精品解析：广东省珠海某校2024-2025学年高二下学期开学测试数学试题

2024-2025 学年度下学期学科测试 高二年级 数学试卷 卷面总分：150 分 考试时长：120 分钟 命题人:高二数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求准线方程. 【详解】抛物线方程化成标准方程为：， 所以，且抛物线开口向上， 所以抛物线准线为：. 故选：B. 2. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式基本量计算出，利用等差数列求和公式求出答案. 【详解】由于，故，所以． 故选：C 3. 某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.95 C. 0.8 D. 0.85 【答案】A 【解析】 【分析】由频率可得到概率估计值. 【详解】设事件为 “甲获胜”， 20组随机数，其中事件发生了18次， . 故选：A. 4. 已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用离心率求出，然后结合的关系求解渐近线方程即可. 【详解】双曲线C：的离心率为, 故，， . 故双曲线C的渐近线方程为：. 故选：A 5. 已知圆与圆，则圆与圆的公切线的条数有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，进而求出公切线的条件. 【详解】可化为， 所以圆心，半径， 可化为， 所以圆心，半径， 圆心距， 所以两圆外切， 所以两圆的公切线有3条. 故选：C 6. 已知空间向量两两相互垂直，且，若则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意可得，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】设， ， ， 等号成立，当且仅当， ， 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积、基本不等式，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 7. 设、为不相等的正实数，椭圆的焦点分别为与．若此椭圆上存在点P使得为正三角形，则（ ） A. B. C. 28 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】由题设可得且求参数值，即可得结果. 【详解】要使为正三角形，则， 由椭圆的对称性且焦点在y轴上，要使，则必在左右顶点上， 所以，即，故，则. 故选：C 8. 在空间直角坐标系中，正四面体的顶点A、B分别在轴，轴上移动．若该正四面体的棱长是4，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】固定正四面体的位置，则原点在以为直径的球的球面上运动，进而转化为减去球的半径和加上球的半径问题求解即可. 【详解】解：如图所示， 若固定正四面体的位置，则原点在以为直径的球面上运动， 设的中点为，则， 所以原点到点的最近距离等于减去球的半径，最大距离是加上球的半径， 所以， 即的取值范围是． 故选：B． 二、多选题：本题共4小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线必过定点 C. 方程与方程表示同一条直线 D. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】A：先求斜率，然后根据求解出倾斜角；B：根据直线过定点列出关于的方程组，求解出结果即可知定点坐标；C：根据分式方程的特点作出判断即可；D：考虑直线的横纵截距是否为，由此分类讨论. 【详解】对于A：直线的斜率，所以倾斜角的正切值，所以，故正确； 对于B：因为直线，令，所以，所以直线过定点，故正确； 对于C：方程中，方程中，故错误； 对于D：当直线的横纵截距均为时，设直线方程，代入，解得， 当直线的横纵截距均不为时，设直线方程，代入，解得， 故所求直线方程为或，故错误； 故选：AB. 10. 柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（ ） A. 该试验的样本空间共有6个样本点 B. 事件A与事件C互为对立事件 C. D. 事件B与事件C相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记两双鞋子分别为，，，，则， ，，，则，故A正确； A与C互斥但不对立；故B错误； ，故C正确； ， 所以事件B与事件C不相互独立，故D错误. 故选：AC. 11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 过与双曲线有一个公共点直线有3条 D. 若，则的面积为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线定义判断A，根据双曲线定义及图象可判断B，根据双曲线的性质判断C，根据定义及直角三角形判断D. 【详解】如图， 由双曲线方程知， 所以由双曲线定义知，故A正确； 因为，所以，， 由，故B正确； 过M与两渐近线平行的直线仅1个交点，过M与左支相切与右支无交点的直线有1条， 过M与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C错误； 若，则，即， 所以，解得， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】本题C选项也可以通过设直线联立双曲线方程采用纯代数的方法进行判断，选项D可以直接利用焦点三角形的面积公式判断. 12. 若等差数列的前n项和为，首项为，公差为d，设，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则当且仅当时，有最大值 B. 若，则当且仅当时，数列的前n项和有最大值 C. 若，则的取值范围为 D. 若函数的对称轴方程为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可判断出数列中各项的符号，即可得A正确，再根据的表达式可判断B正确，利用不等关系计算可得，可知C错误，由等差数列前n项和的函数性质可判断D正确. 【详解】对A选项，，，则，所以当且仅当时，有最大值，A正确； 对B选项：，，则，，且， 当且仅当时，数列的前n项和有最大值，B正确； 对C选项：，，且，， 所以，则，C错误； 对D选项：由已知可得，，且，， 所以，而，故，即D正确. 故选：ABD 三、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面的位置关系与向量的关系可得出，由此可求得的值. 【详解】因为，则，则，解得. 故答案为：. 14. 直线l：与有两个不同交点，则m的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出直线与半圆的图象，考虑临界位置：直线经过、直线与半圆相切，结合图象求解出的取值范围. 【详解】即为，表示圆心在原点半径为的圆位于轴右侧的部分， 直线即为，过定点， 在平面直角坐标系中作出直线和半圆的图象如下图所示： 圆与坐标轴交于，且直线的斜率为， 当直线经过时，此时，解得， 当直线与圆相切时，，解得或（舍）， 根据图象可知，若直线与半圆有两个不同交点，则， 故答案为：. 15. 已知事件与事件相互独立，且，，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件的概率公式求出，再由公式可求得结果. 【详解】因为事件、是相互独立的，则， 所以，. 故答案为：. 16. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式______． 【答案】 【解析】 【分析】由，当n＝1时，a1＝S1＝3．当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即可得出． 【详解】当，且时， ， 又，满足此通项公式， 则数列的通项公式． 故答案为 【点睛】本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题． 17. 某公园有一个坐落在水平地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图.已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点.某兴趣小组通过测量的三边长度，来计算该正方体石雕的相关数据.已知测得，则该石雕最高点到地面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】补齐为正方体，设，结合勾股定理列出方程组即可解得，进而求得该石雕所在正方体的棱长，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点到平面的距离，进而求解. 【详解】如图，补齐正方体，设，，， 则，解得，，， 即该石雕所在正方体的棱长为. 以原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， ， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，可得， 所以点到平面的距离为， 即该石雕最高点到地面的距离为. 故答案为：. 【点睛】 18. 设是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上的两点，且满足，则椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，由对称性得到，设，根据椭圆定义得到其他各边长，由余弦定理得到方程，求出，进而求出离心率. 【详解】延长交椭圆于点，连接， 因为，故， 由对称性可知，， 因为，所以， 设，则， 故， 在中，， 即， 即，解得， 故， 由余弦定理得， 即， 解得. 故答案为： 四、解答题：本小题共4小题，共56分. 19. 已知数列的前项和公式为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用求解通项公式即可； （2）由（1）得，利用等差数列定义判断数列为等差数列，然后利用等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 显然时，满足要求，综上，； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 故为首项，的等差数列，所以. 20. 甲、乙两名同学组成“梦队”与AI人工智能进行比赛.每轮比赛均由甲、乙分别与AI挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为，乙每次挑战成功的概率为.在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响.“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次的概率为. （1）求P的值； （2）求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少2次的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解即可. （2）利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【小问1详解】 设，，分别表示甲两轮挑战成功次数分别为0，1，2的事件， ，，分别表示乙两轮挑战成功的次数分别为0，1，2的事件， 则，， ，，，. 设“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次为事件， 则，解得（舍去负根）. 【小问2详解】 由（1）知，，， 设“梦队”在两轮比赛中挑战成功至少2次为事件D， 则. 21. 如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）若为上的一点，点到平面的距离为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用平行四边形的判定和性质得，利用直角三角形性质得，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）分别取中点，连接，利用面面垂直的性质定理及线线平行性质得平面，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 在梯形中，取中点，连接， ，，四边形为平行四边形，， ，， ，，平面，平面， 平面，平面平面. 【小问2详解】 分别取中点，连接， ，为中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 分别为中点，，平面， 则以坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，，， 设，则， 设平面法向量， 则，令，解得：，，； 点到平面的距离， 解得：，； 平面轴，平面的一个法向量， ，又二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 22. 已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为. （1）求抛物线C的标准方程； （2）记，若t值与点M的位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 【分析】（1）由当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为，得到，解得的值，即可求解； （2）设，，直线MN的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，再由对称性，分两种情况讨论，由此可得到结论. 【详解】（1）由题意，可得，解得， 故抛物线C的标准方程为. （2）设，，直线MN的方程为， 联立得，， ∴，， 由对称性，不妨设 （ⅰ）当时，∵，∴，同号， 又， ∴. 不论a取何值，t均与m有关，即时，A不是“稳定点”； （ⅱ）当时，∵，∴异号， 又， ∴ . ∴当且仅当，即时，t与m无关， 此时A为抛物线C的焦点，即抛物线C的对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年度下学期学科测试 高二年级 数学试卷 卷面总分：150 分 考试时长：120 分钟 命题人:高二数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.95 C. 0.8 D. 0.85 4. 已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆，则圆与圆的公切线的条数有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 已知空间向量两两相互垂直，且，若则取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设、为不相等的正实数，椭圆的焦点分别为与．若此椭圆上存在点P使得为正三角形，则（ ） A. B. C. 28 D. 36 8. 在空间直角坐标系中，正四面体的顶点A、B分别在轴，轴上移动．若该正四面体的棱长是4，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线倾斜角为 B. 直线必过定点 C. 方程与方程表示同一条直线 D. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 10. 柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（ ） A. 该试验的样本空间共有6个样本点 B. 事件A与事件C互为对立事件 C. D. 事件B与事件C相互独立 11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 最小值为 C. 过与双曲线有一个公共点直线有3条 D. 若，则的面积为5 12. 若等差数列的前n项和为，首项为，公差为d，设，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则当且仅当时，有最大值 B. 若，则当且仅当时，数列的前n项和有最大值 C. 若，则的取值范围为 D. 若函数的对称轴方程为，则的取值范围为 三、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则____． 14. 直线l：与有两个不同交点，则m的取值范围________. 15. 已知事件与事件相互独立，且，，则______ 16. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式______． 17. 某公园有一个坐落在水平地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图.已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点.某兴趣小组通过测量的三边长度，来计算该正方体石雕的相关数据.已知测得，则该石雕最高点到地面的距离为__________. 18. 设是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上的两点，且满足，则椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本小题共4小题，共56分. 19. 已知数列的前项和公式为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 20. 甲、乙两名同学组成“梦队”与AI人工智能进行比赛.每轮比赛均由甲、乙分别与AI挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为，乙每次挑战成功的概率为.在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响.“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次的概率为. （1）求P的值； （2）求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少2次概率. 21. 如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）若为上的一点，点到平面的距离为，求二面角的余弦值. 22. 已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为. （1）求抛物线C的标准方程； （2）记，若t值与点M的位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$