专题05相交线与平行线专题之大脚模型讲义-2025年中考数学总复习

相交线与平行线——大脚模型 一、图解模型 【证明】如图所示，过点E作EF//AB. ∵CD//AB，EF//AB， ∴AB//CD//EF. ∴∠D =∠DEF，∠B = ∠BEF. ∵∠BED = ∠BEF -∠DEF， ∴∠E = ∠B -∠D. 二、模型拓展 将大脚模型中的线外拐点E向左侧移动，就会得到新的模型——骨折模型，其模型构成的核心要素仍为平行线 + 线外拐点，解决方法仍是经过拐点作出平行线，对比大脚模型的证明过程，得到该模型的结论为∠E=∠D -∠B. 【例1】如图，，，，则为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解法1：， ， ，， ．故选：． 解法2：由大脚模型可得∠E=∠A-∠C=70°-40°=30°，故选：． 【例2】【信息阅读】材料信息： 如图，，点是直线，外任意一点，连接，． 方法信息： 如图，在“材料信息”的条件下，，，求的度数． 解：过点作． ． ， ． ． ． 【问题解决】 （1）通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：　　； （2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 【解析】解（1）过作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）过点作， ， ， ． ， ， ． 【变式1】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图，已知两直线，且和直角三角形，，，． 操作发现： （1）在图1中，，求的度数． （2）某同学把直线向上平移，并把的位置改变，如图2，发现，说明理由． 【解析】（1）， ， ， ． （2）理由如下：过点作， 则， ，， ， ， ， ． 【变式2】（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数（结果用含的式子表示）． 【解析】（1）过点作， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； （3）平分，平分， ，， 由（2）可得：， ， 的度数为． 1．下列各图中，当时，符合关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】、如图： 是的一个外角， ， ， ， ， 故不符合题意； 、如图：延长交于点， ， ， ， ， 故符合题意； 、如图：过点作， ， ， ， ， ， ， 故不符合题意； 、如图：延长交直线于点， ， ， ， ， 故不符合题意； 故选：． 2．如图，已知，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】，， ， 过点作， ，， 又， ． 故选：． 3．（2024春•凉州区月考）如图，，为上方一点，，分别平分，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】如图：延长交于点， ， ，， ，分别平分，， ，， 是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：． 4．如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点在上，边，分别交于点，，若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】因为，且， 所以． 又三角形为直角三角形，且，， 所以． 所以． 又， 所以． 故选：． 5．（2024春•西城区校级期中）如图，直线，、分别在直线，上，为平面内一点，连接，，延长至点，和的角平分线相交于点．若，则可以用含的式子可以表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】设与相交于点，过点作， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 故选：． 6．（2024春•龙沙区期末）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　　 A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【答案】 【解析】 ①正确； 过点作，， ， ， 设，，则， ， ， ， ②错误； ， ③错误； ， ④正确． 综上所述，正确答案为①④． 故选：． 7．（2024春•嘉祥县期末）如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点，的角平分线交的反向延长线于点，下列四个结论： ①； ②； ③若，则； ④． 其中正确的结论是 　 　（填写序号）． 【答案】①②④． 【解析】①：作， ， ， ， ， ， ，故①正确； 同理可得：， 平分，平分， ，， ， 即，故②正确； 设交于点， 若，则， ， ， 平分， ， ， 若，则， 与不一定相等， 与不一定相等，故③不正确； 平分，平分， ， ， ，且，， ， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 8．认真看图，你一定能发现其中的奥妙！已知：． （1）如图1，若点为，外部一点，此时，，的大小有何关系？ （2）如图2，若点为，内部一点，此时与，的大小又有何关系？ （3）请任选上面一个结论进行证明． 【解析】（1）． 证明：， ， 又， ； （2）． 过点作． ， ， ，， ． （3）如上． 9．如图，，点为上方一点，在直线上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为直线上一点，、的角平分线所在直线交于点，求与的数量关系； （3）如图3，为、之间一点，且在内部，、，当恒成立时，　　． 【解析】（1）证明：过点作，如图， ， ， ，， ， 即； （2）如图： 设，， 平分，平分， ，， 由（1）中结论可得， ， ， ， ， 即； （3）如图： 与（1）同理可得，， ，， ， ，， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ， 或（不符合题意，舍去） ，解得， 故答案为：1． 10．学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． （1）小明遇到了下面的问题：如图1，，点在，内部，探究，，的关系，小明过点作的平行线，可得，，之间的数量关系是：　　． （2）如图2，若，点在，外部，，，的数量关系是否发生变化？请写出证明过程． 【解析】（1）记过点作的平行线为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）发生变化， 如图，过点，则， ， ， ， ． 11．（1）如图1，已知，，，求的度数． （2）如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【解析】（1）延长交于点， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 的度数为； （2）， 理由：如图：设与交于点， 是的一个外角， ， ， ， ； （3）由（2）可得： ， ， 平分，平分， ，， 由（2）得： ， ， 的度数为． 12．（1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2，若，点在的上方，那么，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【解析】（1）过点作， ， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可得：， 平分，平分， ，， ， ， 的度数为． 13．（1）探究：如图1，，点、分别在直线、上，连结、，当点在直线的左侧时，试说明； （2）变式：如图2，将点移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由； （3）（问题迁移）如图3，，点在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由； （4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数． 【解析】（1）如图所示：过点作， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图所示：过点作， ， ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： 如图所示：过点作， ， ， ， ， ， ； （4）如图所示：过点作，过点作， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的平分线和的平分线交于点， ，， ， ． 14．如图，已知直线，与、分别交于点、，动点在直线上且不与点、重合．点在上，且位于点的左侧，点在上，已知，，． （1）当点在点的左侧时， ①点在图1的位置时，若，，求的度数． ②点在图2的位置时，试说明，，之间的关系． （2）当在右侧，且时，请直接写出，，之间可能的关系． 【解析】（1）①如图，过点作，可得， ， ， ， ． ②如图，过点作，可得， ， ， ， ． （2） 情况1（如备用图，过点作，得，即． ， ， ，即． ， ． 情况2（如备用图，过点作，得，即． ， ， ，即． ， ． 情况3（如备用图，过点作，得， 即． ， ， ，即． ． 15．如图，直线，直线与直线、分别交于点、点，点、点分别是直线、上的点，且在直线的同侧，点在直线上． （1）图1，若点在线段上时，，请说明理由； （2）图2，若点在的下方时，，，三角有什么关系？请说明理由； （3）图3，若点在直线的上方时，请直接写出，，三角的关系． 【解析】（1）过点作， ， 直线， ， ， ， ； （2）， 理由：过点作， ， 直线， ， ， ， ； （3）， 理由：过点作， ， 直线， ， ， ， ． 16．已知：，点为射线上一点． （1）如图1，写出、、之间的数量关系并说明理由； （2）如图2，写出、、之间的数量关系并说明理由； （3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 【解析】（1）．理由如下： 如图1，过点作， 则， ， ， ， ， ； （2）．理由如下： 如图2，过点作， 则， 即， ， ， ， 即， ， ； （3）如图3，过点作， 由（2）可知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．（1）如图1：若，点在、内部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． （2）如图2，若，将点移到、外部，则、、的数量关系是 　　． （3）在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则、、、之间满足的数量关系是 　　． 【解析】（1）如图1，过点作， ， ， ，， ， ； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）连接并且延长至， ，， ，， ． 故答案为：． 18．平面内的两条直线有相交和平行的位置关系． （1），如图，点在、外部时，由，有，又因是的外角，故，得． （2）如图，将点移到、内部，以上结论是否成立？若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． 【解析】以上结论不成立，结论是 如图所示：延长交于点． 又， ． 19．如图，已知直线，和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在直线或上，且不与点，，，重合，记，，． （1）若点在图1位置，试证明； （2）若点在图2位置，请直接写出，，之间的关系不证明； （3）若点在图3位置，写出，，之间的关系并给予证明． 【解析】（1）证明：如图（1），过点作， ，， ， ，， ， ； （2）． 证明：如图（2），过点作， ，， ， ，， ． （3）． 证明：如图（3），过点作， ，， ， ，， ， ， ． 20．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若，点在、内部，，，求． （2）如图2，将点移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． （3）如图3，写出、、、之间的数量关系？（不需证明） （4）如图4，求出的度数． 【解析】（1）过点作， ， ， ，， ； （2）． 理由如下：设与相交于点， ， ， 在中，， ． （3）如图，连接并延长， 结论：． （4）如图，由三角形的外角性质，，， ， ． 21．已知：，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、． （1）如图1，若，求证：． （2）如图2，点在的上方，平分，平分，若，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，的角平分线与的延长线交于点，若，求的度数． 