精品解析：云南省德宏傣族景颇族自治州民族第一中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试卷

高三数学考试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求解集合，再求交集. 【详解】由题可知，又因为，故． 故选：B 2. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法几何意义求复数的模． 【详解】因为， 所以， 故选：C． 3. 近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展．已知蓄电池的容量C(单位：)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 35h B. 30h C. 25h D. 20h 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】由， 得． 故选：D 4. 若函数()图象的一个对称中心为点，则ω的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用辅助角公式得，根据对称中心及求参数范围，即可得答案. 【详解】由题设， 因为， 所以，则，． 因为，所以. 故选：A. 5. 在正四棱锥中，已知，，则该正四棱锥的体积为（ ） A. 96 B. 80 C. 64 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的性质，利用勾股定理求得棱锥的高，结合体积公式，可得答案. 【详解】连接AC，BD，设AC与BD交于点O，连接OP． 易知，PO就是正四棱锥的高，且． 又，所以，所以该正四棱锥的体积为． 故选：D. 6. 已知椭圆C：()的上、下顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点P在C上，且C的离心率为，的周长为10，则四边形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆离心率与焦点三角形的公式，建立方程，利用对角线之积的一半，可得答案. 【详解】因为C的离心率为，所以，即． 又因为的周长为10，所以，即．联立，解得. 又因为，所以，所以四边形的面积为． 故选：B. 7. 对于函数，若存在两个常数a，b，使得，则称是“平方差关联函数”．已知函数是“平方差关联函数”，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“平方差关联函数”定义建立等式，通过化简求出的值即可求解． 【详解】因为是“平方差关联函数”，所以， 化简得，则 解得 故， 故选：B． 8. 已知定义在R上的函数满足，，且，设函数，则（ ） A. 只有1个零点，且该零点在内 B. 有2个零点，且2个零点分别在和内 C. 只有1个零点，且该零点在内 D. 有2个零点，且2个零点分别在和内 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求得，进而由解析式判断的单调性，应用零点存在性定理判断零点所在区间，即可得答案. 【详解】令，得，又， 所以，解得，所以， 令，得，所以，即． 函数在R上单调递增，且. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（ ） A. B. 估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人 C. 第二次联考学生的成绩波动更小 D. 与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加 【答案】BCD 【解析】 【分析】由频率和为1列方程求参数判断A；再根据两次联考对应的直方图分析B、C、D的正误. 【详解】因为，所以，A错误． 因为第一次联考成绩在130分以上的学生人数大约占， 第二次联考成绩在130分以上的学生人数大约占， 所以增加，则增加的学生人数为10，B正确． 第一次联考成绩集中于70～110分的学生人数占比为， 第二次联考成绩集中于90～130分的学生人数占比为， 第二次联考成绩数据更集中，所以方差更小，C正确． 第一次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为， 第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为，D正确． 故选：BCD 10. 已知点和圆C：，过A作圆C的两条切线，，切点分别为M，N，再取一条与圆C相切的切线(与，不重合)，则（ ） A. B. C. ，与围成三角形的面积的最大值为 D. ，与围成三角形的周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】化成标准方程后，利用勾股定理进行求解A；利用余弦定理及二倍角公式即可求解B；根据没有最大值，即可判断围成三角形的面积没有最大值即可判断C；当第三条切线与圆相切的切点落在另两个切点M，N与圆C构成的劣弧上时，三角形的周长最小即可求解D． 【详解】A．依题意得圆C：，所以，A正确． B．因为，所以，B正确． C.要使，与围成三角形的面积最大，则圆C：是这个三角形的内切圆， 设这个三角形的三条边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积，此时没有最大值，从而S也没有最大值，C错误， D．当第三条切线与圆相切的切点落在另两个切点M，N与圆C构成的劣弧上时， 三角形的周长最小，且等于两条切线长的和，D正确． 故选：ABD． 11. 已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 只有最大值，没有最小值 B. 只有最小值，没有最大值 C. 有两个零点 D. 只有一个极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】整理等式并构造函数，根据导数为零设出函数，结合函数值可得函数的解析式，利用导数与函数的最值与极值，可得答案. 【详解】可化为． 设，则，所以(k为常数)， 则，解得， 所以，则，． 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，没有最小值，故A，D正确，B错误； 令，得，方程有唯一的实数根，故C错误． 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，且，则，夹角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知及向量数量积的运算律得，即可求向量夹角余弦值. 【详解】因为，所以，解得． 故答案为： 13. 法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：(，1，2，3，…)是质数．后来数学家欧拉证明了这个猜想不成立．现设()，为数列的前n项和，则的最小值是________． 【答案】32 【解析】 【分析】易得，从而得到，利用基本不等式求解. 【详解】由题意知，则是等比数列， 所以， 则， 当且仅当时，等号成立． 故答案为：32 14. 《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为________尺． 【答案】 【解析】 【分析】设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆，易知Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大，再根据已知求线段AM的长度. 【详解】如图，设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆， 当Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大， 由题意得，，， 因为圆所在平面，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，，求的图象在点处的切线方程； （2）若，且在处取得极值，求的单调区间以及的最小值． 【答案】（1）； （2） 单调递增区间为，，单调递减区间为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，结合极值点有得，进而求的单调区间及最小值. 【小问1详解】 因为，，所以，， 所以，，故所求切线的方程为，即． 【小问2详解】 若，则，． 因为在处取得极值，所以，解得， 所以，． 由，得或；由，得． 的单调递增区间为，，单调递减区间为，又时， 所以时，函数取得最小值． 16. 如图，在长方体中，底面ABCD是正方形，点E在线段上，且，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 因为，所以，因为，所以， 所以，即，又面，面， 所以，而且都在面内，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，再由线面垂直的性质有，根据线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求二面角的余弦值，进而求其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 由，，知，，，，， 则，． 设是平面的法向量，由，取，得． 由（1）知，，且都在面ABE内，所以平面ABE， 所以取为平面ABE的一个法向量． 设二面角的大小为θ，则，从而． 17. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． （1）小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； （2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） X 1 2 3 4 5 P ． 【解析】 【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列，根据期望的计算公式，可得答案． 【小问1详解】 解：设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则． 【小问2详解】 X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 故． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求cosA； （2）若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简等式，根据三角函数的二倍角公式，可得答案； （2）根据图形组合建立面积的等式，利用余弦定理，建立方程组，可得答案. 【小问1详解】 由，得，所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知．由题意知，， 即，化简得． 在中，，，根据余弦定理有， 则， 解得，从而， 所以的周长为． 19. 已知P是抛物线C：()上任意一点，且点P到C的焦点F的最短距离为． （1）求抛物线C的方程； （2）设M是直线上除与x轴交点外的一动点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且直线AM与直线BM的斜率之和等于点M纵坐标的相反数，证明：直线l过定点． 【答案】（1）； （2） 设()，，， 因为直线l的斜率显然不为0，所以设直线l的方程为， 联立，消去x得，， 所以，， 恒成立，解得， 符合，故直线l过定点. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义有，结合其最小值得，即可得抛物线方程； （2）设()，，，直线l的方程为，联立抛物线并应用韦达定理得，，结合求得，即可证结论. 【小问1详解】 设，易知，准线方程为，所以． 当时，取得最小值， 由，解得，则抛物线C为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展．已知蓄电池的容量C(单位：)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 35h B. 30h C. 25h D. 20h 4. 若函数()图象的一个对称中心为点，则ω的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 在正四棱锥中，已知，，则该正四棱锥的体积为（ ） A. 96 B. 80 C. 64 D. 32 6. 已知椭圆C：()的上、下顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点P在C上，且C的离心率为，的周长为10，则四边形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 7. 对于函数，若存在两个常数a，b，使得，则称是“平方差关联函数”．已知函数是“平方差关联函数”，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知定义在R上的函数满足，，且，设函数，则（ ） A. 只有1个零点，且该零点在内 B. 有2个零点，且2个零点分别在和内 C. 只有1个零点，且该零点在内 D. 有2个零点，且2个零点分别在和内 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（ ） A. B. 估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人 C. 第二次联考学生的成绩波动更小 D. 与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加 10. 已知点和圆C：，过A作圆C的两条切线，，切点分别为M，N，再取一条与圆C相切的切线(与，不重合)，则（ ） A. B. C. ，与围成三角形的面积的最大值为 D. ，与围成三角形的周长的最小值为 11. 已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 只有最大值，没有最小值 B. 只有最小值，没有最大值 C. 有两个零点 D. 只有一个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，且，则，夹角的余弦值为________． 13. 法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：(，1，2，3，…)是质数．后来数学家欧拉证明了这个猜想不成立．现设()，为数列的前n项和，则的最小值是________． 14. 《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为________尺． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，，求的图象在点处的切线方程； （2）若，且在处取得极值，求的单调区间以及的最小值． 16. 如图，在长方体中，底面ABCD是正方形，点E在线段上，且，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的正弦值． 17. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． （1）小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； （2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求cosA； （2）若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长． 19. 已知P是抛物线C：()上任意一点，且点P到C的焦点F的最短距离为． （1）求抛物线C的方程； （2）设M是直线上除与x轴交点外的一动点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且直线AM与直线BM的斜率之和等于点M纵坐标的相反数，证明：直线l过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $