专题08三角函数图像与性质求w归类（9题型+提分快招）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题07 三角函数图像与性质求w归类 目录 题型01 求w：图像重合型 1 题型02 求w：最小平移型 2 题型03 求w：在某区间上单调型 3 题型04 求w：有轴或者中心型 4 题型05 求w：最多最少型（零点） 5 题型06 求w：最多最少型（对称轴与最值型） 6 题型07 求w：不单调型 7 题型08 求w：没有最值型 8 题型09求w：整数型 9 题型01 求w：图像重合型 【解题规律·提分快招】 决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路. 【典例1-1】 （22-23高三下·浙江·开学考试）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图像与的图像重合，则有（    ） A． B． C．是函数的对称轴 D．是函数的对称中心 【典例1-2】 （22-23高三上·河南南阳·期中）若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （全国·高考真题）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 A． B． C． D． 【变式1-2】 （22-23高一上·天津·期末）设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】 （2019·山东聊城·二模）将函数的图像向右平移个单位后与的图像重合，则的最小值为 A． B． C． D． 题型02 求w：最小平移型 【解题规律·提分快招】 可以三角函数图像公式，再借助五点画图法，可直观观察对应的最小值。 在求解最小平移时候，要结合五点图像，注意平移方向。 【典例1-1】 （2022·安徽安庆·二模）已知函数，的最小正周期为，将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2020·陕西汉中·模拟预测）已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （高二下·河北唐山·期末）把函数的图象沿轴向左平移个单位，所得函数的图象关于直线对称，则的最小值为 A． B． C． D． 【变式1-2】 （2022·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2023·河北唐山·一模）将函数(其中)的图像向右平移个单位长度，所得图像关于对称，则的最小值是 A．6 B． C． D． 题型03 求w：在某区间上单调型 【解题规律·提分快招】 正弦函数 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减 余弦函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减 【典例1-1】 （2023·湖南常德·一模）将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2023高三·湖南·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则ω的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】 （23-24高三上·湖北·期中）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2023·吉林长春·一模）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （20-21高三上·天津河北·阶段练习）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型04 求w：有轴或者中心型 【解题规律·提分快招】 正弦函数对称轴 （k∈Z）时，ymax＝1；（k∈Z）时，ymin＝－1 余弦函数对称轴 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1 正弦函数对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 余弦函数对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)； 正切函数对称中心：(，0)(k∈Z) 【典例1-1】 （22-23高一上·天津·期末）函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2020·天津·二模）若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1-1】 （2023广东·三模）已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 【变式1-2】 （高一下·广东中山·期末）已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值是 A． B． C．或 D．无法确定 【变式1-3】 （23-24高三下·天津·开学考试）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型05 求w：最多最少型（零点） 【解题规律·提分快招】 在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力. 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内有n个零点，则满足 【典例1-1】 （24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两零点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （24-25高三上·天津·期中）已知函数，在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论： ①的取值范围是； ②在区间上存在，满足； ③在区间上单调递减； ④在区间有且仅有1个极大值点； 其中所有正确结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】 （24-25高三上·天津武清·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，在上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 求w：最多最少型（对称轴与最值型） 【解题规律·提分快招】 y＝Asin(ωx＋φ)型求ω归纳： 1.已知单调区间，则必有. 2.如果两条相邻轴或者相邻中心：（或者），则必有 3.已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则 4.已知2条对称轴（或者2个对称中心），由于对称轴（或者对称中心的水平距离）为，则 【典例1-1】 （2023·天津和平·三模）已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（    ） A． B．． C． D． 【典例1-2】 （24-25高三上·浙江·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】 （24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （24-25高一上·天津武清·期末）若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 求w：不单调型 【解题规律·提分快招】 函数在区间内不单调，则该区间内必有对称轴 【典例1-1】 （24-25高三上·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．15 【典例1-2】 （2024高一上·全国·专题练习）已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式1-1】 （21-22高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-2】 （2020·全国·模拟预测）已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式1-3】 （2023·福建福州·模拟预测）函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． B． 题型08 求w：没有最值型 【解题规律·提分快招】 没有最值型： 1.如果在区间内没有最小值，则该区间内没有极小值（-1型）型对称轴。 2.如果在区间内没有最大值，则该区间内没有极大值（1型）对称轴。 3.如果在区间内没有最小值，则该区间内是先增后减型。 4.如果在区间内没有最大值，则该区间内是先减后增型。 【典例1-1】 （23-24高三上·湖南长沙·开学考试）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2023·天津·一模）若函数在区间内没有最值，有下面四个说法：（    ） ①函数的最小正周期可能为 ②的取值范围是； ③当取最大值时，是函数的一条对称轴； ④当取最大值，是函数的一个对称中心． 以上四个说法中，正确的个数是（    ） A．l B．2 C．3 D．4 【变式1-1】 （20-21高三上·四川泸州·阶段练习）已知，函数在区间内没有最值，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （·河北衡水·一模）若函数在区间内没有最值,则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1-3】 （2021高一上·江苏·专题练习）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型09求w：整数型 【典例1-1】 （2023河北衡水·一模）若将函数的图象向左平移个单位长度后的图象关于轴对称，则当取最小整数时，函数的图象的一个对称中心是 A． B． C． D． 【典例1-2】 （2023·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为.则当取最小整数时，函数在内极值点的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】 （2023·河北·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】 （2022·全国·模拟预测）已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】 （22-23高三上·广东·阶段练习）已知函数的图象的一条对称轴为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 冲高考 1．（24-25高一上·天津河西·期末）设函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·期末）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角函数图像与性质求w归类 目录 题型01 求w：图像重合型 1 题型02 求w：最小平移型 3 题型03 求w：在某区间上单调型 5 题型04 求w：有轴或者中心型 8 题型05 求w：最多最少型（零点） 11 题型06 求w：最多最少型（对称轴与最值型） 14 题型07 求w：不单调型 17 题型08 求w：没有最值型 19 题型09求w：整数型 22 题型01 求w：图像重合型 【解题规律·提分快招】 决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路. 【典例1-1】 （22-23高三下·浙江·开学考试）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图像与的图像重合，则有（    ） A． B． C．是函数的对称轴 D．是函数的对称中心 【答案】B 【分析】根据题意可得：，，然后根据三角函数的变换即可求解. 【详解】由题意，，所以， 又， 所以，，，所以为对称中心，为对称轴.故选：. 【典例1-2】 （22-23高三上·河南南阳·期中）若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对的解析式变形处理，列出等式，即可判断. 【详解】，周期，函数的图像向右平移个周期后， 得函数的图像，而，由题意，，令，得，故A错误； 令，得，故B错误；令，得，故C正确； 令，得，故D错误.故选：C. 【变式1-1】 （全国·高考真题）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的图像向右平移个单位得，所以 ，所以得最小值为． 【变式1-2】 （22-23高一上·天津·期末）设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题得即得，即得的最小值. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得， 所以∴最小值为．故选． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换和周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 【变式1-3】 （2019·山东聊城·二模）将函数的图像向右平移个单位后与的图像重合，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出函数向右平移个单位所得函数解析式，结合题意，以及三角函数的性质即可求出结果. 【详解】因为将函数的图像向右平移个单位后，可得，由题意可得，所以，, 因此，, 又，所以的最小值为.故选D 【点睛】本题主要考查三角函数图像变换问题，熟记三角函数的性质即可求解，属于基础题型. 题型02 求w：最小平移型 【解题规律·提分快招】 可以三角函数图像公式，再借助五点画图法，可直观观察对应的最小值。 在求解最小平移时候，要结合五点图像，注意平移方向。 【典例1-1】 （2022·安徽安庆·二模）已知函数，的最小正周期为，将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，先对函数进行化简，根据最小正周期为，求解出，然后根据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线对称，建立等量关系即可求解出实数m最小值. 【详解】 由其最小正周期为，有，所以， 将其图象沿轴向右平移（）个单位，所得图象对应函数为， 其图象关于对称，则有，所以， ， 由，实数的最小值为.故选：B. 【典例1-2】 （2020·陕西汉中·模拟预测）已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的性质求得，根据函数的图象变换规律，以及余弦函数图象的对称性，求得实数的最小值. 【详解】由题意，函数 可得函数的最小正周期为，所以，即， 若将其图象沿轴向右平移个单位，可得的图象， 又由所得图象关于对称，可得， 当时，可得实数的最小值为.故选：. 【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的周期性以及图象的对称性，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的性质是解答的关键，属于基础题. 【变式1-1】 （高二下·河北唐山·期末）把函数的图象沿轴向左平移个单位，所得函数的图象关于直线对称，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：，所以，因为的图象关于对称，所以，解得：，所以当时，的最小值是． 考点：1、三角函数的化简；2、函数的图象变换． 【方法点睛】解答本题需要解决三个问题，第一、对三角恒等变换公式的熟练记忆与灵活应用，本题中涉及两角和的余弦公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式；第二、三角函数图象的平移变换，值得注意的地方是图象左右平移时解析式中是纯粹的的加减某个值；第三、三角函数的对称性的应用． 【变式1-2】 （2022·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，先对函数进行化简，根据最小正周期为，求解出，然后根据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线对称，建立等量关系即可求解出实数m最小值. 【详解】解： ， 即，由其最小正周期为，即，解得， 所以， 将其图象沿轴向左平移（）个单位，所得图象对应函数为， 其图象关于对称，所以，所以 ， 由，实数的最小值为.故选：A. 【变式1-3】 （2023·河北唐山·一模）将函数(其中)的图像向右平移个单位长度，所得图像关于对称，则的最小值是 A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图象和性质，结合函数图象的变换即可得出结果. 【详解】将的图象向左平移个单位，可得 所得图象关于，所以 所以，即 由于，故当时取得最小值.故选：D 题型03 求w：在某区间上单调型 【解题规律·提分快招】 正弦函数 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减 余弦函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减 【典例1-1】 （2023·湖南常德·一模）将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由函数的图像平移变换得到函数，再根据正弦函数的图像性质得到是函数一条对称轴，从而得出（）， 结合正弦函数的周期与单调性的关系得到，即可得到答案. 【详解】由题意得：， 又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴， 所以，则（）， 函数 在上单调递增，则函数的周期， 解得，则，，故选：A. 【典例1-2】 （2023高三·湖南·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则ω的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知化简可得，然后平移可得.由已知可得，结合正弦函数的单调性可知，求解即可得出答案. 【详解】函数，将的图象向左平移个单位，得的图象， 所以.因为，，所以.又在上为增函数， 根据的单调性可知，解得，所以的最大值为2．故选：B． 【变式1-1】 （23-24高三上·湖北·期中）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象变换得的解析式，则利用函数单调性列不等式即可求得的取值范围. 【详解】函数的图像先向右平移个单位长度，得到再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像， 令，，整理得，，由于函数在上单调递增，故，，解得，， 所以，．故选：B． 【变式1-2】 （2023·吉林长春·一模）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在上恰有两个零点以及在上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案. 【详解】依题意可得， 因为，所以， 因为在恰有2个零点，且，， 所以，解得， 令，，得，， 令，得在上单调递减， 所以，所以，又，解得． 综上所述，，故的取值范围是．故选：C. 【变式1-3】 （20-21高三上·天津河北·阶段练习）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设函数的最小正周期为，根据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴， 则，其中，所以，，， 因为函数在区间上单调，则，所以，. 所以，的可能取值有：、、、、. （i）当时，，， 所以，，则，，，所以，， 当时，，所以， 函数在上不单调，不合乎题意； （ii）当时，，， 所以，，则，，，所以，， 当时，，所以， 函数在上单调递减，合乎题意.因此，的最大值为.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的最值的求解，解题的关键在于利用函数的周期确定的表达式与取值范围，再进行检验即可. 题型04 求w：有轴或者中心型 【解题规律·提分快招】 正弦函数对称轴 （k∈Z）时，ymax＝1；（k∈Z）时，ymin＝－1 余弦函数对称轴 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1 正弦函数对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 余弦函数对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)； 正切函数对称中心：(，0)(k∈Z) 【典例1-1】 （22-23高一上·天津·期末）函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由其在闭区间上递增，而在为增函数，列不等式组求的范围，又存在唯一，使得，而，即，求的范围，取交集即可. 【详解】由正弦函数性质，有，即， ∵在上单调递增，∴，则，，又，即， 又存在唯一，使得，而此时， ∴，得，综上，有.故选：B. 【点睛】关键点点睛：由区间单调性，结合正弦函数的单调区间列不等式组，在闭区间中有，其中存在唯一最大值，则，求参数范围. 【典例1-2】 （2020·天津·二模）若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合余弦函数的单调区间可得，由余弦函数的零点可得，即可得解. 【详解】当时，，又，， 函数()在区间上单调递减， ，即，解得； 令，则，即， 由，可得当且仅当时，，又函数()在区间上存在零点，，解得； 综上，的取值范围是.故选：D. 【点睛】本题考查了余弦函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 【变式1-1】 （2023广东·三模）已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由函数图象的对称中心为列方程，由整理出方程并求解，联立方程组表示出，结合及得到的范围，从而求解． 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为所以，整理得：，所以，又即：， 所以或由得：，由得：， 所以的最小值为故选A 【点睛】本题主要考查了三角函数性质，及解三角方程，注意及这个要求． 【变式1-2】 （高一下·广东中山·期末）已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值是 A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据为偶函数及可得，再由对称中心可得，结合函数的单调性可得的值. 【详解】由是偶函数，得，即， 所以对任意都成立，且，所以得． 依题设，所以解得，故. 因为的图象关于点对称，，.所以. 又在区间上是单调函数，所以，故.故或.故选：C． 【变式1-3】 （23-24高三下·天津·开学考试）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由函数的单调性转化函数周期的范围，即可求的范围，再结合函数的对称性列式，确定，再分别代入函数的解析数，由对称性求，并验证函数的单调性后，即可求解. 【详解】因为函数在内单调递减，所以，得， 因为是函数的一条对称轴，所以，① 因为函数是奇函数，所以，②， 由①②可得，，而，所以当时，，得，，因为，所以，即， 当时，，显然此时函数单调递减，符合题意， 所以当时，，得，， 因为，所以，即， 当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意， 所以.故选：B 题型05 求w：最多最少型（零点） 【解题规律·提分快招】 在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力. 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内有n个零点，则满足 【典例1-1】 （24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两零点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从函数在上恰有两个零点可得出，又函数图象的一条对称轴是，可得出，进而求得的最大值. 【详解】解：由题意可得，函数， 由于，所以； 又由在上恰有两个零点，所以，解得； 又因为函数图象的一条对称轴是，所以，即， 又且，所以当时，，故选：B． 【典例1-2】 （24-25高三上·天津·期中）已知函数，在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论： ①的取值范围是； ②在区间上存在，满足； ③在区间上单调递减； ④在区间有且仅有1个极大值点； 其中所有正确结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于A，令，求出的范围，根据 在区间上有且仅有2个零点可得的取值范围，从而得到的取值范围； 对于B，举例说明，验证存在性即可； 对于C，当时，求出的范围，判断是否在的减区间内； 对于D，根据条件，对应的也可能为一个极大值点. 【详解】对于A，因为，所以，令，则 由题意，在上有且仅有两个解和，所，解得，所以A正确；对于B，因为在上有成立， 所以在上存在，满足，所以B正确； 对于C，当时，，由于，故，此时是增函数，从而在上单调递增，所以C不正确； 对于D，对应的一定是极大值点， 所以对应的值有可能在上，所以D不正确；故选：B. 【变式1-1】 （24-25高三上·天津武清·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出范围，由交集得出最后范围. 【详解】令，则 当时，，∴，即，令，则， ∵时，，且时，，时，，时，， ∴，∴，综上，.故选：D. 【变式1-2】 （24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，在上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据诱导公式和二倍角公式，化简函数，再根据其在上恰有4个零点，可列式求的取值范围. 【详解】因为.由. 因为，且在上恰有4个零点. 所以，.故选：A 【变式1-3】 （24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简的解析式，根据三角函数的单调性、零点列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】 .，由于在区间上有且只有一个零点，所以，而， 其中，而，在区间上单调递增， 所以，解得，则.故选：D 【点睛】方法点睛：本题的解法关键在于将给定的复杂函数表达式通过三角恒等式化简为一个简单的正弦函数形式，从而利用正弦函数的零点特性和单调性来求解参数的范围. 题型06 求w：最多最少型（对称轴与最值型） 【解题规律·提分快招】 y＝Asin(ωx＋φ)型求ω归纳： 1.已知单调区间，则必有. 2.如果两条相邻轴或者相邻中心：（或者），则必有 3.已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则 4.已知2条对称轴（或者2个对称中心），由于对称轴（或者对称中心的水平距离）为，则 【典例1-1】 （2023·天津和平·三模）已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（    ） A． B．． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案. 【详解】， ，，函数在区间上恰有3个极大值点， 故，解得.故选：D 【典例1-2】 （24-25高三上·浙江·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据伸缩变换规则可得，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果. 【详解】由题可知， 当时，，若在上只有一个极大值点， 则由的图像可得， 解得，因为，所以的最大值为3.故选：B. 【变式1-1】 （24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】对于函数，极小值点为. ，令，. 因为有且仅有个极小值点. 当时，；当时，；当时，. 所以，解不等式得.  因为的单调递增区间为. 对于，令，则. 因为在上单调递增，所以. 当时，，则且. 解不等式得.   综合以上两个条件，的取值范围是.故选：D. 【变式1-2】 （24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，求出的范围，对应极小值点时，区间的右端点在上，对应单调递增，包含在区间上，分别得出的范围后取交集可得． 【详解】时，， 在有且仅有2个极小值点，则，， ，则，又在上单调递增， 则，，所以，故选：D． 【变式1-3】 （24-25高一上·天津武清·期末）若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数的对称轴为，进而可得，即得. 【详解】又可得的对称轴为， 当时，，当时，，当时，， 因，由题意，可得，故选：B 题型07 求w：不单调型 【解题规律·提分快招】 函数在区间内不单调，则该区间内必有对称轴 【典例1-1】 （24-25高三上·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】首先根据对称轴的性质求出的表达式，再根据函数的单调区间确定的范围，从而得出的最小值. 【详解】因直线是一条对称轴，所以，. 整理可得：，即，. 由，得. 则函数在上单调递增. 因为函数在区间上不单调，所以. 解得.因为，且，所以的最小值为11.故选：C. 【典例1-2】 （2024高一上·全国·专题练习）已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】根据题意，得到，此时，结合函数在区间上不单调，求得，即可求解. 【详解】由函数的图像关于轴对称，可得， 因为，可得，所以，又由，可得， 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上不单调，符合题意； 当时，可得，可得在上单调递增，不符合题意； 当时，则函数的最小正周期为，此时， 所以函数在上不是单调函数，符合题意， 所以，所以满足条件的有9个.故选：C. 【变式1-1】 （21-22高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据，得为函数的最大值，建立方程求出的值，利用函数的单调性进行判断即可． 【详解】解：对任意，都有，为函数的最大值，则，， 得，，在区间，上不单调，， 即，即，得，则当时，最小.故选：B. 【变式1-2】 （2020·全国·模拟预测）已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】由题意，是函数的最大值，可得.由，可得.对进行赋值，结合函数的单调性，即得答案. 【详解】由题意，是函数的最大值，，即． ，．当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，，符合题意.的最小值为7. 故选：D．【点睛】本题考查函数的单调性，属于基础题. 【变式1-3】 （2023·福建福州·模拟预测）函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意利用正弦函数的单调性可得，所以，利用正弦函数的周期性可求的周期，解得，即可得解． 【详解】因为 ，又因为，且，则， 若在上单调递增，所以，所以， 因为对任意的实数，在上不单调，所以的周期，所以， 所以．故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数，在上不单调与周期间的关系. 题型08 求w：没有最值型 【解题规律·提分快招】 没有最值型： 1.如果在区间内没有最小值，则该区间内没有极小值（-1型）型对称轴。 2.如果在区间内没有最大值，则该区间内没有极大值（1型）对称轴。 3.如果在区间内没有最小值，则该区间内是先增后减型。 4.如果在区间内没有最大值，则该区间内是先减后增型。 【典例1-1】 （23-24高三上·湖南长沙·开学考试）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数，由函数在上单调列式求解作答. 【详解】依题意，，函数的单调区间为， 由，而，得， 因此函数在区间上单调， 因为函数在区间内没有最值，则函数在区间内单调， 于是，则，解得， 由，且，解得，又，从而或， 当时，得，又，即有，当时，得， 所以的取值范围是.故选：B 【典例1-2】 （2023·天津·一模）若函数在区间内没有最值，有下面四个说法：（    ） ①函数的最小正周期可能为 ②的取值范围是； ③当取最大值时，是函数的一条对称轴； ④当取最大值，是函数的一个对称中心． 以上四个说法中，正确的个数是（    ） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意可知可得的取值范围，然后根据的范围逐一分析即可得解． 【详解】由得，因为在区间内没有最值， 所以，所以，所以，所以或，所以或，所以②错误；当时，， 所以，故①正确； 所以，可知是函数的一条对称轴，故③正确； 又因为，故④错误，所以正确的是①③， 故答案为：B． 【变式1-1】 （20-21高三上·四川泸州·阶段练习）已知，函数在区间内没有最值，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正弦函数的最值可得，当，时，取得最值，所以问题转化为对任意，都有，而当时，存在使得不成立，所以，排除选项，当时，存在使得，排除选项,可得选项正确. 【详解】由，，得，， 因为函数在区间内没有最值，所以对任意，都有， 当，时，，故选项不正确； 当时，存在使得，故选不正确.故选：C. 【点睛】本题考查了正弦函数的最值，属于基础题. 【变式1-2】 （·河北衡水·一模）若函数在区间内没有最值,则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间为单调区间的子集得到关于的不等式组，解不等式组可得所求． 【详解】函数的单调区间为， 由，得．∵函数 在区间内没有最值，∴函数 在区间内单调，∴， ∴，解得．由，得． 当时，得；当时，得，又，故． 综上得的取值范围是．故选B． 【点睛】解答本题的关键有两个：一是对“函数在区间内没有最值”的理解，由此可得函数在该区间内单调；二是求出函数的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化为不等式组求解，根据集合的包含关系得到不等式组时要注意不等号中要含有等号． 【变式1-3】 （2021高一上·江苏·专题练习）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由在区间没有最值得在区间上单调，求出整体的范围，分单调递增和单调递减分别解不等式，最后取并集即可. 【详解】由在区间内没有最值，知在区间上单调，由可得， 当在区间上单增时，可得，解得， 时无解，令，得，又，故； 当在区间上单减时，可得，解得，时无解，令，得，综上.故选：B. 题型09求w：整数型 【典例1-1】 （2023河北衡水·一模）若将函数的图象向左平移个单位长度后的图象关于轴对称，则当取最小整数时，函数的图象的一个对称中心是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式以及两角和的正弦公式将化为，向左平移个单位长度后的图象解析式为，根据函数图象关于轴对称，可求得，令即可得结果. 【详解】因为 ，将函数的图象向左平移个单位长度后的图象解析式为， 因为图象关于轴对称，所以，即.因为， 所以，此时，令，得， 时，对称中心为. 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由可求得函数的对称轴方程；由可求得对称中心横坐标. 【典例1-2】 （2023·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为.则当取最小整数时，函数在内极值点的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件先求出的值，得到函数的解析式，根据函数的性质求出极值点即可. 【详解】因为的一条对称轴为， 所以，①，又的一个对称中心为， 所以②，①-②得，所以， 因为，所以取最小整数值为3.当时，由②得， 因为，所以，所以. 由得的极值点为,当时，极值点在内. 故选：B. 【变式1-1】 （2023·河北·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由二倍角公式以及辅助角公式化简，进而根据为正整数，由的范围，即可结合正弦函数的单调区间进行求解. 【详解】， 由于为正整数，当时，，此时 故此时在上单调，时不符合， 当时，，此时且故此时在先增后减，因此不单调，符合， 当时，，此时， 而的周期为，此时在上不单调，符合，但不是最小的正整数，同理要求符合，但不是最小的正整数，故选：B 【变式1-2】 （2022·全国·模拟预测）已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意可得，所以，，由在区间上不单调可得在区间上有解，所以，在区间上有解，最终可得，，取值即可得解. 【详解】由函数的一个对称中心为， 可得，所以，，，， ，由在区间上不单调， 所以在区间上有解，所以，在区间上有解， 所以，所以，， 又，所以，所以， 当时，，此时的最小正整数为.故选：B 【变式1-3】 （22-23高三上·广东·阶段练习）已知函数的图象的一条对称轴为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据余弦型函数的对称性，结合导数的性质、余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由函数的一条对称轴为， 可得，所以，，，， ，由在区间上不单调，所以在区间上有解，所以，在区间上有解，所以， 所以，，又，所以，所以， 当时，，此时的最小正整数为5．故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数研究原函数的单调性是解题的关键. 冲高考 1．（24-25高一上·天津河西·期末）设函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得在上恰有3个解，结合正弦函数性质得不等式，解该不等式即可得解. 【详解】因为在上恰有3个零点， 所以在上恰有3个解，因为时，， 所以由正弦函数性质可得，解得， 所以实数的取值范围是.故选：B. 2．（天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围. 【详解】由题设有， 令，则有即. 因为在区间内没有零点， 故存在整数，使得， 即，因为，所以且，故或， 所以或， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题. 3．（24-25高一上·天津·期末）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，，可得，函数在上单调递增，得出，，即可求解． 【详解】 ，， ， 则，， 当时，由，解得，又，故； 当时，由，得无解， 同理当时，无解． 故选：B． 4．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简的解析式，根据三角函数的单调性、零点列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】 . ，由于在区间上有且只有一个零点， 所以，而， 其中，而， 在区间上单调递增，所以，解得，则.故选：D 【点睛】方法点睛：本题的解法关键在于将给定的复杂函数表达式通过三角恒等式化简为一个简单的正弦函数形式，从而利用正弦函数的零点特性和单调性来求解参数的范围. 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，求出的范围，对应极小值点时，区间的右端点在上，对应单调递增，包含在区间上，分别得出的范围后取交集可得． 【详解】时，， 在有且仅有2个极小值点，则，， ，则，又在上单调递增， 则，，所以，故选：D． 6．（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】对于函数，极小值点为. ，令，. 因为有且仅有个极小值点. 当时，；当时，；当时，. 所以，解不等式得.   因为的单调递增区间为. 对于，令，则. 因为在上单调递增，所以. 当时，，则且. 解不等式得.   综合以上两个条件，的取值范围是. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$