精品解析：甘肃省陇南市康县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

康县2024—2025学年度第一学期期末学业水平抽测卷 九年级数学 注意事项：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项) 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球 C. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解；A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意； B、在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球是不可能事件，不符合题意； C、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意； D、三角形两边之和大于第三边是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴的公式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解决问题的关键． 4. 已知的半径为10，，则点P和的位置关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与半径的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：∵的半径为10，，， ∴点P在圆内； 故选A． 5. 六一儿童节，爸爸给乐乐制作了一个圆形飞镖盘（如图），若乐乐每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率．熟练掌握几何概率是解题的关键． 由题意知，阴影部分的面积占圆面积的，即恰好扎中阴影区域的概率是． 【详解】解：由题意知，阴影部分面积占圆面积的， ∴恰好扎中阴影区域的概率是， 故选：C． 6. 如图，在⊙O中，点C在上，，若，则的大小是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及同弧或等弧所对的圆周角相等，由圆周角定理得，由同弧所对的圆周角相等，即可求解；掌握圆周角定理及同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【详解】解：连接 ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，将正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和网格当中的旋转作图．旋转的三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角度，作，将绕点D顺时针旋转至，即可得出B点的坐标． 【详解】解：如图，作，将绕点D顺时针旋转至， 则， ∴， ∴， ∴正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为． 故选：B． 8. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（　　） A. B. 1 C. 1或 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的定义进行作答即可． 【详解】解：因为x的一元二次方程的一个根是0， 所以把代入， 得， 解得， 因为， 即， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的定义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题关键．设金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为， 由题意得：， 故选：C． 10. 已知抛物线的图象如图所示，那么下列四个结论：1）；2）；3）；4）．正确的个数是（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系． 由图象可知当时，，由此可判断结论（1）；当时，，由此可判断结论（2）；由抛物线开口向下可得，抛物线与y轴交点在y轴正半轴可得，由此可判断结论（3）；由抛物线对称轴，可判断结论（4）． 【详解】由图象可知当时，， ∴，故结论（1）错误； 当时，， ∴，故结论（2）正确； ∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴， ∴，故结论（3）错误； 由图象可知抛物线对称轴且对称轴， ∴，故结论（4）错误． 综上，只有1个结论正确． 故选：A 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11. 在平面直角坐标系中，点A关于原点O成中心对称的点的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数，据此解答即可． 【详解】解：点A关于坐标原点O中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点成中心对称的点坐标特点，熟知关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数，是解题的关键． 12. 将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：二次函数的图象向右平移3个单位， 得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 13. 是方程的根，则式子的值为___________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．将代入已知方程后即可得，然后代入所给代数式求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 则． 所以． 故答案为：2025． 14. 如图， 经过A，B，C三点，分别与相切于A，B两点，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆的切线的性质、多边形内角和，牢记圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）是解题的关键． 连接，，根据多边形内角和可求得的度数，根据圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：如图所示，连接，． ∵，分别与相切于，点， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 15. 在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是________． 【答案】白球 【解析】 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率计算方法是解题的关键． 观察统计图得该球得频率稳定在0.20左右，进而计算抽到每种颜色球的概率即可判断． 【详解】解：观察统计图可知，该球得频率稳定在0.20左右， ∴抽到该球的概率为0.20， ∵抽到黄球概率为，抽到白球概率为，抽到红球概率为， ∴该球最有可能是白球， 故答案为：白球． 16. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为_________（结果保留）． 【答案】． 【解析】 【分析】由题意可知圆锥展开后的侧面扇形的弧长为，设扇形的半径为r，根据扇形的弧长公式可得，即圆锥的母线为15；最后根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆周长为， ∴圆锥展开后的侧面扇形的弧长为 设扇形的半径为r， 由题意可得：，解得：； 则扇形的面积为：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：分解因式得：， ， ，． 18. 如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，根据等边三角形的性质，得到，旋转的性质，得到，利用证明即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴． 19. 为满足广大群众阅读需求，某图书馆不断完善藏书数量，今年7月份图书馆中有藏书50000册，到今年9月份藏书数量增长到72000册．求该图书馆这两个月藏书的平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该图书馆这两个月藏书的平均增长率为x，然后列出一元二次方程，进而计算后可以得解． 【详解】解：设该图书馆这两个月藏书的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该图书馆这两个月藏书的平均增长率为． 20. 如图，已知、、，将绕点O按逆时针方向旋转得到． （1）画出旋转后的，并求点的坐标； （2）求在旋转过程中，点A所经过的路径的长度．（结果保留π） 【答案】（1）图见解析，点的坐标为； （2）． 【解析】 【分析】（1）作出点、绕点按逆时针方向旋转得到的对应点，再与点首尾顺次连接即可得； （2）利用弧长公式计算可得． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求，其中点的坐标为． 小问2详解】 ∵，， ∴点A所经过的路径的长度为：． 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点及弧长公式． 21. 如图，是的一条弦，半径，点E在上，、分别交 于点C、点 F． （1）若，求的度数； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由，可得，然后由圆周角定理求得的度数； （2）由垂径定理可得，然后设的半径为x，由勾股定理即可求得方程：，解此方程即可求得答案． 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 设的半径为x， 则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为5． 22. 下表是某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 473 954 1906 4745 发芽频率 0.940 0.955 0.946 b 0.953 0.949 （1）上表中的__________，__________； （2）任取一粒这种植物种子，它能发芽的既率的估计值是__________（精确到0.01）； （3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】（1）191；0.954 （2）0.95 （3）10000粒 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据频率等于频数除以总数，进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率计算数量即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：191；0.954 【小问2详解】 由表格可知：它能发芽的概率的估计值是0.95； 【小问3详解】 粒； 答：估算需要准备10000粒种子进行发芽培育． 四、解答题(本大题共5小题，共50分． 解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 23. 如图，是的直径，是圆上的两点，且，. （1）求的度数； （2）求的度数. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据AB是⊙O直径，得出∠ACB=90°，进而得出∠B=70°； （2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，得到圆心角∠AOC的度数，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，可求出∠ACD的度数． 【详解】（1）∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90， ∵∠BAC=20， ∴∠ABC=70， （2）连接OC，OD，如图所示： ∴∠AOC =2∠ABC =140， ∵， ∴∠COD=∠AOD= ∴∠ACD=． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论与定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，要求学生根据题意，作出辅助线，建立未知角与已知角的联系，利用同弧（等弧）所对的圆心角等于所对圆周角的2倍来解决问题． 24. 某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？ 【答案】（1）（0＜x＜3）；（2）不会被淋湿，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（3，0），求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的函数值，由此即可得出结论． 【详解】（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为（a≠0）， 将（3，0）代入，得：4a+3=0， 解得：， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（0＜x＜3）． （2）当时，有， ∵ ∴不会被淋湿． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． 25. 文房四宝是我国传统文化中的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒．每个盲盒的外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．一套盲盒套装中包含笔、墨、纸、砚盲盒各一个． （1）若从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为______． （2）若从一套盲盒套装中随机选两个，用列表或画树状图的方法求恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或者列表法求概率，解题的关键是画树状图． （1）根据概率公式计算概率即可． （2）画出树状图得出12种等可能性，其中恰好抽中内含墨和砚的可能性有2种，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下． 共有12种等可能的结果，其中恰好选中笔和纸盲盒的结果有2种， ∴恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率为． 26. 如图，是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，和过E的切线互相垂直，垂足为D，切线交的延长线于点C． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可推出，故；根据、即可求解； （2）在中可求出，进而可确定； 在中即可求出的长． 【小问1详解】 解：连接， ∵与相切 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴ 在中： ∴ ∴ 在中： ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质定理、直角三角形的性质以及勾股定理等知识．熟记相关结论即可． 27. 如图，已知抛物线的方程y=－ (x+2)(x－m)  (m>0)与x轴交于B、C，与y轴交于点E,且点B在点C的左侧，抛物线还经过点P(2，2) （1）求该抛物线的解析式 （2）在(1)的条件下，求△BCE的面积 （3）在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使EH+BH的值最小．求出点H的坐标． 【答案】（1） ；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）直接带入P点坐标求出m即可；（2）由（1）求出的函数关系式，解出函数与x，y轴的交点坐标，即可求出三角形面积；（3）作E关于抛物线对称轴的对称点F，连接BF交y轴于点H，由两点之间线段最短可得最小值． 【详解】（1）解：将P点代入函数式得： 解得: m=4, ∴ 该抛物线的解析式为：    . （2）解： 由（1）得-(x+2)(x-4)=0, 解得x=-2或x=4, ∴B（-2,0），C（4,0）， ∴BC=4-（-2）=6， 当x=0, y=2, ∴OE=2. ∴ （3）解： 如图，作E关于抛物线对称轴的对称点F，连接BF交y轴于点H， ∵ ， 则F（2,2）, EH+BH=FH+HB=FB, 设直线FB的解析式为：y=kx+b, ∴ 解得:, 故y=  , 当x=1, y=×1+1= ， ∴H（1,）. 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，需要熟练掌握求解二次函数的方法，函数与坐标轴的交点求法，第3小题为典型的“将军饮马”问题，线段最值问题里面必掌握的基本模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 康县2024—2025学年度第一学期期末学业水平抽测卷 九年级数学 注意事项：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项) 1. 下列四个图形中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球 C. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D. 三角形两边之和大于第三边 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为10，，则点P和的位置关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法判断 5. 六一儿童节，爸爸给乐乐制作了一个圆形飞镖盘（如图），若乐乐每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在⊙O中，点C在上，，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（　　） A B. 1 C. 1或 D. 3 9. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C D. 10. 已知抛物线的图象如图所示，那么下列四个结论：1）；2）；3）；4）．正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11. 在平面直角坐标系中，点A关于原点O成中心对称的点的坐标为 _____． 12. 将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是_________． 13. 是方程的根，则式子的值为___________． 14. 如图， 经过A，B，C三点，分别与相切于A，B两点，，则的度数为__________． 15. 在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是________． 16. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为_________（结果保留）． 三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解方程：． 18. 如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：． 19. 为满足广大群众阅读需求，某图书馆不断完善藏书数量，今年7月份图书馆中有藏书50000册，到今年9月份藏书数量增长到72000册．求该图书馆这两个月藏书的平均增长率． 20. 如图，已知、、，将绕点O按逆时针方向旋转得到． （1）画出旋转后的，并求点的坐标； （2）求在旋转过程中，点A所经过的路径的长度．（结果保留π） 21. 如图，是的一条弦，半径，点E在上，、分别交 于点C、点 F． （1）若，求的度数； （2）若，，求的半径． 22. 下表是某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 473 954 1906 4745 发芽频率 0.940 0.955 0.946 b 0.953 0.949 （1）上表中的__________，__________； （2）任取一粒这种植物种子，它能发芽既率的估计值是__________（精确到0.01）； （3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 四、解答题(本大题共5小题，共50分． 解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 23. 如图，是的直径，是圆上的两点，且，. （1）求的度数； （2）求的度数. 24. 某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？ 25. 文房四宝是我国传统文化中的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒．每个盲盒的外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．一套盲盒套装中包含笔、墨、纸、砚盲盒各一个． （1）若从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为______． （2）若从一套盲盒套装中随机选两个，用列表或画树状图的方法求恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率． 26. 如图，是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，和过E的切线互相垂直，垂足为D，切线交的延长线于点C． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 27. 如图，已知抛物线的方程y=－ (x+2)(x－m)  (m>0)与x轴交于B、C，与y轴交于点E,且点B在点C的左侧，抛物线还经过点P(2，2) （1）求该抛物线的解析式 （2）在(1)的条件下，求△BCE的面积 （3）在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使EH+BH的值最小．求出点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$