【解析】（1）如图1：延长交于， ， ， ， ， ， ． （2）如图2，平分，且， ， ， ， 由（1）得，，即， ，即， ， 平分， ， ， （3）如图3，设， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 22．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图，若，点在、外部，我们过点作、的平行线，则有，故，，故，得．将点移到、内部，如图，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图，利用（1）中的结论（可以直接套用）求、、、之间有何数量关系？ （3）设交于点，交于点．已知，，利用（2）的结论直接写出的度数为　 　度，比大　　度． 【解析】（1）不成立，是， 证明：如图，延长交于， ， ， ， ； （2）； ， ， 证明同（1）． （3）解， ， ，； ， ； ． 23．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若，点在、外部，求证：； （2）将点移到、内部，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，则、、之间有何数量关系？不必说明理由； （3）在图2中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图3，则、、、之间有何数量关系？并证明你的结论； （4）在图4中，若，则　　． 【解析】（1）， ， 而， ， 即； （2）（1）中的结论不成立，． 作，如图2， ， ， ，， ； （3）．理由如下： 连接并延长到，如图3， ，， ， ； （4）连接，如图4， ， ， ． 故答案为6． 24．如图1，已知，，点在上，射线交于点，点为射线上一点． （1）当点在线段上时，若，，则　　； （2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； （3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 【解析】（1）过点作， ， ， ，， ； （2）， 过点作， ， ， ，， ； （3）， 设，则，， ，， 由（2）可知，，， 平分， ， 即， 解得：， ， 在中， ． 25．（2024春•宜春期末）【探索发现】 （1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【解析】证明：（1）如图：过点作， ， ， ，， ，即； （2）证明：在三角形中，， ， ， ， ， ； （3）解：平分，， ， 设， ， ， 在（2）的条件下，， ， 解得：， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， 即， 解得：， ． 26．如图1，直线，是截线上的一点． （1）若，，求； （2）如图1，当点在线段上运动时，与的平分线交于，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由； （3）如图2，若是直线上且位于点的上方的一点，如图所示，当点在射线上运动时，与的平分线交于，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由． 【解析】（1），， ， ， ， 的度数为； （2）是定值， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， 平分，平分， ，， ， ； （3）是定值， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， 平分，平分， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相交线与平行线——大脚模型 一、图解模型 【证明】如图所示，过点E作EF//AB. ∵CD//AB，EF//AB， ∴AB//CD//EF. ∴∠D =∠DEF，∠B = ∠BEF. ∵∠BED = ∠BEF -∠DEF， ∴∠E = ∠B -∠D. 二、模型拓展 将大脚模型中的线外拐点E向左侧移动，就会得到新的模型——骨折模型，其模型构成的核心要素仍为平行线 + 线外拐点，解决方法仍是经过拐点作出平行线，对比大脚模型的证明过程，得到该模型的结论为∠E=∠D -∠B. 【例1】如图，，，，则为　　 A． B． C． D． 【例2】【信息阅读】材料信息： 如图，，点是直线，外任意一点，连接，． 方法信息： 如图，在“材料信息”的条件下，，，求的度数． 解：过点作． ． ， ． ． ． 【问题解决】 （1）通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：　　； （2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 【变式1】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图，已知两直线，且和直角三角形，，，． 操作发现： （1）在图1中，，求的度数． （2）某同学把直线向上平移，并把的位置改变，如图2，发现，说明理由． 【变式2】（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数（结果用含的式子表示）． 1．下列各图中，当时，符合关系的是　　 A． B． C． D． 2．如图，已知，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•凉州区月考）如图，，为上方一点，，分别平分，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点在上，边，分别交于点，，若，则等于　　 A． B． C． D． 5．（2024春•西城区校级期中）如图，直线，、分别在直线，上，为平面内一点，连接，，延长至点，和的角平分线相交于点．若，则可以用含的式子可以表示为　　 A． B． C． D． 6．（2024春•龙沙区期末）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　　 A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 7．（2024春•嘉祥县期末）如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点，的角平分线交的反向延长线于点，下列四个结论： ①； ②； ③若，则； ④． 其中正确的结论是 　 　（填写序号）． 8．认真看图，你一定能发现其中的奥妙！已知：． （1）如图1，若点为，外部一点，此时，，的大小有何关系？ （2）如图2，若点为，内部一点，此时与，的大小又有何关系？ （3）请任选上面一个结论进行证明． 9．如图，，点为上方一点，在直线上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为直线上一点，、的角平分线所在直线交于点，求与的数量关系； （3）如图3，为、之间一点，且在内部，、，当恒成立时，　　． 10．学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． （1）小明遇到了下面的问题：如图1，，点在，内部，探究，，的关系，小明过点作的平行线，可得，，之间的数量关系是：　　． （2）如图2，若，点在，外部，，，的数量关系是否发生变化？请写出证明过程． 11．（1）如图1，已知，，，求的度数． （2）如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 12．（1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2，若，点在的上方，那么，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 13．（1）探究：如图1，，点、分别在直线、上，连结、，当点在直线的左侧时，试说明； （2）变式：如图2，将点移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由； （3）（问题迁移）如图3，，点在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由； （4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数． 14．如图，已知直线，与、分别交于点、，动点在直线上且不与点、重合．点在上，且位于点的左侧，点在上，已知，，． （1）当点在点的左侧时， ①点在图1的位置时，若，，求的度数． ②点在图2的位置时，试说明，，之间的关系． （2）当在右侧，且时，请直接写出，，之间可能的关系． 15．如图，直线，直线与直线、分别交于点、点，点、点分别是直线、上的点，且在直线的同侧，点在直线上． （1）图1，若点在线段上时，，请说明理由； （2）图2，若点在的下方时，，，三角有什么关系？请说明理由； （3）图3，若点在直线的上方时，请直接写出，，三角的关系． 16．已知：，点为射线上一点． （1）如图1，写出、、之间的数量关系并说明理由； （2）如图2，写出、、之间的数量关系并说明理由； （3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 17．（1）如图1：若，点在、内部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． （2）如图2，若，将点移到、外部，则、、的数量关系是 　　． （3）在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则、、、之间满足的数量关系是 　　． 18．平面内的两条直线有相交和平行的位置关系． （1），如图，点在、外部时，由，有，又因是的外角，故，得． （2）如图，将点移到、内部，以上结论是否成立？若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． 19．如图，已知直线，和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在直线或上，且不与点，，，重合，记，，． （1）若点在图1位置，试证明； （2）若点在图2位置，请直接写出，，之间的关系不证明； （3）若点在图3位置，写出，，之间的关系并给予证明． 20．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若，点在、内部，，，求． （2）如图2，将点移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． （3）如图3，写出、、、之间的数量关系？（不需证明） （4）如图4，求出的度数． 21．已知：，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、． （1）如图1，若，求证：． （2）如图2，点在的上方，平分，平分，若，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，的角平分线与的延长线交于点，若，求的度数． 22．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图，若，点在、外部，我们过点作、的平行线，则有，故，，故，得．将点移到、内部，如图，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图，利用（1）中的结论（可以直接套用）求、、、之间有何数量关系？ （3）设交于点，交于点．已知，，利用（2）的结论直接写出的度数为　 　度，比大　　度． 23．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若，点在、外部，求证：； （2）将点移到、内部，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，则、、之间有何数量关系？不必说明理由； （3）在图2中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图3，则、、、之间有何数量关系？并证明你的结论； （4）在图4中，若，则　　． 24．如图1，已知，，点在上，射线交于点，点为射线上一点． （1）当点在线段上时，若，，则　　； （2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； （3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 25．（2024春•宜春期末）【探索发现】 （1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 26．如图1，直线，是截线上的一点． （1）若，，求； （2）如图1，当点在线段上运动时，与的平分线交于，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由； （3）如图2，若是直线上且位于点的上方的一点，如图所示，当点在射线上运动时，与的平分线交于，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$