13.3数据的离散程度（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

**基本信息** 聚焦数据离散程度，以方差计算为核心，覆盖统计图表应用、离差平方和及实际决策，形成从概念到应用的完整逻辑链，培养数据意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方差计算与性质|12题|含基础计算、数据变换后方差变化、根据统计量求方差|从定义公式到性质规律，构建方差计算体系| |方差的统计图表应用|5题|结合箱线图、折线图判断方差大小|通过图形直观理解数据波动，体现数学眼光| |离差平方和及其应用|10题|组内/组间离差平方和计算、最优分组|从方差本源拓展，深化数据离散度本质理解| |方差的实际决策|8题|比较稳定性、选拔最优方案|联系生活情境，培养用数学语言表达现实问题的能力|

13.3数据的离散程度 题型一    求一组数据的方差 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】变小 5．【答案】B 题型二 根据统计图判断方差的大小 1. 【答案】甲地 2．【答案】A 3．【答案】C 题型三 求组内离差平方和与组间离差平方和 1．【答案】7 2．【答案】10 3．【答案】4 4．【答案】122 5．【答案】250 题型四  根据组内离差平方和最小原则进行分组 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4． 【详解】（1）解：第1组数据为16、17，则平均数为， 第2组数据为：18、18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 第1组数据为16、17、18，则平均数为， 第2组数据为：18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 填报如下： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 （2）解：因为前2个一组，后4个一组时的组内离差平方和为最小，所以分组如下： 优品：16、17 精品：18、18、18、19． 题型五 根据方差进行判断或决策 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】乙 4．【答案】A 题型一  利用规律求一组数据的方差 1．【答案】C 2．【答案】C 3.【答案】17 4.【答案】8 题型二  根据其他统计量求方差 1．【答案】2 2．【答案】10 题型三 根据方差的定义求字母的值 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】 6．【答案】6 题型四 根据一组数据中某些数据的变化判断统计量的变化 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 题型五 根据方差公式获得有用信息 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】4, 5．【答案】25 题型一  题型一 统计综合题 1. 【详解】（1）解：补全统计图如图所示， ∵一班和二班各40名学生， ∴一班得分为8分的人数为（人）， ∵一班得分数据从小到大排列后，第20和第21个数分别为8，8， ∴中位数， 二班的平均分． （2）∵0.978<1.219， ∴二班成绩的方差小于一班成绩的方差， ∴二班的成绩比较稳定． （3）由题知，一班总人数为40人， ∵中位数为8.5， ∴将40名同学的成绩从小到大排列后，第20，21名同学的成绩分别为8分和9分， ∴评分为9分和10分的人数一共为20人， 又∵众数为9， ∴评分为10分的同学最多有9人． 2. 【详解】（1）解：由折线统计图可得，A款机器人的得分依次为：，，，，，，，，，， 将A款机器人的得分按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，位于第个和第个的得分分别为，，故中位数； 由扇形统计图可得，分出现的次数最多，占，故众数； （分）； （2）解：∵， ∴通过比较方差，判断测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）解：A款机器人的综合成绩为（分）， B款机器人的综合成绩为（分）， C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是B． 3. 【详解】（1）解：根据题意，得，，且， 故甲更加稳定； （2）解：根据题意，得成绩7环的次数为：， 故（环）； 因为甲成绩为7环的出现4次，是出现次数最多的成绩， 故众数（环）； 根据题意，得第1次3环，第2次6环，第3次4环，第4次8环，第5次7环， 第9次10环，第10次9环，因为众数为8，故成绩为8环的次数至少为2次， 因为平均数为7，所以总成绩为70环， 其余两次的成绩和为：， 故被污染的两个数为7,8， 故中位数为：（环）； （3）解：∵乙队员这次射击成绩的中位数比c大， ∴乙队员这次射击成绩的中位数为：（环）， ∵乙原来的成绩从小到大排列：， 加入成绩后按从小到大排列中位数应该是处于第6位，而比8小的数有5个， ∴， 故m的最小值为8． 4. 【详解】（1）解：设乙家庭四月份的用水量为吨， 由题意得， ， 解得， ∴乙家庭四月份的用水量为吨， 图略； （2）解：， ∵， ∴， ∴乙家庭的月用水量波动小； （3）解：乙家庭第二季度月用水量分别为，，，由小到大排列为，，， ∴乙家庭第二季度月用水量的中位数为， 由题意得， ， 解得． 5. 【详解】（1）解：由数据可得，七年级10名同学测试成绩在范围内有2个， ∴； 将七年级10名同学测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数为， ∴； 八年级10名同学测试成绩的众数为80， ∴； （2）解：①∵， ∴七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数， 结合小明和小强同学的说法可得：小明是七年级的学生； ②原八年级成绩平均数为，加入一个分后，新的平均数仍为. 新增数据与平均数的差的平方为，方差分子不变分母增大，因此方差减小； （3）解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有60人． 6. 【详解】（1）解：B系统的平均数：， A系统数据中，众数为：， （2）解：B系统的方差为： ， 则B系统最稳定； （3）解：B系统误差绝对值的平均数为：， 则不满足准确性标准， ∴A系统和C系统满足条件， 则A系统误差绝对值的平均数为：， ∴， 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，满足条件； 则C系统误差绝对值的平均数为：， ∴， ∵ ∴， 当时，中位数为：1，则满足条件； 故的最大整数值为：4． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3数据的离散程度 题型一   求一组数据的方差 1．（2026·江苏常州·一模）小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方差的计算，按照方差计算步骤，先求出五次成绩的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴方差 2．（2026·江西南昌·二模）2026年央视春晚通过85种语言向全球传播，全网共计1939个话题登上热搜榜．小明随机抽取了其中6个话题，统计其日阅读量，数据（单位：亿次）如下：4.2，5.5，3.8，4.2，6.1，5.5对于这组数据，下列说法正确的是（    ）． A．平均数是4.2 B．中位数是4.85 C．众数是5.5 D．方差是0 【答案】B 【详解】解：先将数据从小到大排序得： 计算平均数：，A错误． 计算中位数：数据共个，中位数为第个和第个数据的平均数，即，B正确． 判断众数：和都出现次，均为出现次数最多的数，即该组数据的众数为和，C错误． 判断方差：数据不完全相等，方差不可能为，D错误． 3．（2026·浙江台州·二模）某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 【答案】C 【分析】先通过总身高和判断平均数的变化，再根据方差的定义计算判断方差的变化即可． 【详解】解：∵换下队员的身高和为，换上队员的身高和为， ∴总身高和不变，队员人数不变，因此平均数不变． 计算原数据的平均数得， 原数据的方差为： ； 换人后数据为172，176，178，178，180，184，平均数仍为， 方差为： ； ， 综上所述，平均数不变，方差变小． 4．（2026·河南漯河·二模）某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 【答案】变小 【分析】先求出6次成绩的平均数，再根据方差的计算公式计算6次成绩的方差，与原方差比较大小，即可得到结论． 【详解】解：由题意可得，原次成绩的平均数为 ， 则次成绩的平均数为：， 则次成绩的方差为：， 因为， 所以方差变小． 5．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 题型二  根据统计图判断方差的大小 1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）甲、乙两地4月每天最高气温的箱线图如图所示，则4月气温波动较大的是_____（填“甲地”或“乙地”）． 【答案】甲地 【详解】解：由箱线图可知，甲地的上四分位数与下四分位数的差值比乙地的上四分位数与下四分位数的差值大，甲地的极差比乙地的极差大， 故甲地4月气温的波动较大． 2．（2026·江苏扬州·二模）甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】结合统计图可知，甲的成绩波动比较大，根据波动大的方差就大即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，甲选手的成绩波动较大，说明其成绩不稳定；乙选手的成绩的波动较小，说明其成绩比较稳定， ∴．  3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 题型三 求组内离差平方和与组间离差平方和 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）数据组，的组内离差平方和为_______． 【答案】7 【分析】先分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：对于第一组数据，其平均数为 ， 第一组离差平方和为 ； 对于第二组数据，其平均数为 ， 第二组离差平方和为 ； 总的组内离差平方和为． 2．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 【答案】10 【分析】按照组内离差平方和的定义，先分别计算每组的组平均数，再计算每组内数据的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加得到结果． 【详解】解：第一组： 该组的平均数为， 则第一组离差平方和为； 第二组： 该组的平均数为， 则第二组离差平方和为， 因此，总组内离差平方和为：． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据分组先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：由题意得，前个数据为，，，后个数据为，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和为． 4．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】本题根据离差平方和的分解关系，总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和的和，已知总离差平方和与组间离差平方和，通过有理数减法计算即可得到组内离差平方和． 【详解】解：根据离差平方和分解，可得组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和 代入数据计算得． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）某实验将10名同学分为A，B两组（每组各5名），A组平均成绩为80分，B组平均成绩为90分，总平均成绩为85分，则组间离差平方和为______． 【答案】250 【分析】根据组间离差平方和的定义，通过每组人数乘以该组平均数与总平均数差的平方，再将两组结果求和即可求解． 【详解】解：组间离差平方和 = ． 题型四  根据组内离差平方和最小原则进行分组 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，要使同一组内成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较四种分组的组内离差平方和，找到最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：∵ ， ∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组． 4．（2026八年级下·浙江·专题练习）有6个水蜜桃测出了他们的值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 (1)将表格补充完整 (2)如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)优品：16、17；精品：18、18、18、19；理由见解析 【分析】（1）根据组内离差平方和的计算公式，计算即可； （2）小题核心是比较表格中5种分组方案的组内离差平方和的大小，要想将水蜜桃分为优品和精品两种，需要两个分组中值尽可能接近，使得分组合理，所以选出组内离差平方和最小即可． 【详解】（1）解：第1组数据为16、17，则平均数为， 第2组数据为：18、18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 第1组数据为16、17、18，则平均数为， 第2组数据为：18、18、19，则平均数为， ∴组内离差平方和为：； 填报如下： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 （2）解：因为前2个一组，后4个一组时的组内离差平方和为最小，所以分组如下： 优品：16、17 精品：18、18、18、19． 题型五 根据方差进行判断或决策 1．（2026·河南开封·二模）某校为选拔田径队队员参加市运动会，对甲、乙、丙、丁四名同学进行了5次百米测试，每人成绩的平均数（单位：秒）和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均数 11.6 11.6 12.6 12.6 方差 0.32 0.18 0.2 0.25 如果学校要选择一名成绩优秀且稳定的选手代表学校参赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】百米成绩中平均用时越短说明成绩越优秀，方差越小说明成绩越稳定，根据两个统计量的意义筛选即可． 【详解】解：∵百米测试中，平均用时越短，成绩越优秀，观察表格可得，甲、乙的平均数为，小于丙、丁的平均数， ∴先排除丙、丁，在甲、乙中选择． ∵方差越小，成绩越稳定， 甲的方差为，乙的方差为，且， ∴在甲、乙两人成绩同样优秀的情况下，乙的成绩更稳定，故乙的成绩优秀且稳定． ∴选择乙选手代表学校参赛． 2．（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）一班和二班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 一班 45 83 86 82 二班 45 83 84 135 某同学分析上表后得到下列结论：①一班和二班学生的平均水平相当；②一班优秀率高于二班优秀率（竞赛得分分为优秀）；③二班成绩比一班稳定．上述结论正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查平均数、中位数、方差的统计意义，平均数反映平均水平，中位数代表中间位置的成绩，方差越小数据波动越小，成绩越稳定，根据统计量的意义逐一判断结论即可． 【详解】解：由图表可得，一班和二班的平均数均为，则一班和二班学生的平均水平相当，结论①正确； 两个班参赛人数都为，是奇数，中位数是排序后第个成绩，一班中位数为，满足，二班中位数为，满足，一班得分不低于分的人数比二班多，因此一班优秀率高于二班，结论②正确； ∵方差越小，成绩越稳定，一班方差为，二班方差为，，则一班成绩比二班稳定，结论③错误； 综上，正确的结论是①②，A选项符合． 3．（2026·河南新乡·模拟预测）甲、乙两队进行足球点球大赛，两队所得的平均分数相同，其中甲所得分数的方差为15，乙所得分数如下：3，4，5，10，8，则成绩比较稳定的是________． 【答案】乙 【分析】先求出乙的平均数，然后求出乙的方差，最后比较甲、乙的方差即可得出结论. 【详解】解：乙的平均数为：； 乙的方差为： ； ∵ ∴， ∴成绩较为稳定的是乙． 4．（2026·山西运城·三模）小美计划为其经营的咖啡店增设外卖配送服务，现有A、B两家配送平台可供选择．为选择更合适的合作平台，小美对两家平台的配送稳定性展开调研．她随机记录了同一天内，两家平台分别完成同一地点5单外卖的送达时间（从顾客下单到送达的时间）．具体数据如下： 单位：分钟 平台 单号 1 2 3 4 5 A 28 30 32 29 31 B 15 20 45 38 32 若从中选择配送时间比较稳定的外卖平台，则选择的是（     ） A．平台A B．平台B C．两家都一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】判断配送时间稳定性需要比较两组数据的方差，方差越小，数据波动越小，配送越稳定，先计算两组数据的平均数与方差，再比较方差大小得出结论． 【详解】解： ， ， ， ， ， 平台A的配送时间波动更小，更稳定． 题型一   利用规律求一组数据的方差 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段检测）已知一组数据、、、的平均数是2，方差为2，那么另一组数，，，的平均数和方差分别是（    ） A．3，2 B．3，7 C．3，8 D．2，3 【答案】C 【分析】本题考查了平均数和方差的求法，解题关键是掌握数据的平均数是，方差为，则数据的平均数为，方差为，根据平均数与方差的计算公式和变化规律求解即可． 【详解】解：、、、的平均数是2， ，，，的平均数为， 、、、的方差为2， ，，，的方差为， 故选：C． 2．（2026·上海松江·二模）已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据方差和平均数的计算公式求解即可． 【详解】解∵，，，的平均数是，方差是， ∴，即，， 那么数据，，，的平均数为：； 方差为： ． 3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为________． 【答案】17 【分析】本题考查平均数和方差的计算，掌握求平均数和方差的公式是解题关键．根据题意可得出，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵这组数据的平均数是4， ∴， ∴， ∴ 另一组数据的平均数 ； ∵这组数据的方差为3， ∴， ∴另一组数据的方差 ， ∴另一组数据，，，，的平均数与方差的和． 4．（2026·黑龙江佳木斯·二模）已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 题型二   根据其他统计量求方差 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）某人5次射击练习，命中的环数分别为6，10，7，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的方差为____． 【答案】2 【分析】先根据平均数的定义求出的值，再根据方差计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴这组数据的方差为． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义求出，再根据方差的公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据：3，，0，，的平均数是1， ∴， 解得：， ∴． 题型三 根据方差的定义求字母的值 1．（2017·福建南平·一模）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了方差的性质，利用方差的性质：一组连续整数的方差相同。第一组数据若要方差与第二组（连续整数）相等，则其也需为连续整数，从而确定x的值． 【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值， 又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等， ∴第一组数据也应为连续整数， 当时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数， 当时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数， ∴x的值为1或6． 故选：C． 2．（2022·上海·模拟预测）一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求方差，熟知方差的性质是解答的关键．先求出原数据的平均数，再根据方差性质，分析加入数a后方差变小的条件，进而确定a的可能取值． 【详解】解：由题意，原数据的平均数为， 加入一个数a后，原数据的个数变为6，平均数为，要使加入a后方差变得更小，那么a应该更接近原数据的平均数6.6， 在各选项中，∵，，，，又， ∴时最接近平均数6.6，此时方差最小， ∴a最可能为7， 故选：D． 3．（2021八年级下·广东梅州·竞赛）数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差大，则x的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了方差，根据方差计算公式分析x的范围即可得到答案． 【详解】解：数据中，每2个数相差1， 数据，前2个数据也是相差1， 若或时，两组数据方差相等， 而数据的方差比数据的方差大， 则的值大于4或者小于1， 故选：A． 4．（2024·浙江杭州·三模）一组数据：2，3，4，x，y的平均数是3，方差是0.8，则（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查平均数和方差、完全平方公式的运用，先根据求平均数和方差的公式求得，，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵数据：2，3，4，x，y的平均数是3， ∴， ∴ ∵数据：2，3，4，x，y的方差是0.8， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·北京·期末）一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 【答案】和 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 6．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一组数据，6，6，6，6，6的方差为0，则的值为_________． 【答案】6 【详解】解：∵，6，6，6，6，6的方差为0， ∴这组数据不波动 ∴m的值为6 题型四 根据一组数据中某些数据的变化判断统计量的变化 1．（2026·浙江·模拟预测）为了解某年级男生引体向上的成绩情况，随机抽取50名男生引体向上的成绩（满分10分）绘制成表如下： 成绩/分 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数/人 x y 1 2 3 4 10 8 7 5 4 关于引体向上的成绩统计量中，一定不随x，y的变化而变化的是（     ） A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 【答案】A 【分析】先说明，再根据中位数、众数、平均数、方差的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵总人数为50人，表格中给出的其他成绩人数之和为44， ∴． 该组数据共50个，按顺序排列后，中位数为第25和第26个数的平均数．从高分到低分累加人数，到7分时累计有人，到6分时累计有人，故第25和第26个数均为6，中位数为6，不随x， y的变化而变化； 众数：6分的人数为10人，，所以众数始终是6分，不随x， y的变化而变化： 平均数：因为x，y的值会变化，所以平均数随x， y的变化而变化： 方差：因为x，y的值会变化，所以平均数也会改变，方差也随x， y的变化而变化． 综上，选项A符合题意． 2．（2026·上海奉贤·三模）乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（     ）． A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】C 【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义，分别判断去掉一个最高分和一个最低分后各统计量的变化即可求解． 【详解】解：先将原7个数据从小到大排列为：， 判断中位数：原数据共7个，中位数为第4个数据，原中位数是；去掉一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据从小到大排列为，中位数为第3个数据，仍为，中位数不变，C正确； 判断平均数：原数据总和为 ，原平均数为 ，去掉极端值后平均数为 ，平均数发生变化，B错误； 判断方差：方差反映数据波动程度，平均数改变，数据个数改变，方差一定发生变化，A错误； 判断众数：原数据中和都出现2次，众数为和，去掉一个后，只有出现2次，众数发生变化，D错误． 3．（2026·贵州遵义·二模）今年五一期间，遵义高速交警在限速的某路段监测到6辆车的车速（单位：）分别为：117，102，106，120，117，113．若将这组数据中的113去掉，则下列统计量中不发生变化的是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的定义，分别计算去掉113前后各统计量的值，对比得到不发生变化的统计量． 【详解】解：将原6个数据从小到大排序得：102，106，113，117，117，120， ∴这组数据的中位数是， 平均数是， 众数是117， 方差为： ； 去掉113后将剩余的数据从小到大排序得：102，106，117，117，120， ∴这组数据的中位数是， 平均数是， 众数是117， 方差为： ， ∴这组数据中的113去掉，不发生变化的是众数． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学对数据6，6，9，1■，15进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（   ） A．平均数 B．离差平方和 C．中位数 D．众数 【答案】C 【分析】本题考查平均数、离差平方和、中位数和众数的定义．中位数是数据排序后中间位置的数，由于被污染数字在10至19之间，总大于9，排序后第三位始终为9，故中位数与被污染数字无关．其他统计量均依赖于被污染数字． 【详解】 数据为6, 6, 9, 1■, 15，其中1■为10至19的整数， 排序后最小两个数为6和6， 且 ， 排序后第三位数始终为， 中位数为，与被污染数字无关． 平均数、离差平方和和众数均与被污染数字相关，故无关的统计量为中位数． 故选：C. 【点睛】本题考查平均数、离差平方和、中位数和众数的定义，解决本题的关键是熟练掌握定义. 题型五 根据方差公式获得有用信息 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】根据方差计算公式确定原数据和数据个数，再结合中位数、众数定义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 2．（2025九年级下·福建龙岩·学业考试）在计算一组数据的方差时，，则x表示的数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握方差及平均数的计算公式． 根据方差公式可得这组数据的平均数为6，即可求解． 【详解】解：∵方差公式中每个数据均减去6，数据为3、4、6、x、9， ∴这组数据的平均数为6． ∴， 解得． 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 【答案】C 【分析】先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有5个平方项， ∴， ∴A选项说法正确，不符合题意； 原数据为6，8，8，6，7计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 将平均数代入： ； ∴离差平方和为4，不是5 ∴C选项说法错误，符合题意． ， ∴D选项说法正确，不符合题意； 4．（21-22九年级下·湖南株洲·自主招生）已知一组正数的方差，则数据的平均数为 ，方差为 。 A． B． C．平均数为4 D．方差为 【答案】4， 【分析】此题考查了方差和平均数的求法，根据已知条件计算方差和平均数即可得到答案． 【详解】解：由方差的计算公式可得： ＝[＋＋…＋] ＝[＋＋…＋] ＝＋＋…＋－， 由，可得平均数 对于数据，平均数， 其方差为：． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知一组数据的方差，则_____． 【答案】25 【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 根据方差公式中各项偏差均以9为基准，可知该组数据的平均数为9，从而利用平均数的定义求解． 【详解】解：由方差公式可知， 该组数据的平均数为9， 因此，有 ， 整理得， 即 ， 所以 ． 故答案为：25． 题型一 统计综合题 1．（2026·广西南宁·一模）为全面促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分（满分分）． 【数据收集与整理】一班和二班学生综合素质评分数据整理成如下所示的统计图、表（不完整）： 众数（分） 中位数（分） 平均数（分） 方差 一班 8 m 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 (1)表中m的值为______，n的值为______，并补全统计图； (2)对于这次测试，班级成绩比较稳定的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，对八年级一班的40名同学也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数人数9人求评分为10分的同学最多有多少人． 【答案】(1)8；8.35，补全统计图见解析 (2)二 (3)评分为10分的同学最多有9人 【分析】（1）求m：因为一班共人，中位数是排序后第、个数据的平均数，所以先累计各分数段人数，确定第、个数据对应的分数，计算得到m；求n：因为平均数为所有数据之和除以总人数，所以先根据统计图提取二班各评分对应的人数，计算总分后除以得到n；补全统计图时，先计算一班分的人数，再绘制对应高度的直条。 （2）判断成绩稳定性：因为方差越小数据波动越小、成绩越稳定，所以直接比较两个班的方差大小即可； （3）求分最多人数：先设7分、8分、9分、分的人数分别为变量，根据总人数为列等式；因为中位数是，所以排序后第、个数据分别为8和9，据此得到7分与8分人数之和、9分与分人数之和的范围；再结合众数为9分且人数为9人，要让分人数最多，则让8分人数尽可能少，联立关系求解最大值． 【详解】（1）解：补全统计图如图所示， ∵一班和二班各40名学生， ∴一班得分为8分的人数为（人）， ∵一班得分数据从小到大排列后，第20和第21个数分别为8，8， ∴中位数， 二班的平均分． （2）∵0.978<1.219， ∴二班成绩的方差小于一班成绩的方差， ∴二班的成绩比较稳定． （3）由题知，一班总人数为40人， ∵中位数为8.5， ∴将40名同学的成绩从小到大排列后，第20，21名同学的成绩分别为8分和9分， ∴评分为9分和10分的人数一共为20人， 又∵众数为9， ∴评分为10分的同学最多有9人． 2．（2026·海南海口·一模）【问题背景】 在科技飞速发展的今天，智能机器人已成为备受关注的热门研究领域．某科研团队成功研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为全面评估这三款机器人在图像识别与运动能力上的综合表现，该团队对它们开展了全方位测试，在图像识别能力测试环节，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分，85分，90分．运动能力测试则由10位专业测试员依据一系列动作任务逐一评分，每位测试员最高可打10分，最终成绩取所有测试员打分的总和． 【数据收集、整理与分析】 现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，获得两幅统计图（如图-1，图-2）和统计表，以评估哪款机器人的综合性能更优． A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 0.61 C 8 n p 2.01 根据上述信息，解答下列问题： (1)________，________，________； (2)通过比较方差，判断测试员对________（选填A，B或C）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 【问题解决】 (3)按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，则A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是________． 【答案】(1)9，8，83 (2)B (3)B 【分析】（1）根据中位数和众数的定义以及最终成绩取所有测试员打分的总和计算即可得出结果； （2）根据表格的数据，比较方差即可得出结果； （3）分别求出三款机器人的综合成绩，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由折线统计图可得，A款机器人的得分依次为：，，，，，，，，，， 将A款机器人的得分按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，位于第个和第个的得分分别为，，故中位数； 由扇形统计图可得，分出现的次数最多，占，故众数； （分）； （2）解：∵， ∴通过比较方差，判断测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）解：A款机器人的综合成绩为（分）， B款机器人的综合成绩为（分）， C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是B． 3．（2026·江苏连云港·三模）甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击10次，其成绩分别绘制成如图1、图2所示的统计图，两幅图均有部分被污染，两名队员10次的射击成绩整理后，得到的统计表如表所示． 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 7 b 乙 7 c 8    (1)______队员的发挥更稳定； (2)分别求统计表中a，b，c的值； (3)乙队员补射1次后，成绩为m环，据统计乙队员这11次射击成绩的中位数比c大，则m的最小值为______． 【答案】(1)甲 (2) (3)8 【分析】（1）比较方差大小即可； （2）根据平均数，中位数，众数的定义求解即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，且， 故甲更加稳定； （2）解：根据题意，得成绩7环的次数为：， 故（环）； 因为甲成绩为7环的出现4次，是出现次数最多的成绩， 故众数（环）； 根据题意，得第1次3环，第2次6环，第3次4环，第4次8环，第5次7环， 第9次10环，第10次9环，因为众数为8，故成绩为8环的次数至少为2次， 因为平均数为7，所以总成绩为70环， 其余两次的成绩和为：， 故被污染的两个数为7,8， 故中位数为：（环）； （3）解：∵乙队员这次射击成绩的中位数比c大， ∴乙队员这次射击成绩的中位数为：（环）， ∵乙原来的成绩从小到大排列：， 加入成绩后按从小到大排列中位数应该是处于第6位，而比8小的数有5个， ∴， 故m的最小值为8． 4．（2026·河北唐山·二模）节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图，其中统计表被墨迹遮盖了一部分． 甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表甲、乙两个家庭月用水量折线图 四月 五月 六月 平均数 方差 甲 乙 (1)求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图； (2)求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小； (3)甲家庭月份的用水量比月份的用水量下降（），恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值． 【答案】(1)吨， (2)，乙家庭的月用水量波动小 (3) 【分析】（）根据平均数的定义求出乙家庭四月份的用水量，再补全折线图即可； （）利用方差计算公式求出乙家庭第二季度月用水量的方差，再根据方差的意义评价即可求解； （）根据中位数的定义求出乙家庭第二季度月用水量的中位数，再根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：设乙家庭四月份的用水量为吨， 由题意得， ， 解得， ∴乙家庭四月份的用水量为吨， 图略； （2）解：， ∵， ∴， ∴乙家庭的月用水量波动小； （3）解：乙家庭第二季度月用水量分别为，，，由小到大排列为，，， ∴乙家庭第二季度月用水量的中位数为， 由题意得， ， 解得． 5．（2026·辽宁阜新·二模）年月日是第十一个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 八年级 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)①小明说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是________（填“七”或“八”）年级的学生； ②小文发现在数据收集阶段遗漏了一名八年级同学的测试成绩，若该同学得分恰好为80分，则加入这名同学的成绩后，八年级成绩的方差将________（填“增大”“减小”或“不变”）； (3)按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)七；减小 (3)人 【分析】（1）观察七年级10名同学测试成绩在范围内的数据可确定a的值，将七年级抽样成绩按大小排列后，中间两个数的平均数是中位数，可确定b；根据八年级成绩中出现次数最多的可求得c； （2）①利用七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数，再结合题意即可解答； ②判断加入数据后方差分子、分母的变化即可； （3）根据样本估计总体的方法，分别计算两个年级大约达到优秀的人数，再相加即可； 【详解】（1）解：由数据可得，七年级10名同学测试成绩在范围内有2个， ∴； 将七年级10名同学测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数为， ∴； 八年级10名同学测试成绩的众数为80， ∴； （2）解：①∵， ∴七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数， 结合小明和小强同学的说法可得：小明是七年级的学生； ②原八年级成绩平均数为，加入一个分后，新的平均数仍为. 新增数据与平均数的差的平方为，方差分子不变分母增大，因此方差减小； （3）解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有60人． 6．（2026·北京石景山·二模）的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 (1)表中m的值为________，n的值为________； (2)已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； (3)为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 【答案】(1)； (2)B (3)4 【分析】（1）根据平均数以及众数的定义即可求解； （2）根据方差的定义分析即可； （3）根据B系统的平均数可知A系统和C系统满足条件，进而可知的取值范围，然后即可求解的取值． 【详解】（1）解：B系统的平均数：， A系统数据中，众数为：， （2）解：B系统的方差为： ， 则B系统最稳定； （3）解：B系统误差绝对值的平均数为：， 则不满足准确性标准， ∴A系统和C系统满足条件， 则A系统误差绝对值的平均数为：， ∴， 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，满足条件； 则C系统误差绝对值的平均数为：， ∴， ∵ ∴， 当时，中位数为：1，则满足条件； 故的最大整数值为：4． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3数据的离散程度 题型一   求一组数据的方差 1．（2026·江苏常州·一模）小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（） A． B． C． D． 2．（2026·江西南昌·二模）2026年央视春晚通过85种语言向全球传播，全网共计1939个话题登上热搜榜．小明随机抽取了其中6个话题，统计其日阅读量，数据（单位：亿次）如下：4.2，5.5，3.8，4.2，6.1，5.5对于这组数据，下列说法正确的是（    ）． A．平均数是4.2 B．中位数是4.85 C．众数是5.5 D．方差是0 3．（2026·浙江台州·二模）某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 4．（2026·河南漯河·二模）某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 5．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 题型二  根据统计图判断方差的大小 1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）甲、乙两地4月每天最高气温的箱线图如图所示，则4月气温波动较大的是_____（填“甲地”或“乙地”）． 2．（2026·江苏扬州·二模）甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定  3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 题型三 求组内离差平方和与组间离差平方和 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）数据组，的组内离差平方和为_______． 2．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 4．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）某实验将10名同学分为A，B两组（每组各5名），A组平均成绩为80分，B组平均成绩为90分，总平均成绩为85分，则组间离差平方和为______． 题型四  根据组内离差平方和最小原则进行分组 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026八年级下·浙江·专题练习）有6个水蜜桃测出了他们的值（糖度值，值越大越甜）如下：16、17、18、18、18、19；以下是计算各种情况的组内离差平方和表（精确到）： 组序 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 1 16 17、18、18、18、19 2 16、17 18、18、18、19 3 16、17、18 18、18、19 4 16、17、18、18 18、19 5 16、17、18、18、18 19 (1)将表格补充完整 (2)如果要将这组水蜜桃分为“优品”和“精品”，应该如何分，为什么？ 题型五 根据方差进行判断或决策 1．（2026·河南开封·二模）某校为选拔田径队队员参加市运动会，对甲、乙、丙、丁四名同学进行了5次百米测试，每人成绩的平均数（单位：秒）和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均数 11.6 11.6 12.6 12.6 方差 0.32 0.18 0.2 0.25 如果学校要选择一名成绩优秀且稳定的选手代表学校参赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）一班和二班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 一班 45 83 86 82 二班 45 83 84 135 某同学分析上表后得到下列结论：①一班和二班学生的平均水平相当；②一班优秀率高于二班优秀率（竞赛得分分为优秀）；③二班成绩比一班稳定．上述结论正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．（2026·河南新乡·模拟预测）甲、乙两队进行足球点球大赛，两队所得的平均分数相同，其中甲所得分数的方差为15，乙所得分数如下：3，4，5，10，8，则成绩比较稳定的是________． 4．（2026·山西运城·三模）小美计划为其经营的咖啡店增设外卖配送服务，现有A、B两家配送平台可供选择．为选择更合适的合作平台，小美对两家平台的配送稳定性展开调研．她随机记录了同一天内，两家平台分别完成同一地点5单外卖的送达时间（从顾客下单到送达的时间）．具体数据如下： 单位：分钟 平台 单号 1 2 3 4 5 A 28 30 32 29 31 B 15 20 45 38 32 若从中选择配送时间比较稳定的外卖平台，则选择的是（     ） A．平台A B．平台B C．两家都一样 D．无法判断 题型一   利用规律求一组数据的方差 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段检测）已知一组数据、、、的平均数是2，方差为2，那么另一组数，，，的平均数和方差分别是（    ） A．3，2 B．3，7 C．3，8 D．2，3 2．（2026·上海松江·二模）已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为________． 4．（2026·黑龙江佳木斯·二模）已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 题型二   根据其他统计量求方差 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）某人5次射击练习，命中的环数分别为6，10，7，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的方差为____． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______． 题型三 根据方差的定义求字母的值 1．（2017·福建南平·一模）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 2．（2022·上海·模拟预测）一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2021八年级下·广东梅州·竞赛）数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差大，则x的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 4．（2024·浙江杭州·三模）一组数据：2，3，4，x，y的平均数是3，方差是0.8，则（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（24-25九年级上·北京·期末）一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 6．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一组数据，6，6，6，6，6的方差为0，则的值为_________． 题型四 根据一组数据中某些数据的变化判断统计量的变化 1．（2026·浙江·模拟预测）为了解某年级男生引体向上的成绩情况，随机抽取50名男生引体向上的成绩（满分10分）绘制成表如下： 成绩/分 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数/人 x y 1 2 3 4 10 8 7 5 4 关于引体向上的成绩统计量中，一定不随x，y的变化而变化的是（     ） A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 2．（2026·上海奉贤·三模）乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（     ）． A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 3．（2026·贵州遵义·二模）今年五一期间，遵义高速交警在限速的某路段监测到6辆车的车速（单位：）分别为：117，102，106，120，117，113．若将这组数据中的113去掉，则下列统计量中不发生变化的是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学对数据6，6，9，1■，15进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（   ） A．平均数 B．离差平方和 C．中位数 D．众数 题型五 根据方差公式获得有用信息 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 2．（2025九年级下·福建龙岩·学业考试）在计算一组数据的方差时，，则x表示的数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 4．（21-22九年级下·湖南株洲·自主招生）已知一组正数的方差，则数据的平均数为 ，方差为 。 A． B． C．平均数为4 D．方差为 5．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知一组数据的方差，则_____． 题型一 统计综合题 1．（2026·广西南宁·一模）为全面促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分（满分分）． 【数据收集与整理】一班和二班学生综合素质评分数据整理成如下所示的统计图、表（不完整）： 众数（分） 中位数（分） 平均数（分） 方差 一班 8 m 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 (1)表中m的值为______，n的值为______，并补全统计图； (2)对于这次测试，班级成绩比较稳定的是______班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，对八年级一班的40名同学也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数人数9人求评分为10分的同学最多有多少人． 2．（2026·海南海口·一模）【问题背景】 在科技飞速发展的今天，智能机器人已成为备受关注的热门研究领域．某科研团队成功研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为全面评估这三款机器人在图像识别与运动能力上的综合表现，该团队对它们开展了全方位测试，在图像识别能力测试环节，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分，85分，90分．运动能力测试则由10位专业测试员依据一系列动作任务逐一评分，每位测试员最高可打10分，最终成绩取所有测试员打分的总和． 【数据收集、整理与分析】 现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，获得两幅统计图（如图-1，图-2）和统计表，以评估哪款机器人的综合性能更优． A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 0.61 C 8 n p 2.01 根据上述信息，解答下列问题： (1)________，________，________； (2)通过比较方差，判断测试员对________（选填A，B或C）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 【问题解决】 (3)按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，则A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是________． 3．（2026·江苏连云港·三模）甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击10次，其成绩分别绘制成如图1、图2所示的统计图，两幅图均有部分被污染，两名队员10次的射击成绩整理后，得到的统计表如表所示． 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 7 b 乙 7 c 8    (1)______队员的发挥更稳定； (2)分别求统计表中a，b，c的值； (3)乙队员补射1次后，成绩为m环，据统计乙队员这11次射击成绩的中位数比c大，则m的最小值为______． 4．（2026·河北唐山·二模）节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图，其中统计表被墨迹遮盖了一部分． 甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表甲、乙两个家庭月用水量折线图 四月 五月 六月 平均数 方差 甲 乙 (1)求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图； (2)求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小； (3)甲家庭月份的用水量比月份的用水量下降（），恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值． 5．（2026·辽宁阜新·二模）年月日是第十一个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 八年级 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)①小明说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是________（填“七”或“八”）年级的学生； ②小文发现在数据收集阶段遗漏了一名八年级同学的测试成绩，若该同学得分恰好为80分，则加入这名同学的成绩后，八年级成绩的方差将________（填“增大”“减小”或“不变”）； (3)按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 6．（2026·北京石景山·二模）的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 (1)表中m的值为________，n的值为________； (2)已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； (3)为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $