专题06三角形之8字模型讲义-2025年中考数学总复习

8字模型 一、图解模型 角的关系：∠A+∠B=∠C+∠D 【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180° 在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°， ∵∠1=∠2, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. 边的关系：AC+BD>AB+CD 【证明】在△ABO，△CDO中， ∵ OA + OB > AB，① OC + OD > CD，② 由① + ②，得 OA + OB + OC + OD > AB + CD. ∴ AC + BD > AB + CD. 二、模型拓展 【证明】∵ AE平分∠BAD，CE平分∠BCD， ∴ ∠BAD = 2∠BAE，∠BCD = 2∠BCE. 根据“8字”模型结论，得 ∠BAD +∠B =∠BCD +∠D，① ∠BAE +∠B =∠BCE +∠E. ② ②×2 -①，得∠B = 2∠E - ∠D. ∴∠E =(∠B +∠D). 【例1】已知，如图，线段、相交于点，连结、，和的平分线和相交于点．试问与、之间存在着怎样的数量关系，请说明理由． 【例2】已知线段、相交于点，连接，，则我们把形如这样的图形称为“8字型”，且（如图，图2中，若和的平分线和相交于点，且与、分别相交于点、． （1）以线段为边的“8字型”有 　　个，以点为交点的“8字型”有 　　个； （2）若，，求的度数． 【变式1】图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字型．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； （3）图2中，当度，度时，求的度数． （4）图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【变式2】如图1，与相交于点，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试求： （1）的度数； （2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示，直接写出结论． 1．如图所示，的度数是　　 A． B． C． D． 2．如图，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．如图，线段、相交于点，平分，平分，当，时，的度数是　　． 4．如图所示，、相交于点，若平分交于，平分交于，，，则的度数为　　． 5．如图，平分交于点，平分交于点，于相交于点，若，，求的度数． 6．如图，与相交于点，为的平分线，为的平分线． （1）试探求：与、之间的关系？ （2）若．求的值． 7． “8字”的性质及应用： （1）如图①，、相交于点，得到一个“8字” ，求证：． （2）图②中共有多少个“8字”？ （3）如图②，和的平分线相交于点，利用（1）中的结论证明． 8．在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整： （1）已知：如图1，三角形，求证：，证明：过点作． （2）如图2，线段、相交于点，连接、，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出、、、之间的数量关系：　　； （3）在图2的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，得到图3，请判断与、之间存在的数量关系，并说明理由． 9．如图1，已知线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题： （1）在图1中，写出、、、之间关系为　　； （2）如图2，在（1）的结论下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、． ①若，，则　　； ②探究与、之间有何数量关系，并说明理由． 10．如图（1），在“8”字形图形中，，相交于点，因为，，，所以，利用“8”字形图形的结论解决下列问题． 如图（2）所示，，相交于点，，分别平分，，试说明： （1）； （2）若，，求的度数． 11．如图1，已知线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； ②若，，试求的度数； ③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若和为任意角，和的三等分线和相交于点，且，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 12．（2024春•华安县校级月考）如图1，已知线段、相交于点，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：． 利用以上结论解决下列问题： （2）如图2所示，，则的度数为　　． （3）如图3，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，． ①若，，求的度数． ②若角平分线中角的关系改成“，”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由． 13．如图1，线段、相交于点，连接、． （1）请说明：； （2）的平分线和的平分线相交于点（如图，试探索与、之间的数量关系，并请说明理由； （3）点在上，点在上，与相交于点，且．，其中为大于1的自然数（如图．与、之间又存在着怎样的数量关系？请直接写出你的探索结果，不必说明理由． 14．如图1，已知线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“对顶三角形”．如图2，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）仔细观察，在图2中有　　个以线段为边的“对顶三角形”； （2）在图2中，若，，求的度数． （3）在图2中，若设，，，，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示，并说明理由； （4）如图3，则的度数为　　． 15．探究与发现： 平面内，四条线段、、、首尾顺次相接，与相交于点． （1）如图1，若，，和的角平分线交于点，求的度数； （2）如图2，若，，，，求的度数； （3）如图3，设，，，，用含、、的代数式表示的度数（直接写答案）． 16．已知：如图，图1是，图2是“8字形”（将线段、相交于点，连接、形成的图形），图3是一个五角星形状，试解答下列问题： （1）图1的中，　　，并证明你写出的结论；（要有推理证明过程） （2）图2的“8字形”中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （3）若在图2的条件下，作和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、（如图．请直接写出与、之间数量关系：　　； （4）图3中的点向下移到线段上时，请直接写出　　． 17．我们把如图1所示的图形称为“8字形”．在图1中，． （1）如图2，，分别平分，，若，．求的度数； （2）如图3，射线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由； （3）在图4中，平分，平分的外角，猜想与，的关系，并说明理由． 18．【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点． 问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）如图1，若，，求证：点是的中点； （2）如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为 　　，扫过的面积为 　　． 19．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 　　； 探索二：如图2，若，，求的度数为 　　； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 　　． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则　　（用含有和的代数式表示），　　．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，　　．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 　　．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8字模型 一、图解模型 角的关系：∠A+∠B=∠C+∠D 【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180° 在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°， ∵∠1=∠2, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. 边的关系：AC+BD>AB+CD 【证明】在△ABO，△CDO中， ∵ OA + OB > AB，① OC + OD > CD，② 由① + ②，得 OA + OB + OC + OD > AB + CD. ∴ AC + BD > AB + CD. 二、模型拓展 【证明】∵ AE平分∠BAD，CE平分∠BCD， ∴ ∠BAD = 2∠BAE，∠BCD = 2∠BCE. 根据“8字”模型结论，得 ∠BAD +∠B =∠BCD +∠D，① ∠BAE +∠B =∠BCE +∠E. ② ②×2 -①，得∠B = 2∠E - ∠D. ∴∠E =(∠B +∠D). 【例1】已知，如图，线段、相交于点，连结、，和的平分线和相交于点．试问与、之间存在着怎样的数量关系，请说明理由． 【解析】，理由如下： 如图， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，． 【例2】已知线段、相交于点，连接，，则我们把形如这样的图形称为“8字型”，且（如图，图2中，若和的平分线和相交于点，且与、分别相交于点、． （1）以线段为边的“8字型”有 　　个，以点为交点的“8字型”有 　　个； （2）若，，求的度数． 【解析】（1）以线段为边的“8字型”有3个；以点为交点的“8字型”有4个； 故答案为：3，4； （2）以为交点”8字型“中，有， 以为交点”8字型“中，有 ， 、分别平分和， ，， ， ，， ； 【变式1】图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字型．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； （3）图2中，当度，度时，求的度数． （4）图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【解析】（1），， ， 故答案为：； （2）①线段、相交于点，形成“8字形”； ②线段、相交于点，形成“8字形”； ③线段、相交于点，形成“8字形”； ④线段、相交于点，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个， 故答案为：6； （3），① ，② 和的平分线和相交于点， ，， ①②得： ， 即， 又度，度， ， ； （4）关系：． ① ② ①②得： ， 和的平分线和相交于点， ， ． 【变式2】如图1，与相交于点，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试求： （1）的度数； （2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示，直接写出结论． 【解析】（1）根据三角形的内角和定理，， ， ， ， 、分别为和的平分线， ，， ， ， 整理得，， ，， ； （2）根据三角形的内角和定理，， ， ， ， ，， ， ， 整理得，， ，， ． 1．如图所示，的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】， ， ， 故选：． 2．如图，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】，， ． 又， ． ． 同理可得，． ． 平分交于点，平分交于点， ，． ． ． 又，， ． 故选：． 3．如图，线段、相交于点，平分，平分，当，时，的度数是　　． 【答案】 【解析】平分，平分， ，， 由三角形内角和定理得：，， ， ， ，， ， 故答案为． 4．如图所示，、相交于点，若平分交于，平分交于，，，则的度数为　　． 【答案】 【解析】如图， 平分交于，平分交于， ，， ①， ，即②， 由①②得， ，， ， 故答案为． 5．如图，平分交于点，平分交于点，于相交于点，若，，求的度数． 【解析】平分，平分， ，， ， ， ， ，， ． 6．如图，与相交于点，为的平分线，为的平分线． （1）试探求：与、之间的关系？ （2）若．求的值． 【解析】（1）为的平分线，为的平分线， ，， ， ， ， ； （2）当时，设，则，， ， ， ． 7． “8字”的性质及应用： （1）如图①，、相交于点，得到一个“8字” ，求证：． （2）图②中共有多少个“8字”？ （3）如图②，和的平分线相交于点，利用（1）中的结论证明． 【解析】（1），，又， ； （2）图②中有：、、，、、个“8字”； （3）平分，平分， ，， ，， ． 8．在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整： （1）已知：如图1，三角形，求证：，证明：过点作． （2）如图2，线段、相交于点，连接、，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出、、、之间的数量关系：　　； （3）在图2的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，得到图3，请判断与、之间存在的数量关系，并说明理由． 【解析】（1）证明：过作， ，， 又， ； （2）解：根据（1）得， 又， ； 故答案为：； （3）解：． 根据（2）①，②， 和的平分线和相交于点， ，， ①②得：， ． 9．如图1，已知线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题： （1）在图1中，写出、、、之间关系为　　； （2）如图2，在（1）的结论下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、． ①若，，则　　； ②探究与、之间有何数量关系，并说明理由． 【解析】（1）在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ， 故答案为：； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ， 故答案为：； （3）根据“8字形”数量关系，，， 所以，，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，． 10．如图（1），在“8”字形图形中，，相交于点，因为，，，所以，利用“8”字形图形的结论解决下列问题． 如图（2）所示，，相交于点，，分别平分，，试说明： （1）； （2）若，，求的度数． 【解析】（1），分别平分，， ，， ，， ， ， （2），，， ． 11．如图1，已知线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； ②若，，试求的度数； ③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若和为任意角，和的三等分线和相交于点，且，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 【解析】（1），，且， ； 故答案为； （2）①以为交点的有1个，为和， 以为交点的有4个，为和，和，和，和， 以为交点的有1个，为和， 故答案为6个； ②平分，平分， ，， 由（1）中的结论得：，， 整理得：， ； ③：，理由如下： 平分，平分， ，， 由（1）中的结论得：，， 整理得：； ④，理由如下： 由（1）中结论得： ， ， 整理得：． 12．（2024春•华安县校级月考）如图1，已知线段、相交于点，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：． 利用以上结论解决下列问题： （2）如图2所示，，则的度数为　　． （3）如图3，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，． ①若，，求的度数． ②若角平分线中角的关系改成“，”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由． 【解析】（1）证明：在图1中，有，， ， ； （2）如图2所示， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． （3）①以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有 ， 、分别平分和， ，， ， ，， ； ②，其理由是： ，， ，， 以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有 ， ． ， ． 13．如图1，线段、相交于点，连接、． （1）请说明：； （2）的平分线和的平分线相交于点（如图，试探索与、之间的数量关系，并请说明理由； （3）点在上，点在上，与相交于点，且．，其中为大于1的自然数（如图．与、之间又存在着怎样的数量关系？请直接写出你的探索结果，不必说明理由． 【解析】（1），， 又， ； （2），理由如下： 由（1）可知，，① ，② 和的平分线和相交于点， ，， 由①②得：， 即； （3）结论：与、之间存在的关系为， ，① ，② ．， ，， ，， ，， ，， 由①②得：， 即， ． 14．如图1，已知线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“对顶三角形”．如图2，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）仔细观察，在图2中有　　个以线段为边的“对顶三角形”； （2）在图2中，若，，求的度数． （3）在图2中，若设，，，，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示，并说明理由； （4）如图3，则的度数为　　． 【解析】（1）在图2中有4个以线段为边的“对顶三角形”； 故答案为：4； （2）和的平分线和相交于点， ，， ，， ， ， ，， ； （3），理由如下： 和的平分线和相交于点， ，， ，， ， ， ； （4）如图所示： 由三角形的外角性质得：，， ， 在四边形中，， ． 15．探究与发现： 平面内，四条线段、、、首尾顺次相接，与相交于点． （1）如图1，若，，和的角平分线交于点，求的度数； （2）如图2，若，，，，求的度数； （3）如图3，设，，，，用含、、的代数式表示的度数（直接写答案）． 【解析】（1）如图1，设，则， 中， 平分得到： ， 同理：， 在中利用三角形内角和定理得到 ， 则， 在中三内角的和是， 即：， 则； （2）如图2：设，则， 中， 平分得到： ， 同理：， 在中利用三角形内角和定理得到 ， 则， 在中三内角的和是， 即：， 所以． （3）． 16．已知：如图，图1是，图2是“8字形”（将线段、相交于点，连接、形成的图形），图3是一个五角星形状，试解答下列问题： （1）图1的中，　　，并证明你写出的结论；（要有推理证明过程） （2）图2的“8字形”中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （3）若在图2的条件下，作和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、（如图．请直接写出与、之间数量关系：　　； （4）图3中的点向下移到线段上时，请直接写出　　． 【解析】（1）过点作， ， ，， ， ； （2）， 又（对顶角相等）， ； （3）、是、的平分线， ，， ，， ， ； （4），， 又， ； 故答案为：，，，． 17．我们把如图1所示的图形称为“8字形”．在图1中，． （1）如图2，，分别平分，，若，．求的度数； （2）如图3，射线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由； （3）在图4中，平分，平分的外角，猜想与，的关系，并说明理由． 【解析】（1）如图， 、分别平分，， ，， 由题图1的结论得：， ①②，得：， ； （2）猜想：，理由如下： 如图3， 射线平分的外角，平分的外角， ，， ，， ， ， ， ； （3）猜想：；理由如下： 如图， 平分，平分的外角， ，， ，， ，， ， ． 18．【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点． 问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）如图1，若，，求证：点是的中点； （2）如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为 　　，扫过的面积为 　　． 【解析】（1）证明：，， ， 过点作，则，， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 又， ， ， 点是的中点； （2）过点作，则， ， ，，则， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ，则 ， ， ； 灵活应用： 是半圆的直径，点是半圆上一点， ， 过点作，则， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 过点作，则，， ， ，， ，则， ， 点在以为直径的半圆上运动， 运动的路径长为：， 过点作，则，， ， ， ， 点在以为直径的半圆上运动， 则扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差， 即：扫过的面积为， 故答案为：，． 19．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 　　； 探索二：如图2，若，，求的度数为 　　； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 　　． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则　　（用含有和的代数式表示），　　．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，　　．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 　　．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 　　． 【解析】探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②，得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$