精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属中学2025届高三下学期开学考试数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】由题意得集合， 所以或， 故选：A． 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据平面向量的坐标化运算和垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】∵向量，，，∴， ∵，∴，即得，解得， 故选：C． 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系得，再根据两角差的余弦公式即可得到答案. 【详解】∵，，所以， 则， 故选：C． 4. 已知某学校参加高中数学联赛的10人的成绩（单位：分）为：164，277，166，167，173，178，249，255，268，282，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 252 B. 255 C. 261.5 D. 268 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求解，即可得答案. 【详解】将数据从小到大排序得164，166，167，173，178，249，255，268，277，282， 因为，所以第75百分位数是268， 故选：D． 5. 已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（ ） A. B. C. 或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出椭圆离心率，分焦点在轴或轴上讨论列出方程，即可求解. 【详解】易知椭圆的离心率为， 对于椭圆， 当焦点在轴上时离心率为，解得； 当焦点在轴上时离心率，解得， 所以或. 故选：D． 6. 正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，得到棱台的高为1，设该棱台的外接球球心到下底面的距离为，当球心在棱台内时，列出方程，求出，不合要求，当球心在棱台外时，列出方程，求出，得到答案. 【详解】因为正六棱台的上、下底面边长分别为3和4， 如图，为等边三角形，边长分别为3和4， 所以，过点分别作⊥于点，于点， 故，故， 侧棱长是，即，由勾股定理得， 即棱台的高为1， 设该棱台的外接球球心到下底面的距离为， 当球心在棱台内时，即，则， 由勾股定理得， 则，解得（舍）， 当球心在棱台外时，同理可得，解得， 故棱台的外接球半径为； 故选：B． 7. 下列命题为真命题的是（ ） A 已知，若，则 B ， C. ，都不是4的倍数 D. 若，，则的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，作差法比较大小；C选项，分和两种情况，得到都不是4的倍数；D选项，先得到，由不等式性质得到答案. 【详解】对于A，当时，，故A不正确； 对于B，若， 故恒成立，故B不正确； 对于C，当时，不是4的倍数， 当时，也不是4的倍数，故C正确； 对于D，∵，又，， ∴，故D不正确. 故选：C． 8. 甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球．分别以，和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式和条件概率公式计算即可得到答案. 【详解】因为，，， 若发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，所以； 若发生，则乙箱中有2个红球，4个白球和3个黑球，所以； 若发生，则乙箱中有2个红球，3个白球和4个黑球，所以， 所以， ， 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数图象的一个最高点为，且相邻两条对称轴间的距离为，将的图象向左平移个单位长度得到，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意求出、及可判断A B；点在图象上结合的范围求出，再利用奇偶性的定义可判断C；根据图象平移规律得到的解析式，再解不等式可判断D. 【详解】由题意知，，则，故A正确，B不正确； 对于C，由，得， 即，由得， 所以，因为，定义域关于原点对称， ， 所以不是偶函数，故C不正确； 对于D，将的图象向左平移个单位得到 ， 由，得， 可得， 解得， 所以的解集为，故D正确. 故选：AD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 线性相关系数越小，两个变量的线性相关性越弱 B. 在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 C. 独立性检验方法不适用于普查数据 D. 已知随机变量，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用相关系数、决定系数的意义判断AB；利用独立性检验的意义判断C；利用正态分布的对称性求出概率判断D. 【详解】对于A，线性相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，A错误； 对于B，在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B正确； 对于C，普查数据可以准确地判断两个变量之间是否有关联，不需要进行独立性检验，C正确； 对于D，由随机变量，得，D正确. 故选：BCD 11. ，下列曲线与直线不只有一个交点的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的斜率可判断A；结合解方程判断B；利用构造函数，利用导数求解函数的最值，可判断CD. 【详解】与直线斜率不相等，两直线相交，只有一个交点，故A不正确； 当时，令，解得或，此时图象与直线有2个交点，故B正确； 令，∴，令，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，∵时，，时，， ∴当时，，有两个零点， 与有两个交点，故C正确； 令，∴， 令，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴当时，， 时，，∴当，即时，， 有两个零点，与有两个交点，故D正确， 故选：BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数满足，且，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】由递推式进行求解． 【详解】由，可得， 则， 故答案为：4． 13. 已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，化简后利用实部与虚部等于零列方程组求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以， 整理得， 解得，， 故， 故答案为：． 14. 正弦函数在上的反函数，叫做反正弦函数，记作，表示一个正弦值为的角，该角的取值范围在区间内，则________． 【答案】 【解析】 【分析】依据反正弦函数的定义，令，，再结合二倍角的余弦公式和半角公式化简即可； 【详解】令，， 依据反正弦函数的定义可得，，，，， 可得，即， ∵，，. 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在正方体中，是的中点，（与点不重合）是平面内的动点． （1）证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方体及线面垂直的性质，可得，，利用线面垂直的判断定理，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 在正方形中，，在正方体中，平面， ∵平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面， 同理可证平面， ∵平面，平面， ∴，，且，平面，平面， 则平面， 平面，所以平面平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为， 则，，，，，又， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 设平面与平面所成的角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 16. 已知在中，，，，为内一点，且满足． （1）求的面积； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理及平方关系求得，再由三角形面积公式求面积； （2）设，，，由向量数量积的定义得，再由及三角形面积公式，即可求结果； （3）根据（2）并应用余弦定理有，再由即可求结果. 【小问1详解】 由余弦定理可知， 又，故， 所以. 【小问2详解】 设，，， 则， 又， 故，得， 所以. 【小问3详解】 设，，， 由余弦定理可知，， 同理，， 故， 即. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点． （1）求的取值范围； （2）若线段的垂直平分线交轴于点，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由点斜式得到直线方程，联立曲线方程，再由二次项系数不等于零，判别式大于零，两根之和大于零，两根之积大于零解不等式组可求； （2）由弦长公式求出，由中点坐标公式求出，然后由点差法和点斜式得到线段的垂直平分线进而得到点，解出坐标可求出即可； 【小问1详解】 根据题意可得， 设直线的方程为，，， 联立得， 故 解得，即或． 【小问2详解】 设直线方程为，，，的中点为， 由（1）可知， ， 两式相减得， ， 线段的垂直平分线为，可得， 因为，所以， ， 所以． 18. 已知数列满足，，． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把已知等式变形为，再求出可证明； （2）由等比数列基本量法直接写出即可； （3）分子分母同时加1后放缩，再由等比数列的求和公式证明； 【小问1详解】 证明：∵数列满足，，， ∴， 又， ∴数列是以2为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得， 故． 【小问3详解】 证明：， ． 19. 已知曲线，，为坐标原点，若在曲线上，在曲线上． （1）求的最小值； （2）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，且直线与曲线，分别切于点，． 证明：①直线有且仅有2条； ②． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得：，所以，设，得，利用导数求出的最小值得解； （2）①设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，可得切线为，切线为，得，令，利用导数判断函数零点个数证明得解；②由①知或，当时，易证；当时，求得，构造函数利用导数证明. 【小问1详解】 的焦点， 根据抛物线的定义可得：， 所以， 点的坐标为， 则有：， 令，，则， 令，，则， 可得在上单调递增，又， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，则， 当点的坐标为，点为线段与抛物线交点时，取得最小值， 故的最小值为． 【小问2详解】 设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， ①则曲线的切线为， 则曲线的切线为， 与表示同一直线，则有， 解得：， 令， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ，，， 根据零点存在性定理可知使得，使得， 直线有且仅有2条． ②由①知或， 当时，，，此时； 当时，，，直线， 点到直线的距离， ∴， 由①知，∴， ∴，， 令，，∴， ∴上单调递增，在上单调递减， ∴，∴， ∴， ∴， 综上：． 【点睛】关键点点睛：本题第二问②小问证明的关键是求得，构造函数，利用导数证明得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知某学校参加高中数学联赛的10人的成绩（单位：分）为：164，277，166，167，173，178，249，255，268，282，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 252 B. 255 C. 261.5 D. 268 5. 已知椭圆和椭圆有相同离心率，则（ ） A B. C. 或4 D. 或4 6. 正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（ ） A 3 B. 5 C. D. 6 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 已知，若，则 B. ， C. ，都不是4的倍数 D. 若，，则的取值范围是 8. 甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球．分别以，和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数图象的一个最高点为，且相邻两条对称轴间的距离为，将的图象向左平移个单位长度得到，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的解集为 10. 下列说法正确是（ ） A. 线性相关系数越小，两个变量的线性相关性越弱 B. 在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 C. 独立性检验方法不适用于普查数据 D. 已知随机变量，若，则 11. ，下列曲线与直线不只有一个交点的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数满足，且，则________． 13. 已知是关于的方程的一个根，则________． 14. 正弦函数在上的反函数，叫做反正弦函数，记作，表示一个正弦值为的角，该角的取值范围在区间内，则________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在正方体中，是的中点，（与点不重合）是平面内的动点． （1）证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 16. 已知在中，，，，为内一点，且满足． （1）求的面积； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知双曲线左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点． （1）求的取值范围； （2）若线段的垂直平分线交轴于点，求的值． 18. 已知数列满足，，． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）证明：． 19. 已知曲线，，为坐标原点，若在曲线上，在曲线上． （1）求的最小值； （2）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，且直线与曲线，分别切于点，． 证明：①直线有且仅有2条； ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$