精品解析：广东省珠海市香洲区文园中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年广东省珠海市香洲区文园中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，电路图上有A，B，C三个开关和一个正常的小灯泡L，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，D，连接，则的度数为（） A. B. C. D. 不确定 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 12 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是______． 12. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是____________________． 13. 如图，在小孔成像问题中，小孔 O到物体AB的距离是60 cm，小孔O到像CD的距离是30 cm，若物体AB的长为16 cm，则像 CD的长是 _____cm. 14. 如图，在中，点O是的内心，，则___________． 15. 如图，在中，，，．以点C为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D、E，则图中阴影部分面积为_____________（结果保留π）． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则的值为__________． 三、解答题（共4小题，共46分） 17. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）计算：． 18. 如图，一次函数与反比例函数图像交于，两点． （1）求一次函数表达式和反比例函数表达式； （2）直接写出关于x的不等式的解集； （3）求的面积． 19. 如图，在中，，平分交于E，作交于点D，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）已知半径为5，，求、的长． 20. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋x＋c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值； （3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省珠海市香洲区文园中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出． 【详解】解：A、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、此图形旋转后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 故选：B． 3. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， 则点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（-1，-2）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单． 4. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据45度角的正切值为1得到，则． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知点在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象性质． 依据反比例函数为可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减，进而得到，，的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数为 ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着增大而减， 又， ∴， ∴ 故选：D． 6. 如图，电路图上有A，B，C三个开关和一个正常的小灯泡L，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中能让灯泡发光的情况有种， ∴能让灯泡发光概率为， 故选：D． 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由旋转可得：，，，进而得到：，，即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，，， ，， ， 故选：B． 8. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，D，连接，则的度数为（） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．直接根据圆周角定理及圆内接四边形性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可得， ， 四边形是圆内接四边形， ， 故选：A 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，， ∵的面积为3，， ∴，即， ∴， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是， 故答案为：． 12. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率． 首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可． 【详解】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近， ∴小石子落在不规则区域的概率为， ∵正方形的边长为， ∴面积为， 设不规则部分的面积为s， 则， 解得：， 故答案为． 13. 如图，在小孔成像问题中，小孔 O到物体AB的距离是60 cm，小孔O到像CD的距离是30 cm，若物体AB的长为16 cm，则像 CD的长是 _____cm. 【答案】8 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可解题. 【详解】解：由小孔成像的特征可知,△OAB∽△OCD, 由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比, ∴30:60=CD：16, 解得：CD=8cm. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉性质内容是解题关键. 14. 如图，在中，点O是的内心，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．利用角平分线的性质和三角形内角和得到，即可求解． 【详解】解：点是的内心， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．以点C为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D、E，则图中阴影部分的面积为_____________（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积与解直角三角形，连接，由扇形面积减三角形面积求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接，根据中位线定理可得长的最大值为， 当过圆心时，最长， 过作轴与， 设， 则即 根据勾股定理可得列出方程求出点的坐标，代入反比例函数解析式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，由对称性得： ∵是的中点， ∵的长的最大值为3，则长的最大值为： 如图上图所示，当过圆心时，最长，过作轴交于点， 在直线上， 设，则即 在中，由勾股定理得： 代入数据得： 整理得： 解得：(舍去)，或 ∵在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 三、解答题（共4小题，共46分） 17. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值及因式分解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用特殊角的三角函数值计算即可． 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数表达式和反比例函数表达式； （2）直接写出关于x的不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为： （2）不等式的解集为：或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求得解析式即可； （2）根据函数图象的性质，结合图象即可求得不等式的解集； （3）首先求得C点坐标，再利用坐标即可求得． 【小问1详解】 解：将代入，得m=3， ∴反比例函数解析式为：， 将代入，得， ∴B点坐标为， 将A、B两点坐标代入，得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 由图象可知，当一次函数图象在反比例函数下方时，， ∴不等式的解集为：或； 【小问3详解】 当y=0时，， 解得：， ∴C（，0）， ∴， ∴的面积为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、三角形面积等问题，以及与函数图象有关的不等式问题，重点在于掌握对应的基本性质，并进行准确求参． 19. 如图，在中，，平分交于E，作交于点D，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）已知的半径为5，，求、的长． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，由知、由平分知，据此得，从而得出，进一步即可得证； （2）证得 ，据此可求得的长度，再证得据此可得的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴是的直径， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴为的切线； 【小问2详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即， ， ∵，， ∴， 解得：，即， 解得：． 20. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋x＋c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值； （3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3），，，． 【解析】 【分析】(1)先由锐角三角函数的定义求得C的坐标，将点A、C的坐标代入抛物线的解析式求解即可； (2)过D作DG⊥.x轴于点G，交BC于F，过A作AK⊥x轴交BC延长线于K，根据相似三角形的性质得一组比例线段,设出解析式，利用待定系数法求得解析式，然后利用配方可求得的最大值； (3)根据OC=OC'可得C'坐标，由平移的性质可得平移后顶点、对称轴，设M坐标列出方程，即可得到问题的答案． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴， 将A、C的坐标代入得： ∴ ∴抛物线的解析式为：； （2）如答图1，过D作DG⊥x轴于点G，交BC于F， 过A作AK⊥x轴交BC延长线于K， 设直线BC解析式为：， 由（1）得：， 将， 分别代入得：， 解得：， ∴直线BC的表达式为：， ∵，故K的横坐标，代入，得：， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵DG⊥x轴于点G，AK⊥x轴， ∴， ∴， ∴， 将△BDE、△ABE分别看作DE、AE为底边，则它们的高相同， ∴， ∴， ∴时，有最大值，最大值为：； （3）如答图2，连接OC'，过C'作C'F⊥y轴于F，由抛物线的解析式知其顶点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴△COC'是等边三角形， ∴， Rt△CFC'中可得，， ∴原抛物线的平移是相当于向右平移个单位再向下平移个单位，且， ∴平移后抛物线顶点为，对称轴是x=，， ∵M在平移后抛物线的对称轴上 ∴设， 又△C'BM为以C'B为腰的等腰三角形，可分两种情况： ①，则， 解得或， 经检验：或都是原方程的根，且符合题意， ∴， ②，则， 解得或， 经检验：或都是原方程的根，且符合题意， ∴， 综上所述，△C'BM为以C'B为腰的等腰三角形，则或， 【点睛】本题主要考查是二次函数的综合应用，掌握二次函数的最值、平移性质及构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $