专题03 相交线与平行线压轴训练60题-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题03 相交线与平行线压轴训练60题 一、单选题 1．如图，点在上，点，分别在，的延长线上，平分交于点，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与（不含）相等的角有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 3．如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②； ③；④． 其中能判断的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 4．如图，长方形中，，第①次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第②次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，……第次平移将长方形沿的方向平移5个单位，得到长方形，若的长度为2027，则的值为（   ） A．403 B．404 C．405 D．406 5．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；其中正确的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 8．如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，，则等于（） A． B． C． D． 10．如图①是一款可坐可躺的婴儿推车，图②是其简化示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 14．如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 15．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 16．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．如图，，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 19．如图，，将沿方向平移 （），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 20．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 23．如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 24．如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 25．如图，将直线m按箭头所指方向平移至直线n，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 26．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 27．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 28．探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 29．如图，，，平分，，有下列结论：①；；；，其中正确的结论是 填写序号 30．如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 31．如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 32．如图，，F为上一点，，且平分，过点作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的是 ． 33．将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 34．如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 35．如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，若，则 ． 36．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，），当，且点E在直线的上方时，满足三角尺有一条边与斜边平行，那么此时 ．    37．如图①，边长为4的等边和等边互相重合，现将沿直线向左平移个单位，将沿直线向右平移个单位如图②所示，当､是线段的三等分点时，平移距离的值为 ． 38．如图，已知AB∥CD，∠AEC＝58°，∠FAE＝3∠BAE，∠FCE＝3∠DCE，则∠AFC＝ ． 39．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE= 度． 三、解答题 40．如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 41．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图，直线，求证： （1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由． 解：过点作直线， （ ） （已知），， （ ） （ ） ， （ ） （2）如图2，直线，若，，则 ； 【方法运用】 （3）如图，直线，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 42．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 43．已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 44．［核心素养］点在射线上，，为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图①，当点在点右侧时，求证：； (2)如图②，当点在点左侧时，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若与互余，，求的度数． 45．小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 46．（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2） 在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 47．如图，直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，且，求证：；（请写出必要的推理依据） (2)如图2，若，，平分，平分，，求的度数． 48．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 49．如图1，直线，，点在边上，且满足，并且平分． (1)求的度数． (2)如图1，若，求出的度数． (3)如图2，若平移，在平移过程中，是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由． 50．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点，分别为直线，上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，点在射线上运动． ①当点在，（不与，重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点不在线段上运动时（点与点，，三点都不重合），请你直接写出，，间的数量关系． 51．已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 52．已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 53．[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，． (1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数； (2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由； (3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 54．如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ； (2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明； (3)如图③，平分，平分，若，则 ． 55．在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：，，，．                            (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 56．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 57．如图，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)如图1，求证； (2)如图2，与的角平分线交于点P，的延长线与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，交于点Q，，求的度数． 58．（1）如图1，已知，则成立吗？请说明理由； （2）如图2，已知，BE平分，DE平分，BE、DE所在直线交点E，若，，求的度数； （3）如图3，已知，BE平分，DE平分，BE、DE所在直线交点E，若，，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 59．【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？ (2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？ 60．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相交线与平行线压轴训练60题 一、单选题 1．如图，点在上，点，分别在，的延长线上，平分交于点，且，．在不添加辅助线的条件下，图中与（不含）相等的角有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质的知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先证明，易得，；结合角平分线的性质可得，进而可得；结合，易知，进而可得，易知，即有，故在不添加辅助线的条件下，图中与相等的角有5个，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在不添加辅助线的条件下，图中与相等的角有5个． 故选：B． 2．如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可得：能判断的条件是①②③④． 故选：D． 3．如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②； ③；④． 其中能判断的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴. 故选：B 4．如图，长方形中，，第①次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第②次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，……第次平移将长方形沿的方向平移5个单位，得到长方形，若的长度为2027，则的值为（   ） A．403 B．404 C．405 D．406 【答案】B 【分析】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可． 【详解】解： ，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形… ，，， ， 的长为：； ，， ， 解得：． 故选：B． 5．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；其中正确的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可． 【详解】解：， ，，， 平分，平分， ，， ， ，， ， ， 平分， 故①正确，符合题意； ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 故选：D． 6．在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质容易得出答案． 【详解】解： ， ，即， ． ， ， ， ． 故答案为：A． 7．如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴，， ∵， ∴与不一定相等，即不一定成立， 故③错误； ∵，，， ∴，即平分， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 8．如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 9．如图，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，，则等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质和平行线的判定和性质．根据邻补角的定义求出，根据平行线的判定可得，根据平行线及角平分线的性质解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ． 故选：B． 10．如图①是一款可坐可躺的婴儿推车，图②是其简化示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 11．将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、平行线的判定，由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 12．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【详解】解：，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确；②2正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③平分，④平分不一定正确． 故选：B． 13．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，则，，从而求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 14．如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故选：B． 15．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，难度不大，熟练掌握平行线的判定是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项正确，符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意； C、第一次向右拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 16．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据矩形纸片得到，得到，，则，根据折叠的性质，得，列式计算即可． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，长方形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， 解得． 故选B． 17．如图，，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，用到的知识点为：两直线平行内错角相等．先过点E作，过点F作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 18．如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等，根据平移得出，是解题的关键． 由平移的性质可知：，，从而得出，，根据，得出，根据梯形面积公式求出结果即可． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 19．如图，，将沿方向平移 （），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 如图，记的交点为，由平移的性质可知，，，根据阴影部分的周长为，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为， 由平移的性质可知，，， ∴阴影部分的周长为（）， 故选：A． 20．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：D． 21．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；延长，交于I，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答； 【详解】解：延长，交于I． ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∴①错误；②正确， ∵平分， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③，④不一定正确． 故选：． 22．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，然后得到四边形的周长等于的周长与的和，代入数据计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴，， ∴四边形的周长的周长， 故选：． 23．如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题要作辅助线，过点作，则根据平行线的传递性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：． 【详解】解：过点作，   ， ， ，， 又， ， ． 故选：B． 【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系． 24．如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意，作图如图1，2，根据平行线的性质、三角板的度数进行计算求解即可． 【详解】解：如图1，，      ∴， ∴， 如图2，，    ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 25．如图，将直线m按箭头所指方向平移至直线n，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用平移的性质结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：过B作，    由题意可得：, ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，正确转化角的关系是解题关键． 二、填空题 26．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】/160度 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 27．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定并灵活运用． 过点作，得出，即可得，结合，得出，然后根据得出，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 28．探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 【答案】60 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． 29．如图，，，平分，，有下列结论：①；；；，其中正确的结论是 填写序号 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键； 根据平行线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：，， ， 故①正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 得，，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故③错误； ， ， 平分， ， ， ， ， 得，，故④正确； 综上，正确的结论有：①②④； 故答案为：①②④ 30．如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键． 根据平行线的性质得，，再由，即可解答． 【详解】解： ， ，， ， ， ， ． 31．如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义是解决问题的关键． ①根据得，则，再根据得，由此可对结论①进行判断； ②设，根据得，再根据比的余角小，得，则，即，过点作，则，，由此得，然后根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③设，根据得，则，由此可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据为的平分线得，然后根据可得出的度数，进而可对结论④进行判断． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②设， 由①可知， ， 比的余角小， ， 解得：， ， 过点作，如图所示： ，， ， 即， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， 设， ， ， ， 平分， 故结论③正确； ④由②可知，由③可知：， ， 为的平分线， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 32．如图，，F为上一点，，且平分，过点作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，则结论①正确； ， ， ， 则结论②正确； ，， ， ，， 但不一定等于，也不一定等于，所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误； 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 33．将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 【答案】15 【分析】本题考查平行线的判定，角的和差． 当时，，则，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转15度，即 34．如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【答案】 /36度 /72度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 35．如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，若，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得出，，根据已知条件得出，进而得出． 【详解】解：如图所示，    根据折叠可得，， 设 ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即 又∵，即 解得：， ∴ 故答案为：． 36．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，），当，且点E在直线的上方时，满足三角尺有一条边与斜边平行，那么此时 ．    【答案】或或 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，分类讨论、、，画出对应的图形，理由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图1：当时：    则 ∵ ∴ 如图2：当时：    此时： 如图3：当时：延长交于点    则 ∴ ∴ 综上所述： 或或 故答案为：或或 37．如图①，边长为4的等边和等边互相重合，现将沿直线向左平移个单位，将沿直线向右平移个单位如图②所示，当､是线段的三等分点时，平移距离的值为 ． 【答案】1或4 【分析】分点E、C的位置不同，两种情况来考虑，根据线段间的关系结合BC=4即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】E、C是线段BF的三等分点分两种情况： ①点E在点C的左边时，如图1所示． ∵E、C是线段BF的三等分点， ∴BE=EC=CF， ∵BC=4，BE=2m， ∴2m=4÷2，解得：m=1； ②点E在点C的右边时，如图2所示． ∵E、C是线段BF的三等分点， ∴BC=CE=EF， ∵BC=4，BE=2m， ∴2m=4×2，解得：m=4． 综上可知：当E、C是线段BF的三等分点时，m的值为1或4． 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 38．如图，已知AB∥CD，∠AEC＝58°，∠FAE＝3∠BAE，∠FCE＝3∠DCE，则∠AFC＝ ． 【答案】128° 【分析】过点E作EM//AB，过点F作FN//AB，利用平行线的性质可得出∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，∠3+∠FAB=180°，∠4+∠FCD=180°，可得∠3+∠4=360°-（∠FAB+∠FCD），由∠FAE=3∠BAE，∠FCE=3∠DCE可得出∠EAB=∠FAB，∠ECD=∠FCD，结合∠AEC=∠1+∠2可得出∠AEC=(∠FAB+∠FCD)=58°，可求出∠FAB+∠FCD的度数，即可求出∠AFC的度数． 【详解】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图所示． ∵EM//AB，AB//CD， ∴EM//CD， ∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，． 同理，可得：∠3+∠FAB=180°，∠4+∠FCD=180°． ∴∠3+∠4=360°-(∠FAB+∠FCD)， 又∵∠FAE=3∠BAE，∠FCE=3∠DCE，， ∴∠EAB=∠FAB，∠ECD=∠FCD． ∴∠AEC=(∠FAB+∠FCD)=58°， ∴∠FAB+∠FCD=232°， ∴∠AFC=∠3+∠4=360°-(∠FAB+∠FCD)=360°-232°=128°． 故答案为：128°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 39．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE= 度． 【答案】20 【分析】由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，又由CF∥DE，所以∠CDE=∠DCF． 【详解】解：过点C作CF∥AB， 已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同， ∴AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠BCF+∠ABC=180°， ∴∠BCF=60°， ∴∠DCF=20°， ∴∠CDE=∠DCF=20°． 故答案为：20． 【点睛】此题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解． 三、解答题 40．如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗?为什么? (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据同旁内角互补，两直线平行进行推理证明； （2）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）已证 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 41．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图，直线，求证： （1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由． 解：过点作直线， （ ） （已知），， （ ） （ ） ， （ ） （2）如图2，直线，若，，则 ； 【方法运用】 （3）如图，直线，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换（2）（3），理由见详解（4） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据平行线的判定与性质求解即可； （4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：过点作直线， （两直线平行，内错角相等） （已知），， （两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （两直线平行，内错角相等） ， （等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换 （2）如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： （3）， 理由如下：如图，过点作， ， ，， ， ， ； （4）如图所示， 由（2）知，， ， ， 的平分线和的平分线交于点， ，， ， 由（1）知：； 42．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为6． 43．已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，进而求解即可； （3）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理（1）可得，， ，， ， ∵平分，平分， ，， ， 同理（1）可得，； （3）解： 如图，过点作， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 由（1）可得，． 44．［核心素养］点在射线上，，为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图①，当点在点右侧时，求证：； (2)如图②，当点在点左侧时，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若与互余，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平分线的判定及性质，角平分线的有关计算，互余的定义，一元一次方程的应用等； （1）由角平分线的定义及平行线的判定方法得，由平行线的性质得，由等量代换得，由平行线的判定方法即可得证； （2）过点作，交于点．由（1）同理可证，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可得证； （3）设，由角平分线的定义及补角的定义得，由角的和差得 ，由平行线的性质得 ，可得，求出，由互余的定义得，即可求解； 掌握平分线的判定及性质，能熟练进行角平分线的有关计算，并利用一元一次方程进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，交于点． 由（1）同理可证， ， ， ． ， ； （3）解：平分， 设， 又平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与互余， ， ， ， ， ． 故的度数为． 45．小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点构造平行线： （1）过点作，利用平行线的性质和角的和差关系即可得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结果； （3）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：成立．理由： 如图，过点作． ， ， ，， ． （2）如图，过点作． ， ． ， ． 平分， ， ． 平分，， ， ， ． （3）如图，过点作． ， ． 平分，平分， ，， ，， ，， ． 46．（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）C；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质及角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及等式的的性质求解即可； （2）过点作，再根据平行线的性质与判定求解； （3）利用（1）（2）的结论及角平分线的定义求解． 【详解】解：（1）， ，， ， 故选：C； （2）． 理由：过点作，点在点的左侧， ． ， ， ， ； （3）． 理由：，分别平分和， ，． 由（1）可得， ， 即． 由（2）可得， ． 47．如图，直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，且，求证：；（请写出必要的推理依据） (2)如图2，若，，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义． （1）由平行线的性质求得，再由同角的余角相等求得，据此即可证明； （2）利用角平分线的定义求得，利用平行线的性质求得，利用邻补角的性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 48．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 49．如图1，直线，，点在边上，且满足，并且平分． (1)求的度数． (2)如图1，若，求出的度数． (3)如图2，若平移，在平移过程中，是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平移的性质，角平分线的性质等知识点， （1）由平行线的性质和可得，由角平分线的性质可得，然后利用角度进行计算即可得解； （2）设，用含x的代数式表示出，再由得出含x的方程，解方程即可得解； （3）设，用含x的代数式表示出和，然后求其和即可得解； 熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 50．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点，分别为直线，上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，点在射线上运动． ①当点在，（不与，重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点不在线段上运动时（点与点，，三点都不重合），请你直接写出，，间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②当在延长线时，；当在之间时，． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定， （1）过作，则，根据平行线的性质得出，，进而根据，即可求解； （2）①同（1）即可求解； ②当在延长线时，过作交于，结合图形可得．当在之间时，过作交于，同理可得． 【详解】（1）解：过作，则， ∴， ∴，， ∴． （2）①当点在（不与重合）两点之间运动时，设 过点作， ∴， ∴， ∴．   ②当在延长线时，． 过作交于， ∵， ∴ ∴， ∴    当在之间时，   过作交于， ∵ ∴ ∴, ∴ ∴ 51．已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 52．已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用： （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）①过P作，根据，可得，，进而得到； ②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过P作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点K， ， ； （3）解：①如图3，过P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图3，过K作， ， ， ，， ， 由①知，， 与的角平分线相交于点K， ， ． 53．[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，． (1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数； (2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由； (3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理． （1）根据∠1、及∠3的和为180°可求出∠3，根据平行线的性质解答； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论； （3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图（1）． ，， ． ， ． （2）解：如图（2），过点作， 在中，，， ． ，， ， ，． ． ． ． （3）解：． 理由如下：如图（3），过点作， ． 平分，， ，． ， ，． ． ， ． ． ． 54．如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ； (2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明； (3)如图③，平分，平分，若，则 ． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质等； （1）过点P作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； （2）过点P作，同理可得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； （3）延长交于点H，过点G，作，同理可得：，由平行线的性质得，，，由角的和差得 ，由三角形内角和及邻补角的定义得，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，解决这类问题的典型做法：作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， 又，， ， ， ； 故答案：； （2）解：； 理由如下： 过点P作， 同理可得：， ， ， ， ； （3）解：延长交于点H，过点G，作， 同理可得：， ， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 55．在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：，，，．                            (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)，理由见详解 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）过点作直线，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作， 则， ， ， ， ， 又， ； （3）解：，理由如下： 如图3，过点作直线， ， ， ，， ， ． 56．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）过M作，过N作，则，得到，，，由可得，计算得到； （3）作，，，由推出，即，由，推出，据此即可解答． 【详解】（1）证明：如图（1）过作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 如图（2）：过M作，过N作，    ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴； （3）解：． 作，，，    ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即． 57．如图，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)如图1，求证； (2)如图2，与的角平分线交于点P，的延长线与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，交于点Q，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，找出角度之间的关系是解题关键． （1）根据同位角相等，即可证明结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质，得出，进而得到，再利用平行即可证明结论； （3）设，则，，根据平行线的性质，得到，进而得出，再结合角平分线的定义，得到，由（2）得：，解得，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， 设，则，， ， ， ， 又平分， ， 由（2）得：， ， 解得：， ． 58．（1）如图1，已知，则成立吗？请说明理由； （2）如图2，已知，BE平分，DE平分，BE、DE所在直线交点E，若，，求的度数； （3）如图3，已知，BE平分，DE平分，BE、DE所在直线交点E，若，，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】（1）成立，理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过点E作，从而得，由平行线的性质可得,从而可求解； （2）过点E作，由平行线的性质可得，再由角平分线的定义得，从而可求，则可求的度数； （3）过点E作，由角平分线的定义得，，再由平行线的性质得到，从而可求得． 【详解】解：（1）成立， 理由：如图1中，作，则有， ，， ； （2）如图2，过点E作， ，，， ∵DE平分，，， 同理可求， ，， ，， ； （3）如图3，过点E作， ∵BE平分，DE平分，，， ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 59．【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？ (2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？ 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换、平角的概念即可得证； （2）根据平行线的性质、平角的概念及等量代换即可求得答案． 【详解】（1）证明：由题可知，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴； （2）， 由题可知，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的概念，能够将实际问题转化为我们所学的数学知识是解题的关键． 60．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，10，，，40 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，根据题意分情况分析，建立方程求解是解题关键． （1）过点E作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （2）过点F作交于点K，根据平行线的判定和性质得出，设，，结合图形及等量关系即可得出结果； （3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析求解即可 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴ 则， ∵， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图所示： ， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置时， ，， 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： ， ∴， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： 同理得：， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，，，40． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$