2025年中考数学二轮专题：一元二次方程综合测试提升卷

一元二次方程 综合测试提升卷 一、单选题 1．已知是一元二次方程的一个根，则代数式值为（   ） A．2021 B．2023 C．2025 D．2027 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故选：C． 2．关于方程85（x﹣2）2=95的两根，则下列叙述正确的是（　　） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于﹣2，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 【答案】A 【分析】利用直接开方法解方程,估计根的取值范围即可. 【详解】解85（x﹣2）2=95得 x=2=2, ∵12, ∴01, 34, 故选A. 【点睛】本题主要考查了二次方程的近似解,属于简单题,熟悉根式的估值是解题关键. 3．关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系等知识点，掌握一元二次方根的判别式点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：解得：且． 故选C． 4．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（ ） A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法 D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】要看式子的特点，先看它是几项式，再看符合哪个特点从而选择合适的方法：①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法． 【详解】解：①3x2-12=0符合ax2=b（a，b同号且a≠0）的特点所以用直接开平方法； ②3x2-4x-2=0，等号左边有3项，需要用求根公式法； ③20x2-9x-16=0，等号左边有3项，需要用求根公式法； ④3（4x-1）2=7（4x-1），可以把4x-1看做是个整体，利用因式分解法解方程， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 5．电影《长津湖》讲述了波澜壮阔的抗美援朝战争的历史，一上映就获得全国人民追捧．某镇电影院第一天票房收入约30万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达100万元，设增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，因增长率记作x，则第二天票房约为万元，第三天票房约为万元，根据三天后票房收入累计达100万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵增长率记作x，则第二天票房约为万元，第三天票房约为万元， ∴依题意得：． 故选：D． 6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 7．已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（    ） A．，4 B．，1 C．，4 D．，1 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系，一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1，的另一个根为4，利用根与系数关系得到，方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为． 【详解】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等， ∴， 解得， ∴正根为1， ∵的另一个根为4， ∴， ∴， ∵方程有一个正根为1，设另一个根为m， ∴则， ∴， ∴另一个根为， ∴的两个根分别为1，， 故选：D． 8．关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（    ） A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根 C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程根，假设出方程解的情况，当有奇数时与有偶数时，分别讨论即可求出．熟练掌握奇数、偶数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是偶数，是奇数， ∴、是偶数，是奇数，或者都是奇数； ①、是偶数，是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（偶奇偶）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（偶偶偶）奇奇右边； ∴方程没有整数解； ②都是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（奇奇奇）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（奇偶奇）奇奇右边； ∴方程没有整数解； 综上所述，方程没有整数根； 故选：A． 9．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 10．对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 【详解】， ， 方程化为一般式为， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故选：A． 11．欧几里德在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点E，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点B的新位置F，因而，类似地，在上折出点M使．下列线段中，其长度是方程的一个根的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程、勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，设，则，根据线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，化简得到，据此可得答案． 【详解】解：设，则， ∵E是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，即， ∴线段的长度是方程的一个根，即线段的长度是方程的一个根， 故选：A． 12．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 【答案】B 【知识点】分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，根据，，可得，可得是一元二次方程的两个根，根据跟与系数的关系即可解答，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 是一元二次方程的两个根， 可得， ， 故选：B． 13．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4：按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（    ） A．11 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、正方形性质理解 【分析】设小正方形的边长为，大正方形的边长为，利用图1得到一个与关系式，再利用图2得到一个与关系式，即可求出和，然后再求图3阴影面积即可. 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 ∵图1中的重叠部分为正方形，且它的面积为4 ∴重叠部分的边长为2 ∴ 整理得：①， 图2中阴影部分可以用大正方形的面积减去两个小正方形的面积加上两个小正方形重叠部分的面积，其中：由下图可知两个小正方形重叠部分的边长为：， ∴②， 将①代入②中，并整理得： 解得：（不符合实际，舍去） 此时 ∵图3中阴影部分的长为，宽为 ∴图3中两个小正方形重叠部分的面积为 故选B. 【点睛】此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键. 14．已知关于x的一元二次方程：，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的求根公式对每个选项进行一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴Δ＝4+4a， ∴①当时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误， ③方程的根为x＝， ∵， ∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确， ④当时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的求根公式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． 15．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解、根据判别式判断一元二次方程根的情况、等式的性质 【分析】本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． ①由 可得出是一元二次方程的解，进而可得出 ②由方程有两个不相等的实根，可得出结合偶次方的非负性，可得出进而可得出方程有两个不相等的实根； ③代入，可得出当时，无法得出 ④利用求根公式，可得出变形后即可得出 【详解】解： 是一元二次方程的解， 故①不符合题意； ②∵方程 有两个不相等的实根， 则在方程中， ∴方程有两个不相等的实根，故②符合题意； ③∵是方程的一个根， 若c为0， 则无法得出故③不符合题意； 是一元二次方程的根， 结论④符合题意， ∴正确的结论有②④， 故选：B． 16．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（　　）秒后，△PBQ面积为5cm2． A．0.5 B．1 C．5 D．1或5 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6﹣x，BQ＝2x，根据三角形的面积公式得出方程×（6﹣x）×2x＝5，求出即可． 【详解】解：设经过x秒钟，使△PBQ的面积为5cm2， BP＝6﹣x，BQ＝2x， ∵∠B＝90°， ∴BP×BQ＝5， ∴×（6﹣x）×2x＝5， ∴x1＝1，x2＝5（舍去）， 答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过1秒钟，使△PBQ的面积为5cm2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，用未知数表示出△PBQ的面积是解此题的关键． 二、填空题 17．二次三项式在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解的应用 【分析】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程是解题关键． 首先解关于的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解：当时， 解得：， 则． 故答案为：． 18．王超同学在解关于的一元二次方程时误将看成，结果解得，，则原方程的解为 ． 【答案】， 【知识点】方程的解、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，把代入求得，代入原方程，再解方程可得，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴原方程为， 解得：，， 故答案为：，． 19．若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、分式方程无解问题 【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算． 20．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 三、解答题 21．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求实数k的值并解这个方程； (2)若方程的两个实数根、满足，则的值为 ． 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根的判别式： （1）利用根的判别式的意义得到，则解方程得到的值，此时方程为，然后解一元二次方程即可； （2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后根据根的判别式的意义得到，从而可确定的值． 【详解】（1）解：根据题意得 解得， 此时方程为， ， 解得； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ， 整理得， 解得，， ， 解得， 的值为2． 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求k的取值范围； (2)若k满足（其中a、b、c是不为零的实数），求的值． 【答案】(1)，且 (2) 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的根可知方程的判别式大于0，且方程二次项系数不为0，据此列出不等式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）根据题意，有：， 解得：，且， 即k的取值范围为：，且； （2）∵一元二次方程有两个不相等的实数根、， ∴，， ∴， 即：的值为：． 【点睛】本题主要考查了构成一元二次方程的条件，根与系数的关系以及利用方程的根的个数求解系数的取值范围的知识，掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． 23．今年抚州市广昌县白莲喜获丰收，该县某村委会在网上直播销售A，B两种优质白莲礼包． (1)已知今年7月份销售A种白莲礼包包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为，求的值． (2)若B种白莲礼包每包成本价为30元，当售价为每包50元时，每月销量为包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种白莲礼包每包每降价1元，月销售量可增加包，当B种白莲礼包每包降价多少元时，该村销售B种白莲礼包在10月份可获利元． 【答案】(1) (2)当B种白莲礼包每包降价6元时，该村销售B种白莲礼包每包降价在10月份可获利元． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用9月份的销售量=7月份的销售量月平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出x的值； （2）设B种白莲礼包每包降价m元，则每包的销售利润为元，月销售量为包，利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为． （2）解：设B种白莲礼包每包降价m元，则每包的销售利润为元，月销售量为包，依题意得：， 整理得：， 解得：，. ∵为了尽快减少库存， ∴． 答：当B种白莲礼包每包降价6元时，该村销售B种白莲礼包每包降价在10月份可获利元． 24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？ (2)出发几秒后，线段PQ的长为4cm ? (3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 2或4秒;(2) 4 cm；(3)见解析. 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出表达式，解答出即可； （2）设经过x秒后线段PQ的长为4cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解； （3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断． 【详解】(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2， 则PB＝6－t，BQ＝2t， ∵∠B＝90°， ∴ (6－t)× 2t＝8， 解得t1＝2，t2＝4， ∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2； (2)设x秒后，PQ＝4 cm， 由题意，得(6－x)2＋4x2＝32， 解得x1＝，x2＝2， 故经过秒或2秒后，线段PQ的长为4 cm； (3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2， S△PBQ＝×(6－y)× 2y＝10， 即y2－6y＋10＝0， ∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0， ∴△PBQ的面积不会等于10 cm2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键. 25．“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元 (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）根据(国外的售价成本)销售的数量国内的6倍，列方程解出即可； （2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答． 【详解】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 26．如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽米的小门，设花圃的宽为米．    (1)若围成的花圃面积为平方米，求此时的宽； (2)能围成面积为平方米的花圃吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由直接写出______米时，花圃的面积最大． 【答案】(1)米； (2)不能，见解析；． 【知识点】配方法的应用、根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式、配方法，()由篱笆的总长度可得出花圃的长为米，根据花圃面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的最大可用长度为米，即可得出结论；()不能围成面积为平方米的花圃，根据花圃面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为平方米的花圃，利用配方法得到，故可得时花圃的面积最大；熟练掌握一元二次方程的应用以及根的判别式、配方法是解题的关键． 【详解】（1）解∵的长为， ∴长为， 由题意得， 解得，， ∵当时，，不符合题意， ∴， 答：宽是米． （2）不能． 理由：当花圃的面积是平方米时， ， 整理得，， ∵方程无实数根， ∴花圃的面积不能是平方米； ∵， ∴当，即时，花圃的面积最大， 故答案为：． 27．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为    ①， 解这个方程得：，． 当时，．∴；当时，，∴ 以原方程有四个根：，，，． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)用换元法解方程： (2)三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积． 【答案】(1)，． (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、换元法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】（1）设，直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果； （2）设，解方程，得出，进而根据完全平方公式以及勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设，原方程可变形为：， ∴因式分解为：， ∴或， ∴或， 对于方程， 解得：，， 对于方程， 移项得：， ∵， ∴上述方程无解， ∴原方程的解为：，． （2）设， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：； ∵斜边， ∴，则 ∴ ∴ 又， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程、勾股定理．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程 综合测试提升卷 一、单选题 1．已知是一元二次方程的一个根，则代数式值为（   ） A．2021 B．2023 C．2025 D．2027 2．关于方程85（x﹣2）2=95的两根，则下列叙述正确的是（　　） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于﹣2，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 3．关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 4．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（ ） A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法 D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 5．电影《长津湖》讲述了波澜壮阔的抗美援朝战争的历史，一上映就获得全国人民追捧．某镇电影院第一天票房收入约30万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达100万元，设增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（     ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 7．已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（    ） A．，4 B．，1 C．，4 D．，1 8．关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（    ） A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根 C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况 9．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 10．对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 11．欧几里德在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点E，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点B的新位置F，因而，类似地，在上折出点M使．下列线段中，其长度是方程的一个根的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 12．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 13．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4：按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（    ） A．11 B．12 C．20 D．24 14．已知关于x的一元二次方程：，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（　　）秒后，△PBQ面积为5cm2． A．0.5 B．1 C．5 D．1或5 二、填空题 17．二次三项式在实数范围内因式分解： ． 18．王超同学在解关于的一元二次方程时误将看成，结果解得，，则原方程的解为 ． 19．若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 20．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 三、解答题 21．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求实数k的值并解这个方程； (2)若方程的两个实数根、满足，则的值为 ． 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求k的取值范围； (2)若k满足（其中a、b、c是不为零的实数），求的值． 23．今年抚州市广昌县白莲喜获丰收，该县某村委会在网上直播销售A，B两种优质白莲礼包． (1)已知今年7月份销售A种白莲礼包包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为，求的值． (2)若B种白莲礼包每包成本价为30元，当售价为每包50元时，每月销量为包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种白莲礼包每包每降价1元，月销售量可增加包，当B种白莲礼包每包降价多少元时，该村销售B种白莲礼包在10月份可获利元． 24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？ (2)出发几秒后，线段PQ的长为4cm ? (3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 25．“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 26．如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽米的小门，设花圃的宽为米．    (1)若围成的花圃面积为平方米，求此时的宽； (2)能围成面积为平方米的花圃吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由直接写出______米时，花圃的面积最大． 27．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为    ①， 解这个方程得：，． 当时，．∴；当时，，∴ 以原方程有四个根：，，，． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)用换元法解方程： (2)三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D D B D A B A 题号 11 12 13 14 15 16 答案 A B B C B B 1．C 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故选：C． 2．A 【分析】利用直接开方法解方程,估计根的取值范围即可. 【详解】解85（x﹣2）2=95得 x=2=2, ∵12, ∴01, 34, 故选A. 【点睛】本题主要考查了二次方程的近似解,属于简单题,熟悉根式的估值是解题关键. 3．C 【知识点】二次根式有意义的条件、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系等知识点，掌握一元二次方根的判别式点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：解得：且．故选C． 4．D 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】要看式子的特点，先看它是几项式，再看符合哪个特点从而选择合适的方法：①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法． 【详解】解：①3x2-12=0符合ax2=b（a，b同号且a≠0）的特点所以用直接开平方法； ②3x2-4x-2=0，等号左边有3项，需要用求根公式法； ③20x2-9x-16=0，等号左边有3项，需要用求根公式法； ④3（4x-1）2=7（4x-1），可以把4x-1看做是个整体，利用因式分解法解方程， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 5．D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，因增长率记作x，则第二天票房约为万元，第三天票房约为万元，根据三天后票房收入累计达100万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵增长率记作x，则第二天票房约为万元，第三天票房约为万元， ∴依题意得：． 故选：D． 6．B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 7．D 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系，一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1，的另一个根为4，利用根与系数关系得到，方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为． 【详解】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等， ∴， 解得， ∴正根为1， ∵的另一个根为4， ∴， ∴， ∵方程有一个正根为1，设另一个根为m， ∴则， ∴， ∴另一个根为， ∴的两个根分别为1，， 故选：D． 8．A 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程根，假设出方程解的情况，当有奇数时与有偶数时，分别讨论即可求出．熟练掌握奇数、偶数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是偶数，是奇数， ∴、是偶数，是奇数，或者都是奇数； ①、是偶数，是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（偶奇偶）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（偶偶偶）奇奇右边； ∴方程没有整数解； ②都是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（奇奇奇）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（奇偶奇）奇奇右边； ∴方程没有整数解； 综上所述，方程没有整数根； 故选：A． 9．B 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 10．A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 【详解】， ， 方程化为一般式为， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故选：A． 11．A 【知识点】公式法解一元二次方程、勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，设，则，根据线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，化简得到，据此可得答案． 【详解】解：设，则， ∵E是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，即， ∴线段的长度是方程的一个根，即线段的长度是方程的一个根， 故选：A． 12．B 【知识点】分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，根据，，可得，可得是一元二次方程的两个根，根据跟与系数的关系即可解答，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 是一元二次方程的两个根， 可得， ， 故选：B． 13．B 【知识点】整式加减的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、正方形性质理解 【分析】设小正方形的边长为，大正方形的边长为，利用图1得到一个与关系式，再利用图2得到一个与关系式，即可求出和，然后再求图3阴影面积即可. 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 ∵图1中的重叠部分为正方形，且它的面积为4 ∴重叠部分的边长为2 ∴ 整理得：①， 图2中阴影部分可以用大正方形的面积减去两个小正方形的面积加上两个小正方形重叠部分的面积，其中：由下图可知两个小正方形重叠部分的边长为：， ∴②， 将①代入②中，并整理得： 解得：（不符合实际，舍去） 此时 ∵图3中阴影部分的长为，宽为 ∴图3中两个小正方形重叠部分的面积为 故选B. 【点睛】此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键. 14．C 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的求根公式对每个选项进行一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴Δ＝4+4a， ∴①当时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误， ③方程的根为x＝， ∵， ∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确， ④当时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的求根公式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． 15．B 【知识点】一元二次方程的解、根据判别式判断一元二次方程根的情况、等式的性质 【分析】本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． ①由 可得出是一元二次方程的解，进而可得出 ②由方程有两个不相等的实根，可得出结合偶次方的非负性，可得出进而可得出方程有两个不相等的实根； ③代入，可得出当时，无法得出 ④利用求根公式，可得出变形后即可得出 【详解】解： 是一元二次方程的解， 故①不符合题意； ②∵方程 有两个不相等的实根， 则在方程中， ∴方程有两个不相等的实根，故②符合题意； ③∵是方程的一个根， 若c为0， 则无法得出故③不符合题意； 是一元二次方程的根， 结论④符合题意， ∴正确的结论有②④， 故选：B． 16．B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6﹣x，BQ＝2x，根据三角形的面积公式得出方程×（6﹣x）×2x＝5，求出即可． 【详解】解：设经过x秒钟，使△PBQ的面积为5cm2， BP＝6﹣x，BQ＝2x， ∵∠B＝90°， ∴BP×BQ＝5， ∴×（6﹣x）×2x＝5， ∴x1＝1，x2＝5（舍去）， 答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过1秒钟，使△PBQ的面积为5cm2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，用未知数表示出△PBQ的面积是解此题的关键． 17． 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解的应用 【分析】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程是解题关键． 首先解关于的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解：当时， 解得：， 则． 故答案为：． 18．， 【知识点】方程的解、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，把代入求得，代入原方程，再解方程可得，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴原方程为， 解得：，， 故答案为：，． 19．或 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、分式方程无解问题 【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算． 20． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 21．(1) (2)2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根的判别式： （1）利用根的判别式的意义得到，则解方程得到的值，此时方程为，然后解一元二次方程即可； （2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后根据根的判别式的意义得到，从而可确定的值． 【详解】（1）解：根据题意得 解得， 此时方程为， ， 解得； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ， 整理得， 解得，， ， 解得， 的值为2． 22．(1)，且 (2) 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的根可知方程的判别式大于0，且方程二次项系数不为0，据此列出不等式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）根据题意，有：， 解得：，且， 即k的取值范围为：，且； （2）∵一元二次方程有两个不相等的实数根、， ∴，， ∴， 即：的值为：． 【点睛】本题主要考查了构成一元二次方程的条件，根与系数的关系以及利用方程的根的个数求解系数的取值范围的知识，掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． 23．(1) (2)当B种白莲礼包每包降价6元时，该村销售B种白莲礼包每包降价在10月份可获利元． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用9月份的销售量=7月份的销售量月平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出x的值； （2）设B种白莲礼包每包降价m元，则每包的销售利润为元，月销售量为包，利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为． （2）解：设B种白莲礼包每包降价m元，则每包的销售利润为元，月销售量为包，依题意得：， 整理得：， 解得：，. ∵为了尽快减少库存， ∴． 答：当B种白莲礼包每包降价6元时，该村销售B种白莲礼包每包降价在10月份可获利元． 24．(1) 2或4秒;(2) 4 cm；(3)见解析. 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出表达式，解答出即可； （2）设经过x秒后线段PQ的长为4cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解； （3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断． 【详解】(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2， 则PB＝6－t，BQ＝2t， ∵∠B＝90°， ∴ (6－t)× 2t＝8， 解得t1＝2，t2＝4， ∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2； (2)设x秒后，PQ＝4 cm， 由题意，得(6－x)2＋4x2＝32， 解得x1＝，x2＝2， 故经过秒或2秒后，线段PQ的长为4 cm； (3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2， S△PBQ＝×(6－y)× 2y＝10， 即y2－6y＋10＝0， ∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0， ∴△PBQ的面积不会等于10 cm2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键. 25．(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元 (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）根据(国外的售价成本)销售的数量国内的6倍，列方程解出即可； （2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答． 【详解】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 26．(1)米； (2)不能，见解析；． 【知识点】配方法的应用、根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式、配方法，()由篱笆的总长度可得出花圃的长为米，根据花圃面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的最大可用长度为米，即可得出结论；()不能围成面积为平方米的花圃，根据花圃面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为平方米的花圃，利用配方法得到，故可得时花圃的面积最大；熟练掌握一元二次方程的应用以及根的判别式、配方法是解题的关键． 【详解】（1）解∵的长为， ∴长为， 由题意得， 解得，， ∵当时，，不符合题意， ∴， 答：宽是米． （2）不能． 理由：当花圃的面积是平方米时， ， 整理得，， ∵方程无实数根， ∴花圃的面积不能是平方米； ∵， ∴当，即时，花圃的面积最大， 故答案为：． 27．(1)，． (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、换元法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】（1）设，直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果； （2）设，解方程，得出，进而根据完全平方公式以及勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设，原方程可变形为：， ∴因式分解为：， ∴或， ∴或， 对于方程， 解得：，， 对于方程， 移项得：， ∵， ∴上述方程无解， ∴原方程的解为：，． （2）设， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：； ∵斜边， ∴，则 ∴ ∴ 又， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程、勾股定理．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$