精品解析：海南省儋州某校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

儋州二中高二年级第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，满分40分） 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 2. 已知复数满足：，则复数的虚部为（ ） A. B. -2 C. 2 D. 3. 已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线斜率为，且．那么倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若 则 （ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，满分18分） 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 11. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 已知向量，，则=______ 13. 如图，在空间四边形中，是的重心，若，则__________. 14. 设函数是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围是_______. 四､解答题（本大题满分77分） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. （1）求函数的单调递增区间： （2）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 19. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 儋州二中高二年级第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，满分40分） 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2. 已知复数满足：，则复数的虚部为（ ） A. B. -2 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法先求出复数，结合共轭复数的概念，进而可得出结果. 【详解】因为，所以， 所以所以虚部为2. 故选:C 3. 已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知根据投影向量的定义得出即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量是， 所以， 所以，又 所以. 故选：D. 4. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 5. 从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，求出基本事件的总数和满足积为偶数的基本事件个数，利用古典概率即可求解. 【详解】从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，共有种选法， 其积为偶数，即两个数中有一个为2，共有4种选法， 所以概率为. 故选：A. 6. 已知直线斜率为，且．那么倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，且，解得. 故选：C. 7. 若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】 故选：C 8. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案. 【详解】因为在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 所以当时，， 当时，. 所以由可得：或或, 解得或或，即或. 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，满分18分） 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 【答案】BC 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；求出第75百分位数判断B；求出分数在区间内的频率判断C；用分层随机抽样求出区间内应抽人数判断D. 【详解】对于A，平均成绩为，A错误； 对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确； 对于C，分数在区间内的频率为，C正确； 对于D，区间应抽取人，D错误. 故选：BC 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图象变换一一判定选项即可. 【详解】易知，其最小正周期为， 所以，即，显然，故A正确； 令， 显然区间不是区间的子区间，故B错误； 令，则是的一个对称中心，故C正确； 将的图象向右平移个单位得到 ， 故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得. 【详解】选项A： 如图连接交于，连接， 由题意可知为的中点，又为的中点，故， 又平面，平面，故平面，故A正确； 选项B：由题意为等边三角形，为的中点， 故, 又棱柱为直三棱柱，故， 又，平面，平面， 故平面，又平面，故，故B正确； 选项C： 如图建立空间直角坐标系，则，，， 因，故， 所以，， 设异面直线与所成角为，则 故C错误； 选项D：由题意平面的一个法向量为， ，，， 设平面的法向量为，则 ，即，设，则，， 故， 设平面与平面的夹角为，则， 故， 故，故D正确， 故选：ABD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 已知向量，，则=______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为：5 13. 如图，在空间四边形中，是的重心，若，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】结合是的重心，根据向量的线性运算，代入即可得出． 【详解】D为AB中点，连接OD，CD，有， 是的重心，则G在CD上，且， 即，则有， 所以， 可得，则有. 故答案为：1 14. 设函数是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围是_______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，并求出与的关系，列出不等式求解即得. 【详解】由函数是上的奇函数，且，得， 因此函数是以6为周期的周期函数，， 而，于是，又，则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 四､解答题（本大题满分77分） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解； （2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. 【小问2详解】 由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 16. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【答案】（1）. （2）480 （3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数； （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率； 【小问1详解】 由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. 【小问2详解】 由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. 【小问3详解】 由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，利用、得四边形是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面的法向量分别为， 则有，取， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. （1）求函数的单调递增区间： （2）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数的解析式，接着依据题意求出，进而求出函数，再令，接着求解不等式即可得解. （2）先由三角变换规则结合（1）得，接着由得，再由正弦函数图像性质即可求出函数在区间上的值域. 【小问1详解】 因为 ， 又由题，所以， 所以， 令，则， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）， 故由题意可得， 当，， 故由正弦函数图像性质可得， 所以即， 所以函数在区间上的值域为. 19. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $