精品解析：山西省长治市沁县中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

绝密★启用前 沁县中学2024-2025学年（上）高三10月月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的基本运算先求，再求即可. 【详解】根据题意有，所以. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：C 3. 若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点在抛物线上得出，再根据抛物线定义计算即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，即得， 则. 故选：B. 4. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次函数性质结合题意列出关于的不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以. 故选：A. 5. 设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设求得（t为参数），进而求出取椭圆上顶点时的值，从而得不会为直角即可求解. 【详解】由题，又，. ，即（t为参数）， 取上顶点时最大，此时. 不会为直角，只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4. 故选：C. 6. 若，则（ ） A. B. 10 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项为， 又， 所以，， 所以， 故选：C 7. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则所有项恒大于等于 B. 若，则是单调递增数列 C. 若是常数列，则 D. 若，则是单调递增数列 【答案】C 【解析】 【分析】由值不定即可判断A；由题设求出和即可判断B；由求出即可求出判断C；由和即可判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当即时等号成立， 所以，但值不定， 所以若，则所有项不一定恒大于等于，故A错误； 对于B，若时，，，而，故B错； 对于C，若是常数列，则，即， 所以，故C正确； 对于D，由题， 因为，所以由递推关系可知，且，， 所以，.故D错误. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系xOy中，，，，其中，，，则当面积最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，先由结合两角和正切公式得且，接着计算得，构造函数，利用导数求出该函数最小值即可求解. 【详解】如图所示， 设，则，，，， 所以由可得， ， 记，则， 所以时，，解得（舍去）或， 时，，解得， 所以时可取最小值，而， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由结合两角和正切公式得且即把关联起来. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意结合条件概率定义、独立事件定义和独立事件概率乘法公式逐项求出相应所需的即可判断得解. 【详解】对于A，由题意可得， 所以，故A正确； 对于B，， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 所以，故C错误； 对于D，因为，所以.故D正确. 故选：ABD. 10. 如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（ ） A. 与平面有可能平行 B. 与平面有可能平行 C. 三角形周长的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当Q为的中点时，可证得四边形为平行四边形，则与互相平分于点，连接可证得∥，再由线面平行的判定定理可得结论，对于B，由题意可得与平面BPQ相交，对于C，把沿展开与在同一平面（如图），则当B，P，Q共线时，有最小值，从而可求得结果，对于D，， 为定值，可得结论. 【详解】对于A，连接，当Q为的中点时，， 因为，∥，∥，， 所以，∥， 所以四边形为平行四边形， 所以与互相平分，设与交于点，连接， 因为P是棱的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面BPQ，故A正确；    对于B，，又平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交， 所以与平面BPQ只能相交，故B错； 对于C，，把沿展开与在同一平面（如图）， 则当B，P，Q共线时，有最小值， 在直角梯形中，，，，， 则， 所以， 所以， 所以三角形BPQ周长的最小值为，故C正确；      对于D，，因为定值，因为∥，∥， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以为定值．所以D正确， 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定和棱锥体的求法，对于选项A解题的关键是证明四边形为平行四边形，从而可找到的中点，再利用三角形中位线定理可得线线平行，考查空间想象能力，属于较难题. 11. 已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质： ①； ②； ③当时，，其中 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 恰有两个整数解 C. 若，，则，，中至少有两个相等 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】应用特殊值法及奇偶性定义判断奇偶性，进而有，即可判断A；应用反证法，对于任意除1和以外的整数有，根据已知推出矛盾判断B；根据已知得，讨论、判断上述结论是否成立判断C；由函数性质得、求值判断D. 【详解】A：令，有，即； 令，有，即； 令，有，即是偶函数； 因为 ，，所以，A正确； B：假设选项正确，对于任意除1和以外的整数，有， 即，，而，且， 所以，，矛盾，故B错误. C：，所以， 若，结论显然成立； 若，则，即或，结论依然成立，C正确； D：， ， ，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据已知函数性质，奇偶性定义、赋值法、反证思想的应用为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意结合诱导公式得，再由倍角公式和常数“1”的代换结合分式齐次式弦化切即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：. 13. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求得. 【详解】由余弦定理得，得， 所以. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出光线与、、相切时的斜率，数形结合即可得解. 【详解】将半圆依次沿着，，作对称，如图所示： 光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间， 因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示. 当光线与相切时，光线所在直线斜率为， 由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切，则入射光线所在直线为与圆相切， 当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时， 此时，所以光线斜率为 ， 当光线与相切时，光线斜率为， 所以由图可知k的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合简化问题的难度. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司推出一种新品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了名消费者，得到下表： 性别 满意度 合计 满意 不满意 男 220 30 250 女 230 20 250 合计 450 50 500 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对新产品的满意度与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望. 附：其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）不能 （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）利用公式求出，利用临界值表进行判定； （2）先求出不满意的概率，由二项分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解 【小问1详解】 零假设为：消费者对新产品的满意度与性别无关， 则 所以，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为消费者对新产品的满意度与消费者性别无关. 【小问2详解】 从该地区消费者中随机选取1人，对新产品不满意的概率为， 从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数， 则的可能取值为，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的期望为. 16. 如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. （1）若，证明：； （2）若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 【答案】（1） 连接，，当，则是的中点，是的中点， 所以， 因为面，面，所以， 所以. （2） 【解析】 【分析】(1)当时分别找到点和点的位置，利用线面垂直，可证线线垂直； (2)根据题中垂直关系，建立空间直角坐标系，把表示为的函数，求函数值域即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，， ，，所以，， 所以，，所以， 又，设直线的方向向量为， 则由得， 取，又， 所以 由得， 易知在单调递减，单调递增 所以，所以. 17. 箱子里有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概率均为，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束： （a）第一次抽取的卡片上写的数字是4； （b）设n为大于等于2的整数，第n次抽取的卡片上写的数字大于第次抽取的卡片上写的数字.例如，当记录的数字依次为3，2，2，4时，这个操作在第4次结束. （1）若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数； （2）求操作在第n次结束的概率. 【答案】（1）15； （2）操作在第n次结束的概率为. 【解析】 【分析】（1）由操作的的条件直接写出所有可能情况即可得解. （2）设操作在第次结束的概率为，操作在第次未结束的概率为，由题设表示和，利用隔板法讨论操作进行了次，但是并没有结束的情形，从而求出，进而得解. 【小问1详解】 由题意可得若操作进行了4次仍未结束，则前四次抽取的卡片数字可能为： 1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333，共有15种情况. 【小问2详解】 设操作在第次结束的概率为，操作在第次未结束的概率为. 则当时，，； 当时，. 接下来我们讨论操作进行了次，但是并没有结束的情形，抽取的数字结构如下所示： 分别设序列中的3，2，1的个数为，，，可知. 利用隔板法，可以知道对应情形的数量，操作如下： 令，，，即， 一共有种情形， 各情形概率均为，所以有， 当时，. 经检验，其对依然成立，所以. 18. 已知函数，. （1）设直线与曲线交于点P，求P点纵坐标的最小值； （2）a取遍全体正实数时，曲线在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数，求的解析式； （3）证明：当时，对任意正实数a，.（附：） 【答案】（1）点纵坐标的最小值为； （2）； （3） 由第（2）问可知恒成立，所以只需证明即可. ①若，构造 因为，所以在上恒成立，在上单调递增，所以， 即在上恒成立； ②若，， 因为，所以 构造，则. 令，则，所以在单调递增， 而，所以恒成立， 在单调递增，. 因为，即， ，所以， 而，即证在上恒成立. 【解析】 【分析】（1）由时的结合基本不等式即可求解； （2）构造函数并求导，根据导函数分和两种情况研究函数单调性求出其最小值即可得解； （3）由第（2）问恒成立，将问题转化成证明，再利用导数分段求证成立即可得证. 【小问1详解】 时，. 令，当且仅当时等号成立， 所以点纵坐标的最小值为. 【小问2详解】 ，定义域为， 令， 则， ①当，即时，，在上单调递增， ； ②当，即时，由， 在上单调递减，在上单调递增， . 综上所述，. 【小问3详解】 略 19. 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中； （1）数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由. （2）正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值； （3）设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：. 【答案】（1）不是，是，理由如下： ， ， ， 所以不是等差数列； ，则， 所以是首项为6，公差为6的等差数列. （2） （3） ， 所以，从而， ， 从而，所以， ， . 【解析】 【分析】（1）根据数列的通项公式求出的通项公式，利用等差数列的定义，结合特例法判断即可. （2）由存在，使得，可得，由，可得，分类讨论可求的值； （3）由一阶差分数列的定义可得，则，先证明中，利用分组求和，结合等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意， ， 又， 即 ， ，则， 若，即，解得（舍去）， 即当时，， 当时，则，对，不存在， 综上所述，. 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：关于新定义问题的常见思路为： （1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等； （2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 沁县中学2024-2025学年（上）高三10月月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 6. 若，则（ ） A. B. 10 C. 15 D. 16 7. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则所有项恒大于等于 B. 若，则是单调递增数列 C. 若是常数列，则 D. 若，则是单调递增数列 8. 在平面直角坐标系xOy中，，，，其中，，，则当面积最小时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（ ） A. 与平面有可能平行 B. 与平面有可能平行 C. 三角形周长的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 11. 已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质： ①； ②； ③当时，，其中 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 恰有两个整数解 C. 若，，则，，中至少有两个相等 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_________. 13. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为__________. 14. 在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司推出一种新品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了名消费者，得到下表： 性别 满意度 合计 满意 不满意 男 220 30 250 女 230 20 250 合计 450 50 500 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对新产品的满意度与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望. 附：其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. （1）若，证明：； （2）若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 17. 箱子里有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概率均为，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束： （a）第一次抽取的卡片上写的数字是4； （b）设n为大于等于2的整数，第n次抽取的卡片上写的数字大于第次抽取的卡片上写的数字.例如，当记录的数字依次为3，2，2，4时，这个操作在第4次结束. （1）若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数； （2）求操作在第n次结束的概率. 18. 已知函数，. （1）设直线与曲线交于点P，求P点纵坐标的最小值； （2）a取遍全体正实数时，曲线在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数，求的解析式； （3）证明：当时，对任意正实数a，.（附：） 19. 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中； （1）数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由. （2）正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值； （3）设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $