精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试题

长沙市第一中学2024—2025学年度高一第二学期入学考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分__________ 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式、分式的性质求定义域，再由集合的交运算求结果. 【详解】由，得， 由，则， 故. 故选：B 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件举反例即可判断. 【详解】当时，，，不是的充分条件， 当时，，，也不是的必要条件， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 方程的解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由函数单调递增及即可得解. 【详解】令，易知此函数为增函数， 由 . 所以在上有唯一零点，即方程的解所在的区间为. 故选B. 【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题. 4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 5. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】首先将化简为，将化简为，即可得到答案. 【详解】因为， ， 所以只需将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象. 故选：C （寒假作业） 6. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象的一条对称轴方程是 C. 图象的对称中心是 D. 函数的单调减区间为 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象求得，再由正弦函数的对称性、单调性求对称中心、递减区间，代入验证对称轴判断各项的正误. 【详解】由函数的图象，知， 所以，解得，即， 又，可得，即， 又，可得，所以，故A错误. 取到最小值，故B正确. 令，解得， 因此的对称中心是，故C错误. 令，可得， 函数的单调减区间为，即D错误. 故选：B （教材改编） 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式、对数复合函数的单调性判断的定义域和单调性，再应用对数运算、基本不等式判断的大小，进而判断函数值的大小. 【详解】因为，所以定义域为，且， 易知为减函数，为增函数，所以为减函数. ， 又，所以，则. 故选：A 8. 已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（　　） A. （﹣1，+∞） B. （﹣1，1] C. （﹣∞，1） D. [﹣1，1） 【答案】B 【解析】 【分析】由方程f（x）＝a，得到x1，x2关于x＝﹣1对称，且x3x4＝1；化简，利用数形结合进行求解即可． 【详解】作函数f（x）的图象如图所示，∵方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4， ∴x1，x2关于x＝﹣1对称，即x1+x2＝﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|＝|log2x4|， 即﹣log2x3＝log2x4，则log2x3+log2x4＝0，即log2x3x4＝0，则x3x4＝1； 当|log2x|＝1得x＝2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1； 故； 则函数y＝﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故当x3＝取得y取最大值y＝1， 当x3＝1时，函数值y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]． 故选B． 【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于中档题． 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，三个选项的每个选项2分，两个选项的每个选项3分，选错得0分） 9. 若实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据可分析出的最值；根据结合的范围可求的最值. 【详解】因为，所以，所以， 当，此时，当，此时或， 所以的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 因为，所以，所以， 当时，，当时，， 所以的最大值为，最小值为，故C错误，D正确； 故选：AD. 10. 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为.现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点距离水平地面的高度与时间（分钟）的函数为 B. 点距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为 C. 经过10分钟点距离地面35米 D. 摩天轮从开始转动一圈，点距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由条件求得，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意可知，在分钟转过的角度为， 所以以为终边的角为， 所以点距离水平地面的高度与时间的关系为，故A正确； 由，得，所以不是对称中心，故B错误； 经过10分钟，，故C正确； 由，解得，得，解得， 共20分钟，故D正确. 故选:ACD 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 最小值为 C. 在上共有4个零点 D. 在区间上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】利用奇偶函数定义可判断A；由可判断B；令，由得，结合图形可判断C；由B可知，存在，使得，此时取到最小值，可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，令|，则，当时，，故B正确； 对于C，令，则，，令，则，即，所以在上共有5个零点，故C错误； 对于D，由B可知，存在，使得，此时取到最小值， 而，故D错误. 故选：AB. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________. 【答案】1 【解析】 【分析】应用对数的运算性质，结合对数的换底公式化简求值即可. 【详解】 故答案为：1 13. 若函数的值域是，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】结合对数函数、一次函数的知识求得正确答案. 【详解】当时，， 而的值域为， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，作出可知，满足条件可最短区间长度为，最长区间长度为，由此建立关于的不等式，解出即可． 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求得取值范围， 作出与的图象，如图所示， 由图可知，满足条件可最短区间长度，最长区间长度为， ∴，解得． 故答案为：． 四､解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知角且.求下列各式的值. （1）求的值； （2）先化简，再求值. 【答案】（1）；（2）；. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式将化为，可求出，再求出，将展开即可代值求解； （2）由（1）求出，将化为与相关即可求出. 【详解】（1）， ， 舍， ， ； （2）由（1）知, , . 【点睛】本题考查和的正弦公式的应用，以及求齐次式分式的值，属于基础题. （高一月考题） 16. 已知函数. （1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （2）由题设有，应用分类讨论求对应解集. 【小问1详解】 由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）减函数；证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可. （2）利用函数单调性定义证明即可. （3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， ；，解得， ∴，而，解得， ∴，． 【小问2详解】 函数在上为减函数； 证明如下：任意且，则 因为，所以，又因为， 所以，所以， 即，所以函数在上为减函数． 【小问3详解】 由题意，，又，所以， 即解不等式，所以， 所以，解得， 所以该不等式的解集为． 18. 本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面图为矩形，它的宽为2.4米，车厢的左侧直线与中间车道的分界线相交于、，记． （1）若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好，且、也都在中间车道的直线上，直线也恰好过路口边界，求此大卡车的车长． （2）若大卡车在里侧车道转弯时对任意，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值． （3）若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度（辆/km），统计如下： 时间 7:00 7:15 7:30 7:45 8:00 里侧车道通行密度 110 120 110 100 110 外侧车道通行密度 110 117.5 125 117.5 110 现给出两种函数模型：① ②，请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点以后的平均道路通行密度（单位：辆/km）与时间（单位：分）的关系（其中为7:00后所经过的时间，例如7:30即分），并根据表中数据求出相应函数的解析式． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）通过解直角三角形，分别求出，即可求得本题答案； （2）用表示，利用换元法并结合函数的单调性，求出的最小值，即可得到大卡车车长的最大值； （3）先判断里外车道对应的模型，分别求出相应的解析式即可. 【小问1详解】 作，垂足为，作，垂足为， 因为，所以， 在中，，在中，， 在中，，在中，， 所以 【小问2详解】 因为，所以，，，， 所以 令，则， 所以，， 所以， 设，则， 所以， 易知在单调递增，且， 所以在单调递减， 所以，当，即时，取最小值， 所以，若大卡车在里侧车道转弯时对任意，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值为. 【小问3详解】 由表可得，里侧车道通行密度有最大值和最小值，适用模型， 易得，所以，又,，所以； 而外侧车道通行密度关于对称，左侧递增，右侧递减，适用模型， 易知，代入，得， 所以. 【点睛】方法点睛：对于含有和的三角函数值域问题，可以通过换元转化为熟悉的函数，如二次函数，分式函数来解答. 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.） 【答案】（1）1 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，由求解即可； （2）①设，利用为偶函数得到，再由即可求出；②化简，判断在上的单调性，利用单调性，设， 则， 化简，再求出最大值即可. 【小问1详解】 由已知，可得， 则， 则，解得， 所以实数的值为1. 【小问2详解】 ①设， 因为偶函数，所以， 由，可得， 整理可得，即，所以， 所以对任意恒成立，所以， 所以， 又因为，所以，所以， 故函数的解析式为. ②由①知. 在内任取，且， 则， 因为 ， 所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数. 设， 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 故的最大值为. 【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学2024—2025学年度高一第二学期入学考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分__________ 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 方程的解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 （寒假作业） 6. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象的一条对称轴方程是 C. 图象的对称中心是 D. 函数的单调减区间为 （教材改编） 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（　　） A. （﹣1，+∞） B. （﹣1，1] C. （﹣∞，1） D. [﹣1，1） 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，三个选项的每个选项2分，两个选项的每个选项3分，选错得0分） 9. 若实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为 10. 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为.现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点距离水平地面的高度与时间（分钟）的函数为 B. 点距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为 C. 经过10分钟点距离地面35米 D. 摩天轮从开始转动一圈，点距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 11. 已知函数，则下列结论正确有（ ） A. 偶函数 B. 的最小值为 C. 在上共有4个零点 D. 在区间上单调递减 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________. 13. 若函数的值域是，则实数a的取值范围是_________． 14. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则取值范围是________． 四､解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知角且.求下列各式的值. （1）求的值； （2）先化简，再求值. （高一月考题） 16. 已知函数. （1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式． 18. 本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面图为矩形，它的宽为2.4米，车厢的左侧直线与中间车道的分界线相交于、，记． （1）若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好，且、也都在中间车道的直线上，直线也恰好过路口边界，求此大卡车的车长． （2）若大卡车在里侧车道转弯时对任意，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值． （3）若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段平均道路通行密度（辆/km），统计如下： 时间 7:00 7:15 7:30 7:45 8:00 里侧车道通行密度 110 120 110 100 110 外侧车道通行密度 110 117.5 125 117.5 110 现给出两种函数模型：① ②，请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点以后的平均道路通行密度（单位：辆/km）与时间（单位：分）的关系（其中为7:00后所经过的时间，例如7:30即分），并根据表中数据求出相应函数的解析式． 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $