精品解析：甘肃省武威市凉州区武威十七中联片教研2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年第一学期期末质量检测试卷八年级数学 一、选择题（共30分，每小题3分，每小题只有一个答案是正确的） 1. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为　　 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 如图，≌，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平分，于点，，，，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是一个完全平方式，则常数a的值为（ ） A. 8 B. C. D. 无法确定 8. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或0 D. 1或 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 如图，在中，，，且是的角平分线，则_______． 12. 如图，于点A，于点B，且．点P从A向B运动，每分钟走，点Q从A向D运动，每分钟走2m，P，Q两点同时出发，运动 _____分钟后，与全等． 13. 如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 14. 如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 15. 当，则的值为________． 16. 因式分解：____． 17. 要使代数式有意义，则的取值范围是________． 18. 已知，则________． 三、解答题（共66分） 19. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为________． （2）在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标． （3）在（1）问条件下，求的面积． 20. （1）计算： （2）分解因式： 21. 解分式方程：． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，．求和的度数． 24. 如图，点D是内一点，，，垂足分别为E，F，点M，N分别在的两边上，且，．求证：． 25. 在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 26. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” （1）特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期期末质量检测试卷八年级数学 一、选择题（共30分，每小题3分，每小题只有一个答案是正确的） 1. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线定义和解二元一次方程组，根据周长的差得出边与的差等于3是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，进而得到和的周长的差等于与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴的周长的周长 ， 即， 又， 得， 解得． 故选：D． 2. 已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为　　 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数． 【详解】正多边形的一个外角等于，且外角和为， 则这个正多边形的边数是：， 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键． 3. 如图，≌，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．由可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，平分，于点，，，，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于点， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   故选： B． 5. 如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂的除法法则，幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项正确． B、，故选项错误． C、，故选项错误． D、，故选项错误． 故选：A． 7. 若是一个完全平方式，则常数a的值为（ ） A. 8 B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 8. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件列不等式计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 9. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．由条件可得，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：C． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或0 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数，运用分类讨论思想解答是解题的关键； 根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解． 【详解】解：方程两边乘以得，， 整理得，， 当，即之时，方程为，方程无解，故分式方程也无解； 当时，， 分式方程无解，即产生增根， 令，得， 解得；符合题意， 综上，当或时，分式方程无解． 故选：D． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 如图，在中，，，且是的角平分线，则_______． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出，角平分线求出，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：65 12. 如图，于点A，于点B，且．点P从A向B运动，每分钟走，点Q从A向D运动，每分钟走2m，P，Q两点同时出发，运动 _____分钟后，与全等． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，设运动分钟后，与全等，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设运动分钟后，与全等，则：； ①当时，则：， 则：，满足题意； ②当时，则：， ∴， 解得：，不符合题意； 故答案为：6． 13. 如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：是线段的垂直平分线， 与关于对称， 连接， ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，， ， ， ， ， 周长， 周长的最小值为7， 故答案为7． 15. 当，则的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 16. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】， 故答案为： 17. 要使代数式有意义，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于0是解题关键．根据分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：要使代数式有意义，则， 解得， 故答案为：． 18. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，分式的求值，利用平方根的含义解方程，利用关系式是解题的关键． 根据，把已知条件代入可得结果． 【详解】解：， 又， ， ． 故答案为： 三、解答题（共66分） 19. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为________． （2）在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标． （3）在（1）问条件下，求的面积． 【答案】（1）画图见解答； （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）由题意可得，求出的值，即可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点，直线轴， ， 解得：， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：的面积为． 20. （1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，因式分解： （1）根据单项式乘以单项式的法则，以及积的乘方法则，进行计算即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 21. 解分式方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程化为整式方程，求解后，验根即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 原分式方程无解． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，化简后，再进行减法运算，根据零指数幂的法则求出的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 23. 如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，．求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是利用三角形内角和定理解决问题．利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，据此计算可得结论． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 24. 如图，点D是内一点，，，垂足分别为E，F，点M，N分别在的两边上，且，．求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 又∵，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理，证明得出是的角平分线，再由角平分线的性质定理即可得证． 【详解】略． 25. 在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，得到，由得到，即可证明； （2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明． 【小问1详解】 证明：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图，在上截取，连接， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形． 26. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” （1）特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【答案】（1）40是“和谐数”， 理由：设， 解得， ∴40是“和谐数”； （2）“和谐数”能被8整除， 理由：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∴“和谐数”能被8整除； （3）是 “和谐数”， 理由：∵是“和谐数”， ∴， ∴， ∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”， ∴可设，其中k为正整数， ∴， ∴， ∴ ． ∵k为正整数， ∴和为两个连续正奇数， ∴为“和谐数”． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是： （1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $