||＝||＝1，·＝||||cos B＝，可得B＝，所以△ABC为等边三角形，则||＝1，故A正确；因为||＝1，所以2＝1，又·＝1，所以2＝·，得2－·＝·(－)＝·＝0，所以⊥，故B正确；根据以上分析作图，由A，B项可知△ACD为等腰直角三角形且∠ACD＝90°，又因为∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝150°，而∠ADC＝45°，所以BC与AD不平行，故C错误；·＝(＋)·＝·＋2＝1×1×cos 30°＋12＝，故D正确．故选ABD. 13．在△ABC中，BC＝4，·＝11，若D为BC的中点，则||＝________． 由题意得＝(＋)，所以2＝(2＋2＋2·)，故42＝2＋2＋2·，又2＝(－)2＝2＋2－2·，两式相减得42－2＝4·，所以42－16＝44，所以||＝. 14．(11分)已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(cos ，－sin )，且x∈. 解：a·b＝cos cos －sin sin ＝cos (＋)＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝ ＝＝2， 由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝； 由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1相矛盾． 15．(5分)(多选)如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2.设在上的投影向量为λ，则下列说法正确的是 A．λ的值为 B．λ的值为 C．||＝ D．||＝ 在上的投影向量为||cos ∠BAC·＝2××＝，所以λ＝，故A错误，B正确．＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，||2＝2＝(＋)2＝(4＋2·＋9)＝×(13＋2×2×3×)＝，所以||＝.故C错误，D正确．故选BD. 16．(14分)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，D是线段BC上一点，且＝，F为线段AB上一点． (1)若＝x＋y，求实数x－y的值；(6分) 解：因为＝， 所以－＝(－)， 得＝＋. 因为＝x＋y， 所以x＝，y＝， 设||＝x，由题意得x∈， 所以·＝·＋· ＝||||cos ∠CAB－||2 (2)求·的取值范围．(8分) 所以∠CAB＝，BC＝， 所以·＝(＋)·＝·＋·. ＝x－x2＝－(x－)2＋. 所以－(x－)2＋∈， 所以·的取值范围为. $$