中考重难点精讲专练03 几何最值模型（将军饮马系列、瓜豆原理系列等7大模型+中档压轴真题演练）-备战2025届中考数学中档压轴题解题模型讲解

中考重难点精讲专练03 几何最值模型 模型1 “将军饮马”模型 2 【常见类型及图示】 2 1、“两点一线”模型（5种情况） 2 2、“定点两线”模型（4种情况） 3 3、其他模型（三点三线） 5 【真题演练】 5 【巩固练习】 18 模型2 “将军遛马”与“将军过桥”模型 27 【常见类型及图示】 27 1、“将军遛马”模型 27 2、“将军过桥”模型（单桥/双桥） 28 【真题演练】 29 【巩固练习】 33 模型3 费马点模型 37 【常见类型及图示】 37 1、问题引入 37 2、如何作出费马点 37 3、模型证明 38 【真题演练】 40 【巩固练习】 48 模型4 胡不归模型 54 【常见类型及图示】 54 1、模型建立 54 2、问题分析 55 3、问题解决 55 4、模型总结 56 【真题演练】 56 【巩固练习】 64 模型5 阿氏圆模型 73 【常见类型及图示】 73 1、模型建立 73 2、轨迹证明 73 3、最值问题解读 74 4、区分胡不归模型和阿氏圆模型 75 【真题演练】 75 【巩固练习】 78 模型6 瓜豆原理1（直线轨迹型） 84 【常见类型及图示】 84 【真题演练】 85 【巩固练习】 93 模型7 瓜豆原理2（圆弧轨迹型） 105 【常见类型及图示】 105 【真题演练】 107 【巩固练习】 115 2025年中考数学重难点【精讲专练】 中考数学最值模型 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 模型1 “将军饮马”模型 【模型解读】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？ 这个问题被称为“将军饮马”。“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在各类考试中大多以中高档、压轴题的形式出现。 【常见类型及图示】 1、“两点一线”模型（5种情况） 1）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 做法：连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+ PB的最小。 2）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小值为AB′。 3）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。 做法：连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB。 4）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使最大。 做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB′。 5）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。 做法：连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。的最小值为0。 2、“定点两线”模型（4种情况） 1）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。 做法：分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。△PCD周长最小为P′P"。 2）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 做法：作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为P′C。 3）点P在∠AOB的外部，在OA上找到点C，使PC与C点到直线OB的距离之和最小。 做法：过点P作线段OB的垂线，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为线段PD的长。 4）点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。 做法：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。 3、其他模型（三点三线） （三点三线求三角形周长最小值）点D、E、F分别为AB、AC、BC边上的动点，求△DEF周长的最小值。 做法：先将点D视为定点，利用“一点两线”模型作辅助线；当CD最小时，即CD⊥AB时的交点为D。△DEF周长的最小值为线段𝐷′𝐷′′的长度。 【真题演练】 （2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点M，N分别是的中点， ，，，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，    则， 当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ， 的最小值， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想． （2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值． 【详解】如图：连接BE， ， ∵菱形ABCD， ∴B、D关于直线AC对称， ∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小 ∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．， ∵菱形ABCD，，点， ∴，， ∴ ∴△CDB是等边三角形 ∴ ∵点是的中点， ∴,且BE⊥CD， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长． （2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可． 【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°， ∴∠NON′=60°，， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°， ∴在Rt△M′ON′中， M′N′=． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． （2023·安徽·统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． （2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据四边形为平行四边形的性质和证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证； （2）先根据菱形对称性得，得到，进一步说明的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 又∵点在的延长线上， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． （2）解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上， ∴， 当、、共线时， ， 过点作，垂足为， ∵， ∴的最小值即为平行线间的距离的长， ∵是边长为2的等边三角形， ∴在中，，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键． （2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，， ∴， 即：的最小值为：； （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【巩固练习】 1、如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（      ） A．10 B．10 C．5 D．5 【答案】A 【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明，，则，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，则四边形是矩形，，，则，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求最小的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， 在和中 ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴四边形的周长， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出四边形周长最小时点、的位置关系． 2、如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过点P作于点P， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， ∵，点O是的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：；． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，， ∴， ∵AC=BC， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：6 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 4、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可． 【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=3，∠BAO=30°， ∴OB==， ∴OA=， ∴点O关于AB的对称点F， ∴OF⊥AB，OG=FG， ∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°， ∵CE⊥AH于E，OA=OC， ∴OE=OC=OA=， ∴∠AEC=∠CAE， ∵AH平分∠BAC， ∴∠CAE=15°， ∴∠AEO=∠CAE=15°， ∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°， ∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°， ∴∠FOE=90°， ∴由勾股定理，得EF=, ∴PO+PE最小值=． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF的长是解题的关键． 5、如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点的位置．作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，连接，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 模型2 “将军遛马”与“将军过桥”模型 【模型解读】“将军遛马”模型和“将军过桥”模型是“将军饮马”的姊妹篇，它是在“将军饮马”的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本章就“将军遛马”模型和“将军过桥”模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【常见类型及图示】 1、“将军遛马”模型 【问题描述】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？ 【模型转化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？ 做法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．构造点A关于MN的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M位置，可得路线． 2、“将军过桥”模型（单桥/双桥） 【单桥模型】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 【双桥模型】已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置． 【真题演练】 （2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解，对④做出判断． 【详解】解：由平移的性质可得AB// 且AB= ∵四边形ABCD为矩形 ∴AB//CD，AB=CD=15 ∴//CD且=CD ∴四边形CD为平行四边形， 当点B'与D重合时，四边形不存在， 故①错误 在矩形ABCD中，BD===25 过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN ∴S△ABD=AB·CD= BD·AM ∴AM=CN==12 ∴点C到的距离为24 ∴点C到它关于直线的对称点的距离为48 ∴故②正确 ∵ ∴当在一条直线时最大， 此时与D重合 ∴的最大值==15 ∴故③正确， 如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 则 为的中位线， ， 由可得， 此时最小， 由②同理可得： 设 则 由勾股定理可得： 整理得： 解得：（负根舍去）， ∴故④正确 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键． （2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD=BC=2 ∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=CF， ∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点， ∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键． 【巩固练习】 【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小． 已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．    【答案】（1）10；（2）；（3）能实现，最小值为． 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，作G关于的对称点，在上截取，连接，，，则，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的三边关系得到，根据勾股定理即可得到结论； （3）作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H，则，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，过作于E，则，，    ∴， ∴ 即的最小值是10； （2）如图，作G关于的对称点，在上截取， 连接，，，则，   ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，，G为的中点， ，， 由勾股定理得， ，即的最小值为：； （3）管理人员的想法能实现， 作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H， ，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，   ，，，， ，， ，， ，， ， ，， ，，， ， ， ， ， . 在中，， 的最小值为. 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 模型3 费马点模型 【模型解读】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年。 费马点问题：是指在一个三角形中，找到一点，使其到三角形三个顶点的距离之和最小的问题。解决方法是通过旋转、对称等方法，将问题转化为“在直线上找一点，使其到两个定点的距离之和最小”的模型，进而求出最小值。 【常见类型及图示】 1、问题引入 问题：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小. 解答：若点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点. 2、如何作出费马点 第一步：分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE， 第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC≌△ABE， 第三步：此时CD、BE的交点即为点P（费马点）， 第四步：以BC为边，作等边△BCF，连接AF，AF必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º. 注：上述结论成立有个前提条件，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，对应的图如下所示： 此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于120º. 3、模型证明 证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的. 如下图所示，在△AEB与△ACD中， ∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60º， ∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC， 在△BPM与△DAM中， ∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60º，∴∠BPC＝120º； 在PD上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示： 由题意可得△BPG为等边三角形，则PB＝BG， 易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120º， ∴∠APC＝120º，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD. 接下来只需证明CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！ 如下图所示，在△ABC中任取一个异于点P的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ绕着点A顺时针方向旋转60º得到，则△ABQ与重合，且在线段DQ上或DQ外，易证是等边三角形. 由题意可得 ，即CD为最短的线段. 【真题演练】 （2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________． 【答案】 5 【分析】①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可 ②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可 【详解】①如图,过作，垂足为, 过分别作, 则, P为的费马点 5 ②如图： . 将绕点逆时针旋转60 由旋转可得： 是等边三角形， P为的费马点 即四点共线时候， = 故答案为：①5，② 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转也可，但必须绕顶点旋转． （2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置，使点A到达点E的位置，连接AD，AE，AF，EF． （1）求证：△BDA≌△BFE； （2）①CD+DF+FE的最小值为 　 　； ②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD//BF． （3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，连接MP，NP，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数，请说明理由． 【答案】（1）见解答； （2）①；②见解答； （3）是，∠MPN=30°． 【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可； （2）①由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可； ②先由△BDF为等边三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即证； （3）由中位线定理知道MN∥AD且PN∥EF，再设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°． 【详解】解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°， ∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF， ∴∠ABD=∠EBF， 在△BDA与△BFE中， ， ∴△BDA≌△BFE（SAS）； （2）①∵两点之间，线段最短， 即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小， ∴CD+DF+FE最小值为CE， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1， ∴BE=AB=2，BC=， ∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°， ∴CE=， 故答案为：； ②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°， ∴△BDF为等边三角形， 即∠BFD=60°， ∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小， ∴∠BFE=120°， ∵△BDA≌△BFE， ∴∠BDA=120°， ∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°， ∴∠ADF=∠BFD， ∴AD∥BF； （3）∠MPN的大小是为定值，理由如下： 如图，连接MN， ∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点， ∴MN∥AD且PN∥EF， ∵AB=BE且∠ABE=60°， ∴△ABE为等边三角形， 设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β， 则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α， ∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β， ∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°， ∵△BDA≌△BFE， ∴MN=AD=FE=PN， ∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°． 【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键 ． （2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A． (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 【巩固练习】 背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 【答案】(1)150°； (2)见详解； (3)； (4)． 【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可； （2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可； （3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可； （4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可． 【详解】（1）解：连结PP′， ∵≌， ∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60° ∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°， ∴△APP′为等边三角形， ,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°， 在△P′PC中，PC=5， ， ∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°， ∴∠APB=∠AP′C=150°， 故答案为150°； （2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′， ∵△APB≌△AB′P′， ∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP， ∵， ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∴点P在CB′上， ∴过的费马点． （3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′， ∴△APB≌△AP′B′， ∴AP′=AP，AB′=AB， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°， ∵ ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∵，，， ∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC= ∴BB′=AB=2， ∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°， ∴在Rt△CBB′中，B′C= ∴最小=CB′=； （4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F， ∴△BCE≌△CE′B′， ∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′， ∵∠ECE′=∠BCB′=60°， ∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形， ∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°， ∵， ∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=2，∠ABC=90°， ∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥AF， ∴BF=，BF=， ∴AF=AB+BF=2+， ∴AB′=， ∴最小=AB′=． 【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键． 模型4 胡不归模型 【模型解读】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘若有可能，他应该选择怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”。 法国著名数学家费马(Fermat，1601-1665)，他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙地解决“胡不归”问题.费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、相辅相成的，我们应该多多涉猎各方面知识，这样才能最大限度提升自我，走向成功。 【常见类型及图示】 1、模型建立 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分） 2、问题分析 ，记，即求BC+kAC的最小值. 3、问题解决 构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 4、模型总结 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【真题演练】 （2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    【答案】 【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，， ∴有最小值， 作轴于点P，      则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，，解得， 即； 过点D作轴于点G，    直线与x轴的交点为，则， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ． (1)求BD的长； (2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF， ①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积； ②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12 【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解； （2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解． 【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB， ∵∠BAD = 120°， ∴∠CAB=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BO=AB▪sin60°==， ∴BD=2BO=； （2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=6， 由（1）得：BD=； 菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6， ∴MN⊥BC， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°， ∴∠EBN=30°； ∴EN=BE ∵， ∴MN=， 设BE=，则EN=， ∴EM=MN-EN=， ∵S菱形ABCD= AD▪MN=， ∴S△ABD= S菱形ABCD=， ∵BE=DF， ∴DF=， ∴S△DEF=DF ▪EM= =， 记四边形ABEF的面积为s， ∴s= S△ABD - S△DEF =-（）， ∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即； ①当CE⊥AB时， ∵OB⊥AC， ∴点E是△ABC重心， ∴BE=CE=BO=， 此时 =， ∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为； ②作CH⊥AD于H，如图， ∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上， ∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值； 在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD， ∵∠BAD=120°， ∴∠ADC=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AH=DH=3， ∴CH=， ∵， ∴当，即BE=时， s达到最小值， ∵BE=DF， ∴DF=3， 此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置， ∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值， ∴CE+CF的值达到最小， 其最小值为CO+CH==12． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键． （2020·四川乐山·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解； （2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值； ②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点， 线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可． 【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：， ∵是抛物线的对称轴， ∴， 又∵， ∴， 即， 代入抛物线的解析式，得，解得 ， ∴二次函数的解析式为 或； （2）①设直线的解析式为 ， ∴     解得   即直线的解析式为 ， 设E坐标为，则F点坐标为， ∴， ∴的面积 ∴， ∴当时，的面积最大，且最大值为； ②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，， ∴， 过点作于，则在中， ， ∴， 再过点作于点，则， ∴线段的长就是的最小值， ∵， 又∵， ∴，即， ∴的最小值为． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离． 【巩固练习】 1、如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作，连接，过B点作的延长线与G点．根据相似三角形的性质可得，因此，根据两点之间线段最短可知当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为BF．再证四边形是矩形，由矩形的性质可知，，在 中根据勾股定理可求出的长，即可知的最小值． 【详解】 如图，作，连接，过B点作的延长线与G点， ，且， ， ， ． ， ∴当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为． ， ． 又，， ∴四边形是矩形， ，， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键． 2、已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为 (用含的代数式表示)．    【答案】 【分析】过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，利用证明，可得，进而可得，则由含度角的直角三角形的性质得到，，故当、、三点共线时，为最小值，当、、三点共线时，，即，可得，再运用解直角三角形即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 当、、三点共线时，为最小值， 当、、三点共线时，， ， ， 与重合， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 的垂直平分线交于， ， ， ， 在中，， 即的最小值 故答案为：． 【点睛】本题字要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角用的推质，勾服定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 3、如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，点C为中点，反比例函数刚好经过点C．将直线绕点A沿顺时针方向旋转得直线，直线与x轴交于点D． (1)求反比例函数解析式； (2)如图2，点Q为射线以上一动点，当取最小值时，求的面积； (3)将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．    【答案】(1)反比例函数解析式为 (2)的面积为 (3)N点坐标为，或，过程见解析 【分析】（1）过点A作于点E，过点C作于点F，根据平行线分线段定理可得，从而求得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）由锐角三角函数求得，再由三角形内角和求得，从而求得，根据等腰三角形的性质可得，从而求得，作直线，可得，过点Q作于点H，则，可得当D，Q，H三点共线时，取最小值，此时Q与A重合，再利用求解即可； （3）由平移的性质可知，设，，分类讨论：当为对角线、为对角线或为对角线时，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：过点A作于点E，过点C作于点F， ∵， ∴，点C为中点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为；    （2）解：∵，， ∴， ∵将直线顺时针旋转得到直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作直线， ∴， 过点Q作于点H， ∴， ∴当D，Q，H三点共线时，取最小值， 此时Q与A重合， ∴， ∴的面积为；    （3）解：N点坐标为，或，理由如下： 由题可知，， 设，， 当为对角线时，， 解得：， ∴，    当为对角线时，如图， ∵， 解得， ∴，    当为对角线时，如图， ， 解得， ∴，    综上，N点坐标为，或． 【点睛】本题考查平行线分线段定理、用待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、旋转的性质及平移的性质、中点坐标公式，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 模型5 阿氏圆模型 【模型解读】在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。本专题我们一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹和阿氏圆相关的最值问题。 【常见类型及图示】 1、模型建立 如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆． 2、轨迹证明 首先了解角平分线定理和外角平分线定理： 1）角平分线定理 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．证明：，，即 2）外角平分线定理 如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则． 证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即． 如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点； 作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点； 又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆． 3、最值问题解读 如图1所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小（如图3）。 4、区分胡不归模型和阿氏圆模型 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【真题演练】 （2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．    【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为 (2)存在，点M的坐标为或 或 (3) 【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标； （3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴， 将代入直线，得， 解得， ∴直线的解析式为； 将代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在点， ∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点． ∴当时，， ∴， ①当时， 设直线的解析式为，将点A坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点M的坐标为； ②当时， 设直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点M的坐标为 或 综上，点M的坐标为或 或； （3）如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵，、 ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为．    【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 【巩固练习】 1、如图1，在矩形中，，分别以所在的直线为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接,反比例函数的图象经过线段的中点，并与矩形的两边交于点和点，直线经过点和点. （1）连接、，求的面积；（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转—定角度，使得点的对应点好落在轴的正半轴上，连接，作，点为线段上的一个动点，求的最小值. 　　　    【答案】（1）；（2）4. 【分析】(1)连接、，过点D作DP⊥OC，易得：B(3，4)，从而得D(1.5，2)，进而得，即：，E(，4)，F(3，1)，根据割补法，即可求出答案； (2)过点N作NQ⊥OB于点Q，HG⊥OB于点G，易得OH=OB=5，BH=，HG=BC=4，易证∆OQN~∆OMB，得NQ=，得到，进而得到答案. 【详解】（1）连接、，过点D作DP⊥OC，如图1， ∵在矩形中，， ∴B(3，4)， ∵点D是OB的中点， ∴DP=BC=OA=2，OP=OC=1.5，即：D(1.5，2)， ∵反比例函数的图象经过线段的中点， ∴k=xy=1.5×2=3，即：， ∴，E(，4)，F(3，1)， ∴BE=3-=，BF=4-1=3， ∴， ∴=； （2）过点N作NQ⊥OB于点Q，HG⊥OB于点G，如图2， ∵线段绕点顺时针旋转—定角度，点的对应点好落在轴的正半轴上， ∴OH=OB=， ∴CH= OH-OC=5-3=2， ∴BH=， ∵， ∴HG=BC=4， ∵， ∴BM=BH=， ∵∠NOQ=∠BOM，∠OQN=∠OMB=90°， ∴∆OQN~∆OMB， ∴，即：， ∴NQ=， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是：4.   　　   【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质定理的综合，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键. 2、【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？ 第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB． (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在x轴上取点，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出当点P在上时，取得最小值，再由勾股定理求解即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，设，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴， 故最小值为； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴， 设， ∵半径为3， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 模型6 瓜豆原理1（直线轨迹型） 【模型解读】“种瓜得瓜，种豆得豆”，这句古语在数学中找到了共鸣。数学中的“瓜豆”主要指的是初中数学中常考的动点轨迹问题。这类问题基本上可以分为两大类：一类是动点在直线（或线段、射线）上的运动，另一类是动点在圆弧上的运动。在解题过程中，如果遇到两个或以上的动点，且其中一个动点在直线（或线段、射线）上移动，那么另一个动点所求的轨迹也往往是直线（或线段、射线）；同样，若一个动点在圆弧上移动，那么另一个动点也将在圆弧上移动，并且两者所经过的弧度保持一致。这类问题仿佛是在遵循一种自然的规律，就如同在播种与收获的过程中，我们在一条轨道上播下“瓜”的种子，便会在另一条轨道上收获“豆”的果实。因此，我们将这类问题统称为“瓜豆原理”。本章我们将讨论“瓜豆原理”中的直线轨迹型类问题。 【常见类型及图示】 1、如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 做法：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 2、如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 做法：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 3、确定动点轨迹的方法 当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线； 当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； 当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； 观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。 【真题演练】 （2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解． 【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵∠CDQ是公共角， ∴∠PDC=∠QDE， ∴△PCD≌△QED（SAS）， ∵，，点D是边的中点， ∴∠PCD=∠QED=90°，， ∴点Q是在QE所在直线上运动， ∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键． （2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）    A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解． 【详解】∵CG∥AB， ∴∠B＝∠MCG， ∵M是BC的中点， ∴BM＝CM， 在△BMH和△CMG中， ， ∴△BMH≌△CMG（ASA）， ∴HM＝GM，BH＝CG， ∵AB＝6，AC＝8， ∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH， ∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值， ∵∠A＝90°，MH⊥AB， ∴GH∥AC， ∴四边形ACGH为矩形， ∴GH＝8， ∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键． （2022·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________． 【答案】/2.4 【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线， ∵, ∴, ∴， ∴， ∴， ∴则PQ的最小值为， 故答案为：． 【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题． （2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵于点D，于点E，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小， 此时，， 代入数据：， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键． （2021·辽宁锦州·中考真题）在中，，，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转得到DE，连接CE，BE． （1）如图1，当时，求证：≌； （2）如图2，当时， 探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由； 若，H是BC上一点，在点D移动过程中，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①＝，理由见解析；②存在， 【分析】（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可． （2）①结论：＝．利用相似三角形的性质解决问题即可． ②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出CJ＝，推出点E的运动轨迹是射线BE，利用面积法求出RT，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵＝60°，AC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴CA＝CB，∠ACB＝60°， ∵将DC绕点D顺时针旋转得到DE， ∴DC＝DE，∠CDE＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△CAD≌△CBE（SAS）． （2）解：①结论：＝． 如图2中，过点C作CK⊥AB于K． ∵tan∠CAK＝＝， ∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC=AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k， ∴BC＝＝k， ∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC， ∴△ACB∽△DCE， ∴＝， ∴＝， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， ∴＝＝＝． ②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T． ∵AC＝5， 由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝， ∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE， ∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∴CJ＝， ∴点E的运动轨迹是射线BE， ∵C，R关于BE对称， ∴CR＝2CJ＝， ∵BJ＝＝＝， ∵S△CBR＝•CR•BJ＝•CB•RT， ∴RT＝＝， ∵EC＋EH＝ER＋EH≥RT， ∴EC＋EH≥， ∴EC＋EH的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定点E的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题． 【巩固练习】 1、如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（    ）．    A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．首先证明，推出点G的在射线上运动，推出当时，的值最小，证明四边形是矩形，进一步推出，则，即可得到的最小值为． 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．    ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 2、如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（    ）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三线合一定理，勾股定理，过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，即此时最小， ∵当时，， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 3、如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为____________． 【答案】 【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，由Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长． 【详解】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，连接CF， ∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形， ∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45° ∴∠ACD＝∠E1CE ∵， ∴△ACD∽△E1CE， ∴∠CAD＝∠CE1E＝30°， ∵D为AB上的动点， ∴E在直线E1E上运动， 当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长． 在△AGC与△E1GF中， ∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F， ∴∠GFE1＝∠ACG＝45° ∴∠BFE2＝45°， ∵∠CAD＝∠CE1E＝30°， ∴点A，点C，点F，点E1四点共圆， ∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2， ∴BF＝1， ∵BF＝BE2， ∴BE2＝， 故答案为：． 【点睛】本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30°角和45°角的直角三角形的性质是解题的关键． 4、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是___________． 【答案】4+2 【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题． 【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝120°， ∴∠CAD＝60°， ∴△ACD为等边三角形， 又∵DE＝DG， ∴△DEG也为等边三角形． ∴DE＝GE， ∵∠DEG＝60°＝∠FEF'， ∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG， 即∠DEF＝∠GEF'， 由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'， 所以EF＝EF'． 在△DEF和△GEF'中， ， ∴△DEF≌△GEF'（SAS）． ∴∠EGF'＝∠EDF＝60°， ∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°， 则点F'的运动轨迹为射线GF'． 观察图形，可得A，E关于GF'对称， ∴AF'＝EF'， ∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE， 在Rt△BCH中， ∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°， ∴， 在Rt△BEH中，BE＝＝＝2， ∴BF'+EF'≥2， ∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2， 故答案为：4+2． 【点睛】本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 5、预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？ 一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为， 将点代入得：，整理得 ∵t为任意实数，等式恒成立，∴， ∴， ∴这条直线的函数表达式为 请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式． 问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点C的坐标为_________． 结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，Q是直线上的一个动点，连接，过点P作，且，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)直线l的函数表达式为; (2)点C（-7，3）； (3)OQ′最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法将点P代入解析式，利用恒等性质得出，，求出直线解析式即可； （2）设C点坐标为（m，n）过C作CE垂直x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，证明△CAE≌△ABF（AAS）得出CE=AF，EA=FB，根据点B（5，9）点A（2，0）求出点F（5，0）即可； （3）过Q作QG⊥x轴于G，过Q′作Q′H⊥x轴于H，先证△QPG≌△PQ′H（AAS），设Q（a，）分三种情况，当a≤1时，点Q′（，1 - a）OQ′=，当1≤a≤4，点Q′（，1-a），OQ′=，当a≥4时，点Q′（，1-a）OQ′=，求出每种情况的最小值，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得， ∵t为任意实数，等式恒成立， ∴，， ∴，， ∴这条直线的函数表达式为， ∴随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l， 直线l的函数表达式为． （2）解:设C点坐标为（m，n）过C作CE垂直x轴于E，过B作BF⊥x轴于F， ∴∠ECA+∠CAE=90°， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠CAE+∠FAB=90°， ∴∠ECA=∠FAB， 在△CAE和△ABF中， ， ∴△CAE≌△ABF（AAS）， ∴CE=AF，EA=FB， ∵点B（5，9）点A（2，0）， ∴点F（5，0） ∴n=5-2=3;2-m=9, ∴m=-7, ∴点C（-7，3）； （3）解：过Q作QG⊥x轴于G，过Q′作Q′H⊥x轴于H， ∵∠QPQ′=90°，∠QGP=∠Q′HP=90°， ∴∠QPG+∠Q′PH=90°，∠Q′PH+∠HQ′P=90°， ∴∠QPG=∠HQ′P， 在△QPG和△PQ′H中， ， ∴△QPG≌△PQ′H（AAS）， ∴PG=Q′H，QG=PH， ∵Q是直线上的一个动点， 设Q（a，）， 当a≤1时， ∴QG=PH=，PG= QH=1 - a， ∴点Q′（，1 - a）， ∵OQ′=， ∵时，OQ′随a的增大而减小， 当a=1时最小OQ′=， 当1≤a≤4， ∴QG=PH=，PG= QH= a-1， ∴点Q′（，1-a）， ∵OQ′=， ∵，a=2时，OQ′最小=， 当a≥4时， ∴QG=PH=，PG= QH= a-1， ∴点Q′（，1-a）， ∵OQ′=， ∵，a＞2时，OQ′随a的增大而增大， a=4时，OQ′最小=， ∵＞3＞， ∴OQ′最小值为． 【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最值，分类思想的运用，掌握待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最值，分类思想的运用是解题关键． 模型7 瓜豆原理2（圆弧轨迹型） 【模型介绍】“种瓜得瓜，种豆得豆”，这句古语在数学中找到了共鸣。数学中的“瓜豆”主要指的是初中数学中常考的动点轨迹问题。这类问题基本上可以分为两大类：一类是动点在直线（或线段、射线）上的运动，另一类是动点在圆弧上的运动。在解题过程中，如果遇到两个或以上的动点，且其中一个动点在直线（或线段、射线）上移动，那么另一个动点所求的轨迹也往往是直线（或线段、射线）；同样，若一个动点在圆弧上移动，那么另一个动点也将在圆弧上移动，并且两者所经过的弧度保持一致。这类问题仿佛是在遵循一种自然的规律，就如同在播种与收获的过程中，我们在一条轨道上播下“瓜”的种子，便会在另一条轨道上收获“豆”的果实。因此，我们将这类问题统称为“瓜豆原理”。本章我们将讨论“瓜豆原理”中的圆弧轨迹型类问题。 【常见类型及图示】 1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2． 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 2、如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 3、定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆， 则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 4、定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 【真题演练】 （2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为3， 故选A．    【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． （2021·四川成都·中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； （3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为1 【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知，最后由等腰三角形的性质即可求出的长． （2）作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，．由三角形面积公式可求出．再利用勾股定理即可求出，进而求出．最后利用平行线分线段成比例即可求出的长． （3）作且交延长线于点P，连接．由题意易证明， ，，即得出．再由平行线性质可知，即得出，即可证明，由此即易证，得出，即点D为中点．从而证明DE为的中位线，即．即要使DE最小，最小即可．根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小，且最小值即为，由此即可求出DE的最小值． 【详解】（1）在中，． 根据旋转性质可知，即为等腰三角形． ∵，即， ∴， ∴． （2）如图，作交于点D，作交于点E． 由旋转可得，． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵，即， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∵， ∴，即， ∴． （3）如图，作且交延长线于点P，连接． ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴在和中 ， ∴， ∴，即点D为中点． ∵点E为AC中点， ∴DE为的中位线， ∴， 即要使DE最小，最小即可． 根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小值为． ∴此时，即DE最小值为1． 【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键． （2021·江苏连云港·中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动. （1） 是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且 ，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长； （2） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； （3） 是边长为3的等边三角形，M是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形 的边长为3，E是边 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形 ，其中点F、G都在直线 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合.则点H所经过的路径长为________，点G所经过的路径长为________. 【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）； 【分析】（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可； （2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长； （3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长． 【详解】解:（1）∵、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点在处时，，点在A处时，点与重合． ∴点运动的路径的长； （3）取中点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在处时，，点在处时，点与重合， ∴点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB， ∵∠CGA=90°， ∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动， ∵四边形ABCD为正方形，BC为边长， ∴∠COB=90°，设OC=x， 由勾股定理即， ∴， 点G所经过的路径长为长=， 点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动， 点H所经过的路径长为的长度， ∵点G运动圆周的四分之一， ∴点H也运动圆周的四分一， 点H所经过的路径长为的长=， 故答案为；． 【点睛 本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键． 【巩固练习】 1、如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 2、如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形外部找一点E，使得，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】以的中点O为圆心，为半径画圆，可得所画圆是的外接圆，弦右侧圆弧上任意一点E与构成的，使得四边形是圆内接四边形，，可得，连接并延长与圆的交点即为的最长距离，作于点H，是的中位线，，根据勾股定理求出和的值，进而可得的最大值． 【详解】解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆， 在矩形中，，，， ∵， ∴所画圆是的外接圆， 弦右侧圆弧上任意一点E与构成的，使得四边形是圆内接四边形， ∴， 连接并延长与圆的交点即为的最长距离， 作于点H， ∴H是的中点， 是的中位线， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点E． 3、已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上任意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，． (1)求证：； (2)当与半圆A相切时，求弧的长；(3)直接写出面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【分析】（1）根据旋转性质，结合已知，证明，得到，证明即可． （2）根据切线的性质，三角函数，求得，代入弧长公式计算即可． （3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，当时，的高取得最大值，此时也取得最大值． 【详解】（1）∵是等腰直角三角形，， ∴． 由旋转可得， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵与半圆A相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动， 过点D作于点Q， ∴， 当时，的高取得最大值， 此时也取得最大值． ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值，熟练掌握特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值是解题的关键． $$中考重难点精讲专练03 几何最值模型 模型1 “将军饮马”模型 2 【常见类型及图示】 2 1、“两点一线”模型（5种情况） 2 2、“定点两线”模型（4种情况） 3 3、其他模型（三点三线） 5 【真题演练】 5 【巩固练习】 8 模型2 “将军遛马”与“将军过桥”模型 10 【常见类型及图示】 10 1、“将军遛马”模型 10 2、“将军过桥”模型（单桥/双桥） 11 【真题演练】 12 【巩固练习】 13 模型3 费马点模型 15 【常见类型及图示】 15 1、问题引入 15 2、如何作出费马点 15 3、模型证明 16 【真题演练】 18 【巩固练习】 20 模型4 胡不归模型 22 【常见类型及图示】 22 1、模型建立 22 2、问题分析 23 3、问题解决 23 4、模型总结 24 【真题演练】 24 【巩固练习】 25 模型5 阿氏圆模型 27 【常见类型及图示】 27 1、模型建立 27 2、轨迹证明 27 3、最值问题解读 28 4、区分胡不归模型和阿氏圆模型 29 【真题演练】 29 【巩固练习】 30 模型6 瓜豆原理1（直线轨迹型） 32 【常见类型及图示】 32 【真题演练】 33 【巩固练习】 35 模型7 瓜豆原理2（圆弧轨迹型） 38 【常见类型及图示】 38 【真题演练】 40 【巩固练习】 42 2025年中考数学重难点【精讲专练】 中考数学最值模型 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 模型1 “将军饮马”模型 【模型解读】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？ 这个问题被称为“将军饮马”。“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在各类考试中大多以中高档、压轴题的形式出现。 【常见类型及图示】 1、“两点一线”模型（5种情况） 1）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 做法：连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+ PB的最小。 2）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小值为AB′。 3）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。 做法：连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB。 4）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使最大。 做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB′。 5）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。 做法：连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。的最小值为0。 2、“定点两线”模型（4种情况） 1）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。 做法：分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。△PCD周长最小为P′P"。 2）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 做法：作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为P′C。 3）点P在∠AOB的外部，在OA上找到点C，使PC与C点到直线OB的距离之和最小。 做法：过点P作线段OB的垂线，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为线段PD的长。 4）点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。 做法：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。 3、其他模型（三点三线） （三点三线求三角形周长最小值）点D、E、F分别为AB、AC、BC边上的动点，求△DEF周长的最小值。 做法：先将点D视为定点，利用“一点两线”模型作辅助线；当CD最小时，即CD⊥AB时的交点为D。△DEF周长的最小值为线段𝐷′𝐷′′的长度。 【真题演练】 （2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． （2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C． D． （2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（       ） A． B． C． D． （2023·安徽·统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 （2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值． （2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1、如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（      ） A．10 B．10 C．5 D．5 2、如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 3、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 4、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________． 5、如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．    模型2 “将军遛马”与“将军过桥”模型 【模型解读】“将军遛马”模型和“将军过桥”模型是“将军饮马”的姊妹篇，它是在“将军饮马”的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本章就“将军遛马”模型和“将军过桥”模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【常见类型及图示】 1、“将军遛马”模型 【问题描述】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？ 【模型转化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？ 做法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．构造点A关于MN的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M位置，可得路线． 2、“将军过桥”模型（单桥/双桥） 【单桥模型】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 【双桥模型】已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置． 【真题演练】 （2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 【巩固练习】 【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小． 已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．    模型3 费马点模型 【模型解读】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年。 费马点问题：是指在一个三角形中，找到一点，使其到三角形三个顶点的距离之和最小的问题。解决方法是通过旋转、对称等方法，将问题转化为“在直线上找一点，使其到两个定点的距离之和最小”的模型，进而求出最小值。 【常见类型及图示】 1、问题引入 问题：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小. 解答：若点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点. 2、如何作出费马点 第一步：分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE， 第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC≌△ABE， 第三步：此时CD、BE的交点即为点P（费马点）， 第四步：以BC为边，作等边△BCF，连接AF，AF必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º. 注：上述结论成立有个前提条件，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，对应的图如下所示： 此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于120º. 3、模型证明 证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的. 如下图所示，在△AEB与△ACD中， ∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60º， ∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC， 在△BPM与△DAM中， ∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60º，∴∠BPC＝120º； 在PD上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示： 由题意可得△BPG为等边三角形，则PB＝BG， 易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120º， ∴∠APC＝120º，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD. 接下来只需证明CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！ 如下图所示，在△ABC中任取一个异于点P的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ绕着点A顺时针方向旋转60º得到，则△ABQ与重合，且在线段DQ上或DQ外，易证是等边三角形. 由题意可得 ，即CD为最短的线段. 【真题演练】 （2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________． （2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置，使点A到达点E的位置，连接AD，AE，AF，EF． （1）求证：△BDA≌△BFE； （2）①CD+DF+FE的最小值为 　 　； ②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD//BF． （3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，连接MP，NP，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数，请说明理由． （2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【巩固练习】 背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 模型4 胡不归模型 【模型解读】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘若有可能，他应该选择怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”。 法国著名数学家费马(Fermat，1601-1665)，他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙地解决“胡不归”问题.费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、相辅相成的，我们应该多多涉猎各方面知识，这样才能最大限度提升自我，走向成功。 【常见类型及图示】 1、模型建立 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分） 2、问题分析 ，记，即求BC+kAC的最小值. 3、问题解决 构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 4、模型总结 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【真题演练】 （2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    （2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ． (1)求BD的长； (2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF， ①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积； ②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由． （2020·四川乐山·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值． 【巩固练习】 1、如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 2、已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为 (用含的代数式表示)．    3、如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，点C为中点，反比例函数刚好经过点C．将直线绕点A沿顺时针方向旋转得直线，直线与x轴交于点D． (1)求反比例函数解析式； (2)如图2，点Q为射线以上一动点，当取最小值时，求的面积； (3)将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．    模型5 阿氏圆模型 【模型解读】在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。本专题我们一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹和阿氏圆相关的最值问题。 【常见类型及图示】 1、模型建立 如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆． 2、轨迹证明 首先了解角平分线定理和外角平分线定理： 1）角平分线定理 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．证明：，，即 2）外角平分线定理 如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则． 证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即． 如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点； 作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点； 又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆． 3、最值问题解读 如图1所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小（如图3）。 4、区分胡不归模型和阿氏圆模型 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【真题演练】 （2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．    【巩固练习】 1、如图1，在矩形中，，分别以所在的直线为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接,反比例函数的图象经过线段的中点，并与矩形的两边交于点和点，直线经过点和点. （1）连接、，求的面积；（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转—定角度，使得点的对应点好落在轴的正半轴上，连接，作，点为线段上的一个动点，求的最小值. 　　　    2、【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？ 第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB． (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 模型6 瓜豆原理1（直线轨迹型） 【模型解读】“种瓜得瓜，种豆得豆”，这句古语在数学中找到了共鸣。数学中的“瓜豆”主要指的是初中数学中常考的动点轨迹问题。这类问题基本上可以分为两大类：一类是动点在直线（或线段、射线）上的运动，另一类是动点在圆弧上的运动。在解题过程中，如果遇到两个或以上的动点，且其中一个动点在直线（或线段、射线）上移动，那么另一个动点所求的轨迹也往往是直线（或线段、射线）；同样，若一个动点在圆弧上移动，那么另一个动点也将在圆弧上移动，并且两者所经过的弧度保持一致。这类问题仿佛是在遵循一种自然的规律，就如同在播种与收获的过程中，我们在一条轨道上播下“瓜”的种子，便会在另一条轨道上收获“豆”的果实。因此，我们将这类问题统称为“瓜豆原理”。本章我们将讨论“瓜豆原理”中的直线轨迹型类问题。 【常见类型及图示】 1、如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 做法：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 2、如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 做法：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 3、确定动点轨迹的方法 当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线； 当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； 当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； 观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。 【真题演练】 （2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． （2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）    A．24 B．22 C．20 D．18 （2022·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________． （2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．    （2021·辽宁锦州·中考真题）在中，，，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转得到DE，连接CE，BE． （1）如图1，当时，求证：≌； （2）如图2，当时， 探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由； 若，H是BC上一点，在点D移动过程中，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1、如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（    ）．    A． B．3 C． D． 2、如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（    ）    A．12 B．10 C．9.6 D．4.8 3、如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为____________． 4、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是___________． 5、预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？ 一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为， 将点代入得：，整理得 ∵t为任意实数，等式恒成立，∴， ∴， ∴这条直线的函数表达式为 请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式． 问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点C的坐标为_________． 结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，Q是直线上的一个动点，连接，过点P作，且，连接，求线段的最小值． 模型7 瓜豆原理2（圆弧轨迹型） 【模型介绍】“种瓜得瓜，种豆得豆”，这句古语在数学中找到了共鸣。数学中的“瓜豆”主要指的是初中数学中常考的动点轨迹问题。这类问题基本上可以分为两大类：一类是动点在直线（或线段、射线）上的运动，另一类是动点在圆弧上的运动。在解题过程中，如果遇到两个或以上的动点，且其中一个动点在直线（或线段、射线）上移动，那么另一个动点所求的轨迹也往往是直线（或线段、射线）；同样，若一个动点在圆弧上移动，那么另一个动点也将在圆弧上移动，并且两者所经过的弧度保持一致。这类问题仿佛是在遵循一种自然的规律，就如同在播种与收获的过程中，我们在一条轨道上播下“瓜”的种子，便会在另一条轨道上收获“豆”的果实。因此，我们将这类问题统称为“瓜豆原理”。本章我们将讨论“瓜豆原理”中的圆弧轨迹型类问题。 【常见类型及图示】 1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2． 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 2、如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 3、定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆， 则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 4、定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 【真题演练】 （2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 （2021·四川成都·中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； （3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． （2021·江苏连云港·中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动. （1） 是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且 ，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长； （2） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； （3） 是边长为3的等边三角形，M是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形 的边长为3，E是边 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形 ，其中点F、G都在直线 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合.则点H所经过的路径长为________，点G所经过的路径长为________. 【巩固练习】 1、如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 2、如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形外部找一点E，使得，则线段的最大值为 ． 3、已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上任意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，． (1)求证：； (2)当与半圆A相切时，求弧的长；(3)直接写出面积的最大值． $$