精品解析：甘肃省武威市凉州区武威十七中联片教研2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末质量检测试卷九年级数学 一、选择题（共30分，每小题3分，每小题只有一个答案是正确的） 1. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 2. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 3. 二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 或2 D. 1或 4. 抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为36，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 6. 如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 8. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 在一个不透明的盒子中装有个白球，其余为黄球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个球，颜色是白球的概率为，则黄球的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 已知是关于x的一元二次方程两个实数根，则_____． 12. 已知抛物线经过和两点，则a值为_____． 13. 已知二次函数的对称轴为，则图像在x轴上截得的线段长是_____． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，．连接，则的长为_____． 15. 如图点P为弦上一点，连接，过P作，交圆O于点C，若，，则线段的长为_______ 16. 如图所示，的内切圆分别与相切于点D，E，F，且，，，则的周长为_______． 17. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 18. 有四张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有，，3，4，从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积大于0的概率是__________． 三、解答题（共66分） 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出． （2）画出关于点O的中心对称图形． 20. 解方程： （1） （2） 21. 商场统计了某种商品4月份到6月份的销量，该商品4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该商品销售量的月增长率； （2）此种商品的进价为30元/个，测算7月份销售该商品，若售价为40元/个，月销售量为300个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，则商场7月份销售该商品月利润能否达到5000元?如果能，求出每个商品的售价；如果不能，请说明理由． 22. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，直接写出函数的最大值和最小值． 23. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 24. 如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径． 25. 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．连接． （1）求证：； （2）若，求的直径． 26. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0． （1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根． （2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于，， 三点． （1）求证：； （2）过原点作直线：，交抛物线于，两点． ①点是第四象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．当时，求的最大值； ②求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末质量检测试卷九年级数学 一、选择题（共30分，每小题3分，每小题只有一个答案是正确的） 1. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．把代入得到，再代入，即可求解． 【详解】解：把代入 得：， 把代入 得：， 故选：C． 2. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 3. 二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 或2 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，本题中不知道是正数还是负数，所以要分情况讨论．二次函数的对称轴为，所以可知当时，二次函数有最大值；当时，二次函数有最小值，因为，所以可知当时，二次函数有最大值，可得关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 当时，二次函数有最大值， 解得：， 当时，二次函数有最小值， 二次函数的对称轴为， ， 当时，有最大值， 可得：， 解得：， 综上所述的值为或． 故选：D． 4. 抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，则可得出a与b之间的关系，再将代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 则，即．故①正确． 将代入函数解析式得，， 又因为， 所以， 即．故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时总有，， 即．故③错误． 由题知，方程的两个解为． 方程可转化为， 所以1或3， 则．故④正确． 因为， 所以点P在直线左侧，点Q在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以．故⑤正确； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：B． 5. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为36，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形与旋转，勾股定理，根据旋转的性质，得到，得到，进而推出正方形的面积等于四边形的面积，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵把绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵正方形， ∴，， ∴； 故选D． 6. 如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦于点， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 7. 如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是⊙O的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，． 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 8. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示： ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键． 9. 点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 10. 在一个不透明的盒子中装有个白球，其余为黄球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个球，颜色是白球的概率为，则黄球的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，解分式方程等知识点，根据概率公式正确列出方程是解题的关键． 根据“概率所求情况数与总情况数之比”，列方程求解即可． 【详解】解：设黄球的个数为个， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 即：黄球的个数是个， 故选：C． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 已知是关于x的一元二次方程两个实数根，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由，是关于的一元二次方程两个实数根，得，，而，再代入求值即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：2． 12. 已知抛物线经过和两点，则a值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线经过和两点可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】解：∵抛物线经过和两点 ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得． 故答案为：5． 13. 已知二次函数的对称轴为，则图像在x轴上截得的线段长是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解法，先求出b的值，再求出抛物线与x轴的两个交点，即可求出抛物线在x轴上截得的线段长． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 当时， 解得， ∴抛物线与x轴的两个交点为， ∴抛物线在x轴上截得的线段长为． 故答案为：2． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，．连接，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质、勾股定理等知识，由旋转得，，根据勾股定理可以求出的长． 【详解】解：由旋转可知：， ， 由旋转得， ，， ， 的长为． 故答案为：． 15. 如图点P为弦上一点，连接，过P作，交圆O于点C，若，，则线段的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理与相交弦定理．首先交于点D，由，根据垂径定理，即可得，又由相交弦定理，即可得，继而求得的长． 【详解】解：延长交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为6， 故答案为：6． 16. 如图所示，的内切圆分别与相切于点D，E，F，且，，，则的周长为_______． 【答案】36 【解析】 【分析】 本题主要考查三角形了内切圆及切线长定理等知识点，由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案，灵活运用切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长， 故答案为：36 ． 17. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的底面周长、母线长和侧面积的计算，熟练掌握相关公式是解题的关键．先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 底面半径为，高为，则底面周长等于， 由勾股定理得，母线长， 那么侧面面积， 故答案为：． 18. 有四张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有，，3，4，从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积大于0的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． 首先画出树状图，然后列出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之积大于0的结果数，再利用概率公式计算概率即可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积大于0的结果有4种， ∴抽取的两张卡片上的数字之积大于0的概率是， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出． （2）画出关于点O的中心对称图形． 【答案】（1） 所作图形如图所示； （2） 所作图形如上图所示． 【解析】 【分析】本题考查作图中心对称，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 即：， 或， ，； 【小问2详解】 解：， 整理，得：， 即：， 或， ，． 21. 商场统计了某种商品4月份到6月份的销量，该商品4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该商品销售量的月增长率； （2）此种商品的进价为30元/个，测算7月份销售该商品，若售价为40元/个，月销售量为300个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，则商场7月份销售该商品月利润能否达到5000元?如果能，求出每个商品的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）商场7月份销售该商品的月利润不能达到5000元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该商品销售量的月增长率为，根据6月份销售量4月份销售量建立方程，解方程即可得； （2）设该商品7月份的售价为元/个，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：设该商品销售量的月增长率为， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该商品销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该商品7月份的售价为元/个， 依题意，得， 整理，得， ，方程无实数根， 答：商场7月份销售该商品的月利润不能达到5000元． 22. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，直接写出函数的最大值和最小值． 【答案】（1）， （2）当时，的值最大，最大值为6，当时，的值最小，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点，代入解析式，即可求解； （2）把解析式化为顶点式，可得当时，y的值最大，最大值为6． 【小问1详解】 解：函数的图象经过点，，将数据代入解析式可得： ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得：函数解析式为， 抛物线开口向下，对称轴为直线，且当时，的值最大，最大值为6， ， 当时，的值最大，最大值为6， 当时，的值最小，最小值为． 23. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】（1）证明见解析；（2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 24. 如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（）连接，，由圆周角定理得，又，则通过等腰三角形的性质得，然后由中位线定理可得，最后由平行线的性质即可求证； （）过点作，垂足为，易证四边形是矩形，从而得出，设的半径为，然后利用垂径定理表示出，最后在中利用勾股定理列出关于的方程进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定，中位线定理，等腰三角形的性质 ，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识的应用及根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．连接． （1）求证：； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：∵为的直径，是弦，且于点E， ∴， ∴． （2）的直径为 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据垂径定理和圆的性质，等弧的圆周角相等，即可求证． （2）根据垂径定理求出，设的半径为R，则，根据勾股定理及圆的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为R，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的直径为． 26. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0． （1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根． （2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率． 【答案】（1）∵c＝2b﹣1， ∴x2+bx+c＝x2+bx+2b=0． ∵==≥0, ∴方程一定有两个实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）把c＝2b﹣1代入x2+bx+c＝0．利用一元二次方程根的判别式即可得答案； （2）根据方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，利用判别式可得b与c的关系，画出树状图，得出所有可能情况数及符合b与c的关系的情况数，利用概率公式即可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 画树状图如下： 由树状图可知：所有可能情况数为12种，符合的情况数为2种， ∴b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率为=． 【点睛】本题考下一元二次方程的根的判别式及树状图法或列表法求概率，对于一元二次方程（），根的判别式为△=，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；熟练掌握根的判别式及概率公式是解题关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于，， 三点． （1）求证：； （2）过原点作直线：，交抛物线于，两点． ①点是第四象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．当时，求的最大值； ②求面积的最小值． 【答案】（1） 当时，， 则，即． 当时，由，得， 则，，即． ∴，，在以为直径的圆上， ∴． （2）①；②4 【解析】 【分析】（1）先求出，，三点坐标，得出，，在以为直径的圆上，即可得解； （2）①当时，．设为，则，，表示出，再由二次函数的性质即可得出答案；②由，可得，由一元二次方程根与系数的关系得出，．求出． 结合，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，． 设为，则，， ∴，， ∴． ∵，， ∴当时，的最大值为． ②由，可得， ∴，． ∴， ∴． ∴． ∴当时，取最小值4， ∴的最小值是4． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—面积问题、二次函数与一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $