专题08 数列-2025年高考数学二轮复习核心考点聚焦与强化（新高考全国卷)

专题08数列 高考数学二轮复习核心考点聚焦与强化 专题08 数列 一、关键知识： 1.等差数列与等比数列： （1）定义公式： 是等差数列 是等比数列 （2）中项公式： 成等差数列； 成等比数列, （3）通项公式： 是等差数列； 是等比数列 （4）性质公式： ①转换公式： 是等差数列：；是等比数列： ②对称项公式： 是等差数列： 是等比数列： （5）数列前项和公式: 是等差数列 是等比数列 （6）前项和的性质公式: ①同构式： 是等差数列 是等比数列 ②分段式： 是等差数列 是等比数列 ③奇偶项和公式：数列奇数项之和记为，数项之和记为，则 数列项数为偶数时： 是等差数列；是等比数列 数列项数为奇数时： 是等差数列；是等比数列 2.数列求通项： （1）是数列的前n项和，则 （2）累加公式: （3）累乘公式: （4）构造公式： ① ② ③ 3.数列求和常用方法： （1）公式法 ①等差数列的前n项和公式：. ②等比数列的前n项和公式： 2分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 分组求和常见类型有： ①若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和； ②通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和； 3裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. 常用裂项公式有： ； 4错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列. 5倒序相加法 如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 4.求数列最值的方法： 方法1：利用数列的单调性； 方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小；或设最小值项为，解方程组，再与首项比较大小． 二、聚焦高考： 数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高． 1．（2024全国II）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 2．（2022全国II）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 3．（2023全国I）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（2022全国II）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 5．（2021全国I）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 . 三、考点精炼： 考点一：等差数列与等比数列的基本运算 1．已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．记数列的前项和为，若是等差数列，，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知等差数列的前n项和为，，若，则（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 5．已知是等比数列的前项和，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 6．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．32 D．64 7．等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 8．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（   ） A．或15 B．15 C．或 D． 9．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 考点二：等差数列与等比数列的判定与证明 1．“实数，，成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知数列 的前n项和，则 A．是递增的等比数列 B．是递增数列，但不是等比数列 C．是递减的等比数列 D．不是等比数列，也不单调 4．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（    ） A．若是等差数列，则一定有 B．若是等比数列，则一定有 C．若不是等差数列，则一定有     D．若不是等比数列，则一定有 5．已知是等比数列，下列数列一定是等比数列的是（ ） A．（k∈R） B． C． D． 6．（多选）已知数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 考点三：数列求通项 1．数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 2．已知为等差数列的前n项和，若，则数列的通项公式为 ． 3．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{}的通项公式＝ ．①；② 4．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 5．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 6．数列满足，则（    ） A．64 B．128 C．256 D．512 7．已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（    ） A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n 8．在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知第1个图中的三角形的面积为1，记第n个图形的面积为，则 . 考点四：数列求和 1．设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 2．已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 3．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和为，满足，且，则______. 5．已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（    ） A． B． C． D． 6．数列的通项公式，则其前项和（ ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 8.已知数列满足，则数列的前项和． 9.已知数列满足，则数列的前项和． 10．数列满足，，，，则数列的前n项和为_____. 考点五：等差等比数列的实际应用 1．中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（    ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 2．干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（    ） A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年 3．张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 4． 年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 5．已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（    ）（参考数据：取） A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天 6．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（    ）（单位：万元）参考数据： A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3 四、强化训练： 题组一：等差数列与等比数列的基本运算 1．已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 2．设等差数列的前项和为．若，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．记等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 5．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 6．已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 8．已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，，则（   ） A．2025 B．2529 C．2026 D．2275 9．已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．28 D． 题组二：等差数列与等比数列的判定与证明 1．数列中，首项，且点在直线上，则数列的前项和 等于（     ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和，则为等比数列的充要条件是　　 A． B． C． D． 3．（多选）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 4．（多选）已知是正项等差数列，首项为，公差为，且，为的前n项和（n∈），则（ ） A．数列是等差数列 B．数列{}是等差数列 C．数列是等比数列 D．数列{}是等比数列 5．（多选）已知数列满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．能被3整除 6．（多选）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和. 题组三：数列求通项 1．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 2．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 7．在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 3．已知数列的前n项和满足，则 ． 4．已知数列中，，则数列的通项公式为 . 5．已知数列的前n项和为.若，则数列的通项公式为 . 6．在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 . 7．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 8．已知数列满足，则数列中的最小项为（    ） A． B． C． D． 9．已知数列的前项和为，且满足，，把数列的偶数项抽出按照原来的顺序组成新数列，则 ． 10．已知数列满足，设数列的前项和为，则= . 题组四：数列求和 4．在数列中，若，，则的值( ) A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和为，，，则的前项和为（ ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，且，则数列的前项和______． 7．已知数列满足，.记，则数列的前项和__. 8．设数列满足，且，则数列的前项的和______． 9．已知数列中，，且，则的前n项和为_________． 题组五：数列的实际应用 1．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元. A． B． C． D． 2．核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（    ）（参考数据） A． B． C． D． 3．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（    ） A． B．7 C．13 D．26 4．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$专题08数列 高考数学二轮复习核心考点聚焦与强化 专题08 数列 一、关键知识： 1.等差数列与等比数列： （1）定义公式： 是等差数列 是等比数列 （2）中项公式： 成等差数列； 成等比数列, （3）通项公式： 是等差数列； 是等比数列 （4）性质公式： ①转换公式： 是等差数列：；是等比数列： ②对称项公式： 是等差数列： 是等比数列： （5）数列前项和公式: 是等差数列 是等比数列 （6）前项和的性质公式: ①同构式： 是等差数列 是等比数列 ②分段式： 是等差数列 是等比数列 ③奇偶项和公式：数列奇数项之和记为，数项之和记为，则 数列项数为偶数时： 是等差数列；是等比数列 数列项数为奇数时： 是等差数列；是等比数列 2.数列求通项： （1）是数列的前n项和，则 （2）累加公式: （3）累乘公式: （4）构造公式： ① ② ③ 3.数列求和常用方法： （1）公式法 ①等差数列的前n项和公式：. ②等比数列的前n项和公式： 2分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 分组求和常见类型有： ①若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和； ②通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和； 3裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. 常用裂项公式有： ； 4错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列. 5倒序相加法 如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 4.求数列最值的方法： 方法1：利用数列的单调性； 方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小；或设最小值项为，解方程组，再与首项比较大小． 二、聚焦高考： 数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高． 1．（2024全国II）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则.故答案为：. 2．（2022全国II）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C． 方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或， 当时，，即为，易知，，即； 当时，，与矛盾，舍去．故选：C． 3．（2023全国I）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【详解】甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确. 4．（2022全国II）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 【答案】D 【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D 5．（2021全国I）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 . 【答案】 5 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设，则， 两式作差得： ，因此，. 三、考点精炼： 考点一：等差数列与等比数列的基本运算 1．已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，故， 所以．故选：C 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，由题意得解得，所以，所以．故选：C 3．记数列的前项和为，若是等差数列，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为是等差数列，所以可设，所以，所以为等差数列， ，所以，所以.故选：D 4．已知等差数列的前n项和为，，若，则（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【详解】设的公差为d，由，可得，得， 则，，故．故选：C． 5．已知是等比数列的前项和，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【答案】D 【详解】由可得，则，化简可得，解得或，故选：D. 6．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】D 【详解】由，得，则，设等比数列公比为，则，解得，所以.故选：D 7．等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】由可知，故，故，故，故选：B 8．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（   ） A．或15 B．15 C．或 D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，由，，为等差数列，则，即，即，解得或（舍去），又，所以.故选：B 9．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，由，得，即，即，则，设等比数列的公比为，由，得，即，则，即，所以.故选：C. 考点二：等差数列与等比数列的判定与证明 1．“实数，，成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由实数成等比数列，可得，即，即充分性成立；反之：如时，满足，但实数不能构成等比数列，即必要性不成立,所以“实数成等比数列”，是“”的充分不必要条件.故选：A. 2．已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】当点都在直线上成立时，可得，因此当时，，所以为等差数列；当为等差数列成立时，例如，显然点都不在直线上，所以点都在直线上”是“为等差数列”的充分不必要条件.故选：C 3．已知数列 的前n项和，则 A．是递增的等比数列 B．是递增数列，但不是等比数列 C．是递减的等比数列 D．不是等比数列，也不单调 【答案】B 【详解】因为数列 的前n项和，所以，n=1时，，当时，不适合上式，所以，是递增数列，但不是等比数列，选B． 4．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（    ） A．若是等差数列，则一定有 B．若是等比数列，则一定有 C．若不是等差数列，则一定有     D．若不是等比数列，则一定有 【答案】C 【详解】A：当时，，显然是等差数列，但是此时不成立，故A不正确； B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故B不正确； C：当时，因此有常数，是等差数列，当不是等差数列时，一定有，故C正确； D：当 时，若时，显然数列是等比数列，故D不正确.故选：C 5．已知是等比数列，下列数列一定是等比数列的是（ ） A．（k∈R） B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，当时，，数列不是等比数列；当时，，数列不是等比数列；当时，，数列不是等比数列；因为，由等比数列的定义可知：数列是等比数列，故选：. 6．（多选）已知数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】数列中，，，则，，整理得，而，因此数列是首项、公比均为的等比数列，B正确；，解得，对于A，，A错误；对于C，，则，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD 考点三：数列求通项 1．数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将，，，可以写成成，，，,所以的通项公式为.故选：C 2．已知为等差数列的前n项和，若，则数列的通项公式为 ． 【答案】/ 【详解】由题意得：，解得：，所以 3．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{}的通项公式＝ ．①；② 【答案】（答案不唯一） 【详解】依题意，是等比数列，设其公比为，由于①，所以，由于②，所以，所以符合题意.故答案为： 4．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】因为，当时，，当时，，所以． 5．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以，，所以为等差数列，且公差为1，首项为1，故，即，故选：B 6．数列满足，则（    ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】A 【详解】当时，由，①得，②,①－②，得，所以，则．故选：A． 7．已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（    ） A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n 【答案】D 【详解】当n=1时，；当时，，于是是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以.故选：D. 8．在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知第1个图中的三角形的面积为1，记第n个图形的面积为，则 . 【答案】 【详解】记第n个图形为，边数为，边长为，由图可知，，，，即，,即，且.由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，，所以.故答案为：. 考点四：数列求和 1．设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【答案】C 【详解】数列中，，当时，，两式相减得，即，则，而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即，于是，所以．故选：C 2．已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】A 【详解】设公差为，因为成等比数列，所以，则， 解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令，而其前项和为， ，故A正确.故选：A 3．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的首项为，公差为.∵，∴∴ ∴，则 ∴数列的前项和为,故选B. 4．已知数列的前项和为，满足，且，则______. 【答案】 【详解】因为， 则 . 5．已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，因为为等比数列，，公比所以，因为为等差数列，，公差，所以，根据题意，，所以.故选：B. 6．数列的通项公式，则其前项和（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得， 所以，故答案为A. 7．已知数列满足，，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知数列满足，，取倒数得，，所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，，， 因此.选B. 8.已知数列满足，则数列的前项和． 【答案】 【详解】 , ． 9.已知数列满足，则数列的前项和． 【答案】 【详解】 令，则， 两式相减，得：， 所以,所以． 归纳：数列满足，则数列的前项和： ，其中. 10．数列满足，，，，则数列的前n项和为_____. 【答案】 【详解】数列满足，即数列满足， ∴数列是等差数列，设公差为d.则，解得. ∴，∴， 则数列的前n项和为， ， 相减可得：， 化为：.故答案为： 考点五：等差等比数列的实际应用 1．中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（    ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】设出每一秒钟的路程为数列，由题意可知为等差数列， 则数列首项，公差， 所以，由求和公式有，解得，故选：C． 2．干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（    ） A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年 【答案】D 【详解】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，故100年后天干为甲，由于，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，所以2124年为甲申年．故选：D 3．张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 【答案】C 【详解】设第一个尺码为，公差为，则，则， 当时，，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为码， 所有缺货尺码的和为码，又因为缺货的一个尺寸为码，则另外一个缺货尺寸码，故选：C. 4． 年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设原有树苗有包，第组领取包， 第组领取包， 第组领取包，， 以此类推可知，第组领取包， 由题意可得， 即，解得.故选：B. 5．已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（    ）（参考数据：取） A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天 【答案】C 【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度），则，，所以， ， 由，可得，即，即， 解得或（舍去），由则，因为，即，又，所以的最小值为.故选：C 6．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（    ）（单位：万元）参考数据： A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3 【答案】C 【详解】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为万元， 2024年存的2万元共存了9年，本息和为万元， 2032年存的2万元共存了1年，本息和为万元， 所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回， 他可取回的钱数约为万元，故选：C. 四、强化训练： 题组一：等差数列与等比数列的基本运算 1．已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由题设，可得，由.故选：D 2．设等差数列的前项和为．若，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，故选：D. 3．记等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】设的公差为，由等差数列的性质知，所以，即，于是有.故选：A． 4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，由，得，即，即，则，设等比数列的公比为，由，得，即，则，即，所以.故选：C. 5．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【详解】因为为等比数列，所以，，（显然三个数均不为0）也是等比数列.且，，所以.所以.故选：A 6．已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记数列公比为且，则，故，所以公比也为，则前9项和.故选：D 7．已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，则，则，即，解得， 因为、、成等差数列，即，可得，解得， 因此，.故选：D. 8．已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，，则（   ） A．2025 B．2529 C．2026 D．2275 【答案】D 【详解】设数列的公比为，由，得，，∴，解得或（舍）.∴，∴，，∵数列是等差数列，设公差为d，由，，得，解得，∴，∴.故选：D. 9．已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．28 D． 【答案】D 【详解】依题意，和是等差数列，而，故可设，其中，所以，， .故选：D 题组二：等差数列与等比数列的判定与证明 1．数列中，首项，且点在直线上，则数列的前项和 等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在直线上，所以，又，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，则，所以数列的前项和.故选：B 2．已知数列的前项和，则为等比数列的充要条件是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当时，，当时，，为等比数列，，，故选：B． 3．（多选）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确；对于B，数列的通项公式为，则，所以数列是公比为3的等比数列，B错误；对于C，，所以数列是公差为1的等差数列，C错误；对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确，故选：AD. 4．（多选）已知是正项等差数列，首项为，公差为，且，为的前n项和（n∈），则（ ） A．数列是等差数列 B．数列{}是等差数列 C．数列是等比数列 D．数列{}是等比数列 【答案】AC 【详解】由题意得，.因为数列是等差数列，，所以数列是等差数列，故A正确；当时，，，因为，所以数列{}不是等差数列，故B错误；因为，所以数列是等比数列，故C正确；当时，，，数列{}不是等比数列，故D错误，故选：AC. 5．（多选）已知数列满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．能被3整除 【答案】BCD 【详解】由可得：，所以数列是等比数列，即，则显然有，所以不成等比数列，故选项A是错误的； 由数列是等比数列可得：，即，故选项B是正确的； 由可得：前项和，故选项C是正确的；由，故选项D是正确的； 方法二：由，1024除以3余数是1，所以除以3的余数还是1，从而可得能补3整除，故选项D是正确的； 故选：BCD． 6．（多选）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【详解】对于选项A：由，得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误；对于选项B：因为，即，显然，且，即，所以为递增数列，故B正确；对于选项C：因为，则，两式相减得，所以，故C正确；对于选项D：因为，所以的前项和，故D正确．故选：BCD． 题组三：数列求通项 1．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】，取得到，当时，，，当时，不满足,所以.故答案为：. 2．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，整理得，又，则，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，所以.故选：D. 7．在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得，于是， 故.故选：B. 3．已知数列的前n项和满足，则 ． 【答案】 【详解】数列的前n项和满足，即，当时，，即有，当时，，即，因此数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为： 4．已知数列中，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】当时，解得，不满足，所以，同理，由可得，当时，，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，，所以.故答案为：. 5．已知数列的前n项和为.若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由，可知，当时，，相减可得：，∴数列从第二项起是以9为首项，以3为公比的等比数列，当时，不满足.，故答案为： 6．在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意，又等差数列的公差为1，所以； 故，所以当时，，当时，， 所以，显然的最小值是或. 又，所以 ，即的最小值是.故答案为：， 7．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 【答案】n 【详解】解：∵，∴， 当时，. 当时，成立，∴，当时，， 当时，满足上式，∴.故答案为：n 8．已知数列满足，则数列中的最小项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知为等差数列，且公差为2，首项为，因此，由于且，故中的最小项为，故选：B 9．已知数列的前项和为，且满足，，把数列的偶数项抽出按照原来的顺序组成新数列，则 ． 【答案】 【详解】因，则，两式相减得，又，则，则数列的偶数项组成的新数列为以为首项，公比为2的等比数列，则.故答案为： 10．已知数列满足，设数列的前项和为，则= 【答案】 【详解】数列满足，当时，，两式相减得，因此，而满足上式，于是，显然，即数列是等差数列，所以.故答案为： 题组四：数列求和 4．在数列中，若，，则的值( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，数列中，， 则， 所以 所以，故选A. 6．已知等差数列的前项和为，，，则的前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，又， ，当时， ，整理可得： ，则 的前项和 ，选. 5．已知数列的前项和为，且，则数列的前项和______． 【答案】 【详解】令，可得.又由已知可得，当时，， 两式相减，,,又，∴，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以，所以两式相减，得 ，所以. 7．已知数列满足，.记，则数列的前项和__. 【答案】 【详解】由得，，所以是以为公差的等差数列，故，所以，利用错位相减法可得：. 8．设数列满足，且，则数列的前项的和______． 【答案】 【详解】由题,∴，故，所以为等比数列，，则，， 两式作差得即，故答案为 9．已知数列中，，且，则的前n项和为_________． 【答案】 【详解】因为，所以，， 因为，所以,,设， ，所以， 、 题组五：数列的实际应用 1．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设每年应还万元，则有，得 ，解得．故选：B． 2．核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（    ）（参考数据） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，设一开始锶90质量为1，则每年的剩余量构成以为公比的等比数列， 则经过800年锶90剩余质量为，两边取常用对数可得：，所以， 故选：B 3．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（    ） A． B．7 C．13 D．26 【答案】C 【详解】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以，即，解得，又由，所以.故选：C. 4．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，.从而有，整理得， ，，，，由于皆为正整数，所以 （i）当时，，当时，， （iii）当时，， （iv）当时，，只有符合题意，即的值为2. 故选：B. 26 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$