精品解析：重庆市巴蜀中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

初三（下）数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，用木板制作的“中”字的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数中，若随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，的直角顶点在直线上，分别交直线于点，点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 相等的角是对顶角 6. 如图，点分别在反比例函数图象上，点在轴的负半轴上，若平行四边形的面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 37 B. 41 C. 45 D. 49 8. 如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 20 9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 将多项式中的个“”变为“”后得到一个新多项式，再求出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对反号变换”．下列关于对多项式的“绝对反号变换”的结果说法： ①若为6个连续的奇数，则结果可能为； ②当时，多项式的“绝对反号变换”的结果仍为，则原多项式中必有三项之和为0； ③若，且新多项式的各项之积小于0，则将绝对值符号化简打开后，共有16种不同的运算结果． 其中结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_____________． 12. 春节期间，小巴和小蜀为各自的母亲买一束鲜花，现有三种鲜花可供选择：康乃馨、郁金香和薰衣草，两人恰好选择到同种鲜花的概率为_____________． 13. 如图，菱形中，于点H，且与交于G，则______． 14. 若关于的不等式组至少有2个奇数解，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为_____________． 15. 如图，是的切线，为切点，与交于点，是上一点，连接，，延长至点，使得，连接，过点作于点，，则为_____________，四边形的面积为_____________． 16. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“均差数”，对于一个“均差数”，将它的前两位数减去后两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：，例如，因为，故：9764是一个“均差数”．所以，，则．则最大的均差数与最小的均差数之差为_____________；若自然数都是“均差数”，其中，(，，，，都是整数)，规定：，当时，求的最大值为_____________． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 某校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息．（用x表示成绩，数据分成5组：A：30≤x＜34，B：34≤x＜38，C：38≤x＜42，D：42≤x＜46，E：46≤x≤50） 乙班成绩在D组的具体分数是：42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 43 44 45 45 甲，乙两班成绩统计表： 班级 甲班 乙班 平均分 44.1 44.1 中位数 44.5 n 众数 m 42 方差 7.7 17.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出m、n的值； （2）小明这次测试成绩是43分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由； （3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数． 19. 如图，小橘子在寒假的数学研修活动中，做了以下探究：在菱形中，对角线、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）： （2）求证：四边形为矩形． 证明：∵， ∴①________________， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴②________________， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴③________________， ∴ ∴④________________， ∴， ∴四边形为矩形． 从以上探究过程中，小橘子进一步发现：若四边形为矩形，在的延长线上截取，连接，再过点作的平行线交于点，四边形的形状为⑤________________． 20. 除夕当天，小渝购入了、两款电子泡泡机．购买款花费800元，购买款花费400元，其中款的数量恰好是款的，每个款的价格比每个款的价格低4元． （1）请问款泡泡机的与款泡泡机的单价分别是多少元？ （2）元宵节当天，小渝决定再次购入一批电子泡泡机，其中购买款的数量与第一次相同，购买款的数量比第一次的购入量多个．此时、款两泡泡机均涨价，每个款的价格比第一次的价格高元，每个款的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买、两款泡泡机的总费用只比第一次购买、两款泡泡机的总费用多元，求的值． 21. 如图1，在中，．点为线段上一点（点与端点、不重合），，过点作于点，点在射线上，连接．的面积始终为3，线段的长为，线段的长为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 22. 如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） （1）求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） （2）由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，，对称轴为直线，连接，过点作交抛物线于点，点为轴上的动点，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，再过点作于点，连接，当的面积最大时，求出此时点的坐标及的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接，与线段交于点，点在轴上且在点下方，满足时，请求出符合条件的点的坐标，并写出简要的求解过程． 24. 在等腰中，，，D为边上一点（不与端点重合），E为外一点，连接，，，使． （1）如图1，点E在右侧，交于点G，若，，求的度数（用含α的代数式表示）： （2）如图2，点E在右侧，若，F为边上一点，连接交于点O，若O为中点，求证：； （3）如图3，点E在BD左侧，若，点G，P，K分别为，，的中点，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，使，当最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三（下）数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，根据无限不循环小数即为无理数，进行作答即可． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，故该选项不符合题意； B、是无限不循环小数，故该选项符合题意； C、是有限小数，不是无理数，故该选项不符合题意； D、，不是无理数，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图所示，用木板制作的“中”字的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立体图形俯视图的作法求解即可得． 【详解】解：俯视图是从上方往下所看到的平面图形，实际存在的部分，但是上方不能直接看到，用虚线表示，直接看到的部分用实线表示，如下： 故选：C． 【点睛】题目主要考查立体图形的三视图，理解俯视图的作法是解题关键． 3. 一次函数中，若随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．根据一次函数的性质即可求得． 【详解】解：一次函数中，y随x的增大而增大， ，解得， 故选：B． 4. 如图，直线，的直角顶点在直线上，分别交直线于点，点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形内角和定理及等边对等角，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．根据等边对等角得出，利用三角形内角和定理可得，结合图形，由平行线的性质及各角之间的关系即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 相等的角是对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查判断真假命题、绝对值的含义，平行线的性质、对顶角的定义及不等式的性质，关键是熟记概念进行排除选项．根据平行线的性质、绝对值的性质及不等式的性质、对顶角的定义直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、若，则，原命题是假命题，不符合题意； B、若，，则，原命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，真命题，符合题意； D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意． 故选C． 6. 如图，点分别在反比例函数图象上，点在轴的负半轴上，若平行四边形的面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，设，由平行四边形的性质可得点的纵坐标等于点的纵坐标，进而得到，再根据平行四边形的面积可得，解之即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形，点在轴上， ∴轴， ∴点的纵坐标等于点的纵坐标， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 37 B. 41 C. 45 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键． 第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：； 第3个图中有13个正方形，可以写成：； 第4个图中有17个正方形，可以写成：； 第n个图中有正方形，可以写成：； 当时，代入得：． 故选：A． 8. 如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形内接于， ∴ ∴阴影部分的面积是 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长．过点作于点，设，利用勾股定理和正方形性质求出，再利用三角形面积和勾股定理求出，，，，，进一步求出，由，即可求出， 【详解】解：如图所示：过点作于点， 设， ∵为边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴的面积， ∴， ∴， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选：A． 10. 将多项式中的个“”变为“”后得到一个新多项式，再求出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对反号变换”．下列关于对多项式的“绝对反号变换”的结果说法： ①若为6个连续的奇数，则结果可能为； ②当时，多项式的“绝对反号变换”的结果仍为，则原多项式中必有三项之和为0； ③若，且新多项式的各项之积小于0，则将绝对值符号化简打开后，共有16种不同的运算结果． 其中结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，涉及绝对值的运算， 根据题干的定义及解释，①根据整数和的奇偶性进行判断，②根据绝对值意义；进行判断，③根据新多项式的各项之积小于0，所以改变符号后，正数是奇数个，故为奇数，再由改变符号的组合方式判断即可． 【详解】解：①若为6个连续的奇数，它们加减运算的结果一定为偶数，而为奇数，故若为6个连续的奇数，则结果不可能为；故结论①错误； ②当时，对多项式进行“绝对反号变换”，假定结果为，由题意得 ， 当时，即，故， 当时，即，故， 综上所述：时，多项式的“绝对反号变换”的结果仍为，则原多项式中必有三项之和为0；即结论②正确； ③若，且新多项式的各项之积小于0，所以改变符号后，正数是奇数个，故为奇数， 当时，“”变为“”的组合有5种，将绝对值符号化简打开后有5种结果， 当时，“”变为“”的组合有10种，将绝对值符号化简打开后有10种结果， 当时，“”变为“”的组合只有1种，将绝对值符号化简打开后有1种结果， 则将绝对值符号化简打开后，共有种不同的运算结果． 综上所述：正确得结论有②③． 故选C．， 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是乘方运算，化简绝对值，负整数指数幂，先计算乘方，绝对值，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 12. 春节期间，小巴和小蜀为各自的母亲买一束鲜花，现有三种鲜花可供选择：康乃馨、郁金香和薰衣草，两人恰好选择到同种鲜花的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择到同种类型鲜花的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：将康乃馨、郁金香和薰衣草分别记为A、B、C， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择到同种类型鲜花的有3种结果， ∴两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为=， 故答案为． 13. 如图，菱形中，于点H，且与交于G，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，结合勾股定理求出的值，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 14. 若关于的不等式组至少有2个奇数解，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为_____________． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个奇数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为正整数确定出a的值即可． 【详解】解：不等式组 解得：；即， 由不等式组至少有2个奇数解，即至少9，7两个奇数是不等式组的解，故， 解得：， 分式方程去分母得：，即， 由分式方程有正整数解，得到， 由x为正整数，且，， 解得：或4或6，10， ∵，分式方程：是增根，， 综上所述：或6， ∴， 则符合条件的所有整数a的和为9， 故答案为：9． 15. 如图，是的切线，为切点，与交于点，是上一点，连接，，延长至点，使得，连接，过点作于点，，则为_____________，四边形的面积为_____________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】如图所示，连接，首先由切线得到，然后求出，设，则勾股定理求出，得到，进而利用正切的概念求解即可；勾股定理求出，然后利用等面积法求出，得到，，，然后利用四边形的面积代数求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴设，则 ∴ ∴ ∴； ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴四边形的面积 ． 故答案为：，． 【点睛】题目主要考查圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，结合图形，熟练掌握运用三角函数解三角形是解题关键． 16. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“均差数”，对于一个“均差数”，将它的前两位数减去后两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：，例如，因为，故：9764是一个“均差数”．所以，，则．则最大的均差数与最小的均差数之差为_____________；若自然数都是“均差数”，其中，(，，，，都是整数)，规定：，当时，求的最大值为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】该类题型主要考查学生对新知识的接受和应用能力．难度较大，要善于把新知识转化为常规知识来解决问题，方能突破难点．根据新定义与已知条件，分别求出，再由自然数，都是“均衡数”可得，，最后根据求得，即可利用字母的取值范围便可求出k的最值． 【详解】解：根据“均差数”的定义可知最大的均差数是9988，最小的均差数是1122，故最大的均差数与最小的均差数之差为； ∵，(，，，，都是整数)， ∴． ∵自然数P，Q都是“均衡数”， ∴，则． ∴． ∵， ∴． ∴，则． ∴． 当时，则， ∴． ∵，，，， ∴y是奇数， ∴当时，，则， 当时，，则 当时，，则， 则， ∴k的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，分式的混合运算； （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项； （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 18. 某校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息．（用x表示成绩，数据分成5组：A：30≤x＜34，B：34≤x＜38，C：38≤x＜42，D：42≤x＜46，E：46≤x≤50） 乙班成绩在D组的具体分数是：42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 43 44 45 45 甲，乙两班成绩统计表： 班级 甲班 乙班 平均分 44.1 44.1 中位数 44.5 n 众数 m 42 方差 7.7 17.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出m、n的值； （2）小明这次测试成绩是43分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由； （3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）m＝45，n＝42；（2）小明是乙班级学生；理由见解析；（3）该校本次测试成绩优秀的学生人数为188人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的意义和计算方法分别计算即可， （2）利用中位数的意义进行判断； （3）根据用样本估计总体的方法，估计总体的优秀率，进而计算出优秀的人数． 【详解】解：（1）乙班的成绩从小到大排列，处在第25，26位的两个数都是42，因此中位数是42，即n＝42， 甲班的中位数一定落在D组，而甲班每组人数为：A组2人，B组2人，C组10人，D组24人，E组12人， 甲班的中位数是44.5，而D组：42≤x＜46整数，因此排序后处在第25，26位的两个数分别是44，45， 于是，可得甲班得45分的学生数为2+2+10+24﹣25＝13（人），是出现次数最多的，所以，甲班成绩的众数是45，即m＝45， 故答案为：m＝45，n＝42； （2）∵小明的成绩为43分，且在班上排名属中游略偏上，而甲班中位数是44.5，乙班的中位数是42， ∴小明是乙班级学生； （3）甲班得45分及45分以上的有：13+12＝25（人），而乙班有：2+20＝22（人）， 两个班的整体优秀率为：(25+22)÷100＝47%， ∴400×47%＝188（人）， 即：该校本次测试成绩优秀的学生人数为188人． 【点睛】考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义是正确解答的前提． 19. 如图，小橘子在寒假的数学研修活动中，做了以下探究：在菱形中，对角线、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）： （2）求证：四边形为矩形． 证明：∵， ∴①________________， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴②________________， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴③________________， ∴ ∴④________________， ∴， ∴四边形为矩形． 从以上探究过程中，小橘子进一步发现：若四边形为矩形，在的延长线上截取，连接，再过点作的平行线交于点，四边形的形状为⑤________________． 【答案】（1）见解析 （2）①，②，③，④，⑤菱形 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图； （2）根据前后的逻辑关系填前面几个空即可；空⑤的需要先由四边形是矩形，得到，再证明四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，最后结合得到平行四边形为菱形． 【小问1详解】 解：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点，如图： 【小问2详解】 证明：∵， ∴①， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴②， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴③， ∴ ∴④， ∴， ∴四边形为矩形． 故答案为：①，②，③，④． 从以上探究过程中，小橘子进一步发现：若四边形为矩形，在的延长线上截取，连接，再过点作的平行线交于点，四边形的形状为⑤菱形． 证明如下： 如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵过点作的平行线，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 20. 除夕当天，小渝购入了、两款电子泡泡机．购买款花费800元，购买款花费400元，其中款的数量恰好是款的，每个款的价格比每个款的价格低4元． （1）请问款泡泡机的与款泡泡机的单价分别是多少元？ （2）元宵节当天，小渝决定再次购入一批电子泡泡机，其中购买款的数量与第一次相同，购买款的数量比第一次的购入量多个．此时、款两泡泡机均涨价，每个款的价格比第一次的价格高元，每个款的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买、两款泡泡机的总费用只比第一次购买、两款泡泡机的总费用多元，求的值． 【答案】（1）A款泡泡机的单价是元，B款泡泡机的单价是元； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设A款泡泡机的单价是x元，则B款泡泡机的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用元购买B款泡泡机的数量是用元购买款泡泡机数量的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A款泡泡机的单价），进而求出B款泡泡机的单价； （2）利用进货总价=进货单价×购进数量，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A款泡泡机的单价是x元，则B款泡泡机的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴（元）． 答：A款泡泡机的单价是元，B款泡泡机的单价是元； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去），． 答：的值为． 21. 如图1，在中，．点为线段上一点（点与端点、不重合），，过点作于点，点在射线上，连接．的面积始终为3，线段的长为，线段的长为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或． 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定等知识，掌握运用数形结合的思想解决是本题的关键． （1）根据三角形的面积可得的解析式，证明，列比例式可得的解析式； （2）分别画函数，的图象，并根据增减性可得性质； （3）根据交点写函数在下方时，x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，的面积始终为3，线段的长为， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴ 【小问2详解】 函数，的图象如图所示， 函数的性质：随x的增大而减小（答案不唯一）； 函数的性质：随x的增大而减小（答案不唯一）； 【小问3详解】 由图象得，当时x的取值范围是或． 解方程并检验得， 故当时x的取值范围是或． 22. 如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） （1）求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） （2）由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 【答案】（1）62海里 （2）0.08小时 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线交延长线于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出和的长，进而可得S的长，再除以时间，即可求出的速度． （2）过点作于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出, , 的长，再分别求出潜艇和救援船到达M点所用的时间，再求出它们的差即可． 【小问1详解】 解：过点作的垂线交延长线于点， 由题意可知：，， 在中，，， ， 在中，， ， ， （海里）． 答：游艇每小时航行62海里． 【小问2详解】 解：过点作于点． 由题意可知：，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， （小时）． 答：游艇到达处，再过0.08小时救援船就能到达处． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，，对称轴为直线，连接，过点作交抛物线于点，点为轴上的动点，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，再过点作于点，连接，当的面积最大时，求出此时点的坐标及的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接，与线段交于点，点在轴上且在点下方，满足时，请求出符合条件的点的坐标，并写出简要的求解过程． 【答案】（1） （2），的最小值为， （3）点或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作点关于轴的对称点为点，连接交轴于点，则点为所求点，即可求解； （3）由点、的坐标得 得，点坐标为，进而可得与关于轴对称，从而证明，结合已知可得，则直线，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）抛物线过，对称轴为直线，则点， 则抛物线的表达式为：，则，则， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 由抛物线的表达式可知点， 设直线线的表达式为， 将点、的代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为：， ，则直线的表达式为：， 设点，则点， ∴， ，， ∴为定长，过点F作， ∵轴，是定直线， ∴的角度一定， ∴为定值， ∴的大小形状一定，即为定长， ∵的面积， 故最大时，的面积最大， 而， 故当时，最大，此时，即点， 作点关于轴的对称点为点，连接交轴于点，则点为所求点， 理由：由对称轴可知：， ∴为最小， 则的最小值为：； 【小问3详解】 ∵，， ∴，直线的表达式为：， ∴将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于抛物线向左平移1个单位，向上平移3个单位， 则， 延长交轴于点，由点、的坐标得， ∴点坐标为， 又∵， ∴与关于轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴直线， 而直线的表达式为：， 设直线的表达式为：，则，， ∴直线的表达式为： 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：或， 即点或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 24. 在等腰中，，，D为边上一点（不与端点重合），E为外一点，连接，，，使． （1）如图1，点E在右侧，交于点G，若，，求的度数（用含α的代数式表示）： （2）如图2，点E在右侧，若，F为边上一点，连接交于点O，若O为中点，求证：； （3）如图3，点E在BD左侧，若，点G，P，K分别为，，的中点，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，使，当最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明过程见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由得，利用三角形内角和定理得，即可得结论；（2）延长至M，使，连接，作，交于N，证明 ，得，，，进而证明即可得结论． （3）作，在左侧截取，连接，，证明， 作点B关于直线的对称点，连接，，则，当三点共线时，取值最小，连接、、，作于点Q，作于点N，证明四边形为正方形，，，， ，利用三角形中位线及勾股定理分别求出再求出比值即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， ， ; 【小问2详解】 证明：延长至M，使，连接，作，交于N， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：作，在左侧截取，连接，， ， ，， ， ，即， ， ， ，，，， ， ， 点A、E、F三点在同一直线上， ，即点E在直线上，且恒为直角三角形， 作点B关于直线的对称点，连接，， 则，当三点共线时，取值最小， 连接、、，作于点Q，作于点N， ，， 四边形为正方形， ， ， ，即，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即点P为的中点， 点K为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，P为中点， ， 将绕点B顺时针旋转得到， ， ，，， ，， ， ，，， ， ， 作于M，设 ，，， ， 作于S ， ，，， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $