精品解析：江苏省苏州市九校2025届高三下学期决胜高考大联考一数学试题

决胜高考—2025高三年级大联考 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含[单选题（1~8）多选题9-11．填空题（第12题~第14题，共73分）．解答题（第15~19题，共77分），本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置． 3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答，在试卷或草稿纸上作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚． 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 3. 某普通高中高二年级学生参加体育学业水平考试立定跳远项目模拟测试，甲、乙两位同学连续5次的测试数据如下表单位： 甲 210 220 216 220 230 乙 215 212 216 223 249 下列说法错误的是（ ） A. 甲同学测试数据的众数为220 B. 乙同学测试数据的极差为37 C. 甲同学测试数据的分位数为220 D. 乙同学测试数据的平均数为223 4. 已知，则（ ） A B. C. D. 5. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，为上的一点，且，，，则的短轴长为（ ） A B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，（）（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 已知是抛物线的焦点，M，N是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. 若，则线段MN的中点到y轴的距离为2 C. 以MN为直径的圆与C的准线相切 D. 当时， 11. 在经济增长模型中，假设某种经济指标的增长与一种特殊函数关系密切相关．定义增长正弦函数为，增长余弦函数为，增长正切函数．则（ ） A. 增长余弦函数是偶函数 B. 增长正弦函数是增函数 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 已知，则__________． 13. 已知函数的定义域为R，．若函数为奇函数，为偶函数，则__________． 14. 如图，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其体积为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，， （1）求数列的前项和； （2）证明：． 16. 如图，在直四棱柱中，，，，．点在棱上，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）若与平面所成角的正弦值是，求三角形的面积． 17. 已知双曲线过点，，是双曲线的左右顶点，且． （1）求双曲线的方程： （2）直线过点交双曲线于点，，直线，交于点，求的最大值． 18. 甲，乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛中当一方比另一方多两分比赛中止，多得两分的一方鴍得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． （1）若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当时， （i）若比赛最多进行6局（若到第6局时未分出胜负，也结束比赛），求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用，表示），无需写出过程． 19. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 决胜高考—2025高三年级大联考 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含[单选题（1~8）多选题9-11．填空题（第12题~第14题，共73分）．解答题（第15~19题，共77分），本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置． 3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答，在试卷或草稿纸上作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚． 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出集合，，由此利用交集的定义能求出. 【详解】，， 则， 故选：A． 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的公式结合数量积的坐标运算公式和模的坐标公式求结论, 【详解】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为， 故选：B. 3. 某普通高中高二年级学生参加体育学业水平考试立定跳远项目模拟测试，甲、乙两位同学连续5次的测试数据如下表单位： 甲 210 220 216 220 230 乙 215 212 216 223 249 下列说法错误的是（ ） A. 甲同学测试数据的众数为220 B. 乙同学测试数据的极差为37 C. 甲同学测试数据的分位数为220 D. 乙同学测试数据的平均数为223 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、极差、百分位数及平均数的计算方法计算即可判断. 【详解】对于A，220出现的次数最多，所以为众数，故A正确； 对于B，因为，所以极差为37，故B正确； 对于C，将甲同学测试数据从小到大排列：. 因为，所以分位数为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数之间的关系得到，再利用二倍角公式得到以及的值，最后根据两角差的余弦公式得到结果. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，， 即． 故选：B． 5. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，为上的一点，且，，，则的短轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设列出关于的方程求出即可求解. 详解】由题意得， 所以的短轴长为. 故选：B． 6. 已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题设得到圆锥内的最大球的直径，再借助圆锥轴截面以及截面图中性质，结合三角函数定义和倍角公式依次求出、和，进而由求出，即可依次求出圆锥的高和母线长，进而由圆锥侧面积公式即可求解. 【详解】由球的表面积公式，即圆锥内的最大球的直径为， 圆锥轴截面如图，则，， 因为， 所以，设， 则，， 则， 在中，， 所以，所以， 所以圆锥的侧面积为． 故选：B． 7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数降幂公式以及辅助角公式整理函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数的单调性以及对称性，建立不等式与方程，可得答案. 【详解】 ，， 则， 因为在上有最大值没有最小值，所以，， 又因为的图象关于直线对称，则，， 解得，，所以当时，符合要求. 故选：D． 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，，，，，则即为点到，，三点的距离之和，由费马点的性质可得当点 位于的中心时，取最小值，即可求解. 【详解】设，，，，，，， 则，，， 所以， 因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心， 此时取最小值， 所以， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，（）（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念求，复数模的定义求，判断A，根据复数的乘法运算法则求，结合复数的模的定义求，由此判断B，结合复数的乘法法则，模的定义求判断C，结合复数的模的几何意义判断D. 【详解】对于A，复数的共轭复数， 所以，， 所以，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，因，，因为，所以，C正确； 对于D，若，则， 所以点到点的距离小于等于， 故点在以为圆心，为半径的圆上或圆内， 所以原点到的距离的最大值为原点到圆心的距离加半径， 所以，D正确， 故选：ACD． 10. 已知是抛物线的焦点，M，N是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. 若，则线段MN的中点到y轴的距离为2 C. 以MN为直径的圆与C的准线相切 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点与标准方程的关系，可得A的正误；根据抛物线的定义作图，结合梯形中位线的性质，可得BC的正确；设出动点坐标，利用向量数量积为零，根据基本不等式，可得D的正误. 【详解】由题意可得，解得，A正确； 如图，作准线，垂足为，作准线，垂足为， 由抛物线性质得，所以线段MN的中点到准线的距离为， 所以线段MN的中点到轴的距离为，B正确： 由B可知，的中点到准线的距离， 以为直径的圆的半径为，当时，圆与准线相切， 所以只有当线段MN过抛物线焦点时，以为直径的圆与的准线相切，否则不正确，C错误； 设，， 若．则，，， 所以 ， 当且仅当时取等． 故选ABD． 11. 在经济增长模型中，假设某种经济指标的增长与一种特殊函数关系密切相关．定义增长正弦函数为，增长余弦函数为，增长正切函数．则（ ） A. 增长余弦函数是偶函数 B. 增长正弦函数是增函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由函数得奇偶性的定义，即可判断；对于B，由函数得单调性的性质，即可判断；对于C，由可得，从而可求得，即可判断；对于D，推导得，再结合基本不等式的应用，即可求解判断. 【详解】对于A，，故增长余弦函数是偶函数，故A正确； 对于B，的定义域为，为增函数，为减函数，故为增函数，故B正确； 对于C，若，则，解得，所以，故C错误； 对于D，， , ，， , 当且仅当时等号成立，取到最小值. 故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键需推导出，再利用基本不等式，可得，即可证得. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出与展开式中的系数，再求和即可. 【详解】因为为展开式中的系数， 展开式中的系数为， 展开式中的系数， 所以． 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为R，．若函数为奇函数，为偶函数，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，为偶函数，得到为周期函数，从而为周期函数求解. 【详解】因为函数为奇函数，为偶函数， 所以，， 则，所以为周期函数，且周期为4， 因为，所以为周期函数，且周期为4， 所以． 故答案为：2 14. 如图，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其体积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，分别交，与点，，由条件可得裁剪前，由六棱台性质可得，列方程求，再结合台体体积公式求结论. 【详解】如图，以为底边的等腰三角形的中位线为， 连接，分别交，与点，，则，分别为，的中点， 设，则由中位线和正六边形性质得，，， 折叠后形成的正六棱台如图所示，由正六边形性质得，，， 连接，则是正六棱台的高，即， 过点作，交于点， 由正六棱台结构特征可知平面， 平面，， 在中，，解得， 正六棱台的上下底面的边长分别为和， 正六棱锥上底面面积为，下底面面积为， 该正六棱台的体积为． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，， （1）求数列的前项和； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用取倒数的方法化简等式，再利用构造法可得数列为等比数列，利用等比数列求和公式，可得答案； （2）根据指数函数以及反比例函数的单调性，由复合函数的单调性可得数列的单调性，可得答案. 【小问1详解】 由，取倒数可得，令， 化简可得，则，解得， 由，则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，可得， 则. 【小问2详解】 由（1）可得，则，由，则，， 由函数上单调递减，当时，， 则在上单调递增，当时，， 由在上单调递减，则在上单调递减， 所以. 16. 如图，在直四棱柱中，，，，．点在棱上，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）若与平面所成角的正弦值是，求三角形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，根据锐角三角函数可得，即可根据线面垂直的判定求解平面，进而可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的夹角公式，利用向量共面定理求解，，，即可根据向量夹角，结合面积公式求解. 【小问1详解】 在直四棱柱中中，平面， 平面，，连接， ，， ，又， ，， ，平面，，平面， 平面，． 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，设，， 平面的法向量为，， 则，解得， 则，，， 设，，因为四点共面， 则， ，解得，，， ，为棱的中点． 所以，，， ， 所以， 所以三角形的面积． 17. 已知双曲线过点，，是双曲线的左右顶点，且． （1）求双曲线的方程： （2）直线过点交双曲线于点，，直线，交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程； （2）设直线，，，联立方程组结合设而不求法证明点在直线上，求点关于直线的对称点，结合平面几何方法求结论. 【小问1详解】 因为，是双曲线左右顶点，且，即，得， 将点代入双曲线方程得，解得， 所以双曲线方程为． 【小问2详解】 由已知可得直线的斜率不为零， 所以设直线，，， 联立直线方程与双曲线方程， 消去得， 方程的判别式， 由韦达定理得，，且， 直线，直线， 联立直线与直线方程，解得， 即直线与直线交点在直线上，点关于直线的对称点， 所以，所以， 当点在直线与直线的交点时，即点、、共线时，取到最大值． 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 18. 甲，乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛中当一方比另一方多两分比赛中止，多得两分的一方鴍得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． （1）若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当时， （i）若比赛最多进行6局（若到第6局时未分出胜负，也结束比赛），求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用，表示），无需写出过程． 【答案】（1） （2）（i）分布列见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）明确四局比赛后甲学员赢得比赛的具体情况，然后根据独立事件概率乘法公式进行运算即可求解； （2）（i）先确定X的所有可能取值，在计算每个取值对应的概率即可求得分布列，再根据期望公式计算期望即可. （ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，根据当甲，乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同结合即可求出. 【小问1详解】 4局比赛结束后甲学员赢得比赛，甲乙学员的得分情况为2：0，3：1， 若甲乙学员得分情况为2：0，概率， 若甲乙学员得分情况为3：1，概率， 所以4局比赛结束甲学员赢得比赛的概率为． 【小问2详解】 （i）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即， 由题意得X的所有可能取值为2，4，6，则， ， ， 所以X的分布列为： X 2 4 6 P 所以X的期望， 因为，所以，当且仅当时，等号成立．所以， 所以． 故的最大值为； （ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，当甲，乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同， 所以， 所以，即， 因为，所以． 19. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】（1）是上的“函数”，理由见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，结合题中定义验证即可； （2）（ⅰ）分析可知，任意的恒成立．时，可得，时，可得出，时，可得出，利用导数分析函数在区间、上的单调性，综合可得出实数的取值范围； （ii）由题意可得，．利用导数先证明：，，即证，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，求其最小值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． 【小问2详解】 （ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$