专题02 等边三角形重难点题型归纳（四大类型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题02 等边三角形重难点题型归纳（四大类型） 【题型1 等边三角形性质综合问题】 【题型2 等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【题型3 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型4 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 等边三角形性质综合问题】 1．如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，根据等边三角形三线合一可得，再根据作图可知，进一步可得的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：在等边中，， 是边上的高， 平分， ， ， ， 故选：C． 2．如图，是等边的中线，作，交的延长线于点C．若，则的长为（   ） A．8 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等角对等边，由等边三角形的性质得出，，，求出，推出，进而求出的长即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是等边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．如图，直线，是等边三角形，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，再利用即可求解． 【详解】解：如图， 直线， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 4．如圈，是等边三角形，点是的中点，，．则的长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后根据线段中点的定义可得，由此即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 点是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 5．下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（   ） A．等边三角形的三边都相等 B．等边三角形的三个内角都是 C．等边三角形有三条对称轴 D．等腰三角形具有等边三角形的性质 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质及联系；根据等边三角形，等腰三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的性质，D选项错误；符合题意． 其他选项均正确． 故选：D． 6．如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，⋯均为等边三角形，若，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键，根据等边三角形和三角形外角性质，含角的直角三角形的性质推出，即可求出的周长． 【详解】解：为等边三角形， ，， ，， ， 同理， ， ， ， ， ， ， ， 同理：， 以此类推得到：， 的周长为 故选：D． 7．如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间最小的三角形的边长是3，则最大的等边三角形的边长为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——图形边长．熟练掌握各个等边三角形边长之间的数量关系，是解题的关键． 设最大最大的等边三角形的边长为x，则左下面的等边三角形的边长为：，根据最大的等边三角形的边长为左下面的等边三角形的边长的2倍列方程解答． 【详解】解：设最大最大的等边三角形的边长为x， 则右上面的等边三角形的边长为：， 右下面的等边三角形的边长为：， 左下面的等边三角形的边长为：， ∵最大的等边三角形的边长为左下面的等边三角形的边长的2倍， ∴， 解得． 故选：A． 8．如图，在等边边上取D、E两点，沿折叠，使点A落在边上的点F的位置，若，则 ．    【答案】/45度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 先根据等边三角形的性质求出相关角度，再利用折叠性质得到角的等量关系，最后通过三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图所示，在等边中，和的平分线相交于O点，过O作，交于点E，F，则的周长为 ． 【答案】3 【分析】根据等边三角形得到，再根据平行线和角平分线可得到、是等腰三角形，那么的周长为． 【详解】解：∵在等边中，， ∴， ∵平分， ∴ ∵过O作， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴的周长为， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，得到，是解题的关键． 10．如图，是等边三角形，在边的右侧作等腰直角，连接，则的度数为 ． 【答案】45°/度 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，得到，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解： 是等边三角形， ，， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，是等边三角形，点是延长线上一点，于点，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是等边三角形得，，根据垂直的定义得，从而求出，根据等角对等边得，根据所对直角边是斜边的一半得，设，则，，然后求出的值即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由，设，则，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【题型2 等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 12．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）本题要先得到，再根据全等三角形的性质即可得到． （2）根据（1）中，得到，再根据三角形外角的性质和等边三角形每个内角是，得到，即可求解得到的长． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，． ∴在和中， ， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，理解并掌握以上知识是解答本题的关键． 13．探究与证明 【图形呈现】如图1、图2，在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． 【初步探究】（1）如图1，当点是中点时，求证：． 【拓展探究】（2）当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． 【深度探究】（3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）当点为上任意一点时，．理由见解析；（3）的长是或 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，再由等腰三角形的性质等，然后证，即可得出结论； （2）过点作交于点，则，，再证是等边三角形，得，然后证，得，即可得出结论； （3）分两种情况，①点在上时，证，，则，，得； ②点在的延长线上时，证，，则，，得；即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 点是中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作交于点， 则，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时， ，， ， ， ， ，， ，， ， ； ②如图4，点在的延长线上时， ，， ， ， ， ，， ， ，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．如图1，等边中，点P，Q分别是边的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且运动速度相同，连接交于点M． (1)求证：； (2)当点P运动到什么位置时，是等边三角形？说明理由； (3)当点P，Q分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； (4)如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【答案】(1)见解析 (2)当为中点时，是等边三角形，见解析 (3)不变， (4)不变， 【分析】此题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用证明； （2）当为中点时，，，得是等边三角形； （3）由根据全等三角形的性质可得，从而得到； （4）由根据全等三角形的性质可得，从而得到 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 点运动速度相同， ， 在与中， ； （2）解：当为中点时，是等边三角形．理由是： 为中点，， ， 又， 是等边三角形； （3）解：不变．理由是： ， ， 是的外角， ， ， ； （4）解：不变．理由是： 同理可得，， ， 是的外角， ， ， 即若点在运动到终点后，继续在射线上运动，的度数为120°． 15．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含的代数式表示出、，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法． （1）用含的代数式表示出、，由于，当时，为等边三角形，列式求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，时，利用直角三角形中，含角的边的关系，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； ∴当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 16．如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从,两点出发，分别沿，方向匀速移动． (1)若点的运动速度是，点的运动速度是，当点到达点时，，两点都停止运动，设运动时间为，当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，且当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为，则当为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)是等边三角形，见解析 (2)当的值为2或4时，是直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定和几何动点问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质得到,,当时，计算、的长度，根据等边三角形的判定可得结论； （2）若是直角三角形，则或,根据含角的直角三角形的性质“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，列方程求解即可． 【详解】（1）是等边三角形，理由如下： 当时，，． ∵是边长为的等边三角形， ∴,, ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）在中，，， ①当时，，， 则， ∴， 解得：． ②当时，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，当的值为2或4时，是直角三角形． 17．如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题． (1)_________；_________；（用含t的代数式表示） (2)如图①，点P与点Q运动的过程中，能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理． (3)如图②，点D是的中点，连接、，点P、点Q在运动过程的某一时刻与全等，求此时的长． 【答案】(1)； (2)能， (3)cm 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，几何动点问题，解题的关键是： （1）根据路程=速度×时间即可求解； （2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出方程，可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：，； （2）解∶能， 理由如下：∵是等边三角形． ∴， ∴当时，是等边三角形． 即 解得 因此当时，是等边三角形； （3）解：设点P、点Q运动t秒后，与全等． 由题意可得，， ∵是等边三角形，点D是的中点 ∴，， ①当时，， 即， 解得， ∴； ②当，时，， 即， 这两个方程组无解且不符合题意，故不满足， 综上，当时，． 【题型3 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 18．综合与实践 问题情境： 已知在等边中，是边上的一个定点．是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接． 猜想证明： （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，试猜想，，之间的数量关系．并说明理由． 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．求的长． （3）如图3，当点在的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键： （1）证明是等边三角形，得到，证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）过点作，交于，同（1）法证明，即可得出结果； （3）过点作，交于，同（1）法，即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下， 和是等边三角形， ，，， ， ，， ∴， 是等边三角形， ． ． ， ， ， ； （2）如图2，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ， ，． 是等边三角形， ． ， ， ， ． ， ． ． （3）． 如图，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ． ，． 是等边三角形． ． ， ， ， ， ． 19．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 【题型4 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 20．如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】过点作，交于，先证是等边三角形，再证，得，设，设，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于， ∵是等边三角形， ， ， ，， ∴是等边三角形， ， ∵点为中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 21．数学活动课上，张老师带领同学们研究动点问题中线段长度的变化规律．如图1，△是边长为8的等边三角形，，分别是边和边延长线上的动点，且，连接交边于点 (1)如图2，过点作交边于点，洛洛说：“在点，运动的过程中，线段和的长度也随之变化，但始终有．”你同意洛洛的说法吗？若同意，请证明；若不同意，请说明理由； (2)如图3，过点作于点，阳阳提出了一个新的问题：“在点，运动的过程中，线段的长度是否发生变化？”请你结合（1）中的结论帮阳阳解决这个问题，如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)同意，证明见解析； (2)不变，始终为4． 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用证明和全等解答． （1）根据等边三角形的性质得出，，进而利用证明和全等解答即可； （2）过点作交边于点，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：同意．证明如下： 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形． ． ， ． 在和中， ， ， ； （2）如图，过点作交边于点， 由（1）知，． 在等边中，， ． ， 即线段的长度不变，始终为4． 22．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 23．在等边三角形中，D为所在直线上的一个动点，E为延长线上一点，． (1)如图1，若点D在边上，求证：． (2)如图2，若点D在边的延长线上，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）过点作，交于点，根据等边三角形的判定也是等边三角形，然后利用即可证出，根据全等三角形的性质可得，从而证出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的判定也是等边三角形，然后利用即可证出，根据全等三角形的性质可得，从而证出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交于点． ∵是等边三角形，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点．   ∵是等边三角形，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质是解决此题的关键． 24．在边长为9的等边三角形中，点P是上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若点Q是上一定点，，，求t的值； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形？ 【答案】(1)3 (2)当时，为等边三角形． 【分析】本题属动点问题，考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键. （1）由平行线的性质得，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 是等边三角形，， ，， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：，则， ， 解得：， 当的值为3时，； （2）解：①当点在边上时， 此时不可能为等边三角形； ②当点在边上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ， 即：，解得：， 当时，为等边三角形． 25．如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； (2)如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； (3)当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)全等，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可求出，根据等边对等角可求出，根据三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边可得出，即可得出结论； （2）过D作交于F，证明是等边三角形，得出，结合可得出，根据等边对等角得出，结合，，可得出，然后根据证明即可； （3）过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接，由（1）知：，根据含角的直角三角形的性质求出，，则，故当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合，然后根据平行线间的距离求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：全等 理由：∵是等边三角形， ∴，， 过D作交于F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合， ∵，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形、全等三角形是解题的关键． 26．等边中，分别是上的动点，以为边作等边； (1)当点在上时， ①如图1，求证：； ②如图2，和的延长线交于，若，求证：为中点； (2)如图3，若点、在运动过程中，始终满足，试探究的度数是否发生变化？若不变，求出的度数并直接写出时，的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据等边三角形的性质，三角形的外角的性质，利用，即可得证； ②等边对等角，结合全等三角形的性质，推出，即可得证； （2）过点做分别交于点M、N，易得为等边三角形，进而得到，同法（1）可得，等边对等角，结合三角形的外角，求出，利用含30度的直角三角形的性质结合等边三角形的判定和性质，推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：等边和等边中， ， ， 和中 ， ； ②，， ， ， ， ， ， ， 为中点； （2）的大小不变， 过点做分别交于点M、N， ， 为等边三角形， ， 即， 同法（1）可得： ， ， ， （为中点）， ， ， 当时， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等边三角形重难点题型归纳（四大类型） 【题型1 等边三角形性质综合问题】 【题型2 等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【题型3 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型4 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 等边三角形性质综合问题】 1．如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则（   ）    A． B． C． D． 2．如图，是等边的中线，作，交的延长线于点C．若，则的长为（   ） A．8 B．4 C．5 D．6 3．如图，直线，是等边三角形，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如圈，是等边三角形，点是的中点，，．则的长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（   ） A．等边三角形的三边都相等 B．等边三角形的三个内角都是 C．等边三角形有三条对称轴 D．等腰三角形具有等边三角形的性质 6．如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，⋯均为等边三角形，若，则的周长为（ ） A． B． C． D． 7．如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间最小的三角形的边长是3，则最大的等边三角形的边长为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 8．如图，在等边边上取D、E两点，沿折叠，使点A落在边上的点F的位置，若，则 ．    9．如图所示，在等边中，和的平分线相交于O点，过O作，交于点E，F，则的周长为 ． 10．如图，是等边三角形，在边的右侧作等腰直角，连接，则的度数为 ． 11．如图，是等边三角形，点是延长线上一点，于点，交于点，若，，则的长为 ． 【题型2 等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 12．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 13．探究与证明 【图形呈现】如图1、图2，在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． 【初步探究】（1）如图1，当点是中点时，求证：． 【拓展探究】（2）当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． 【深度探究】（3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 14．如图1，等边中，点P，Q分别是边的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且运动速度相同，连接交于点M． (1)求证：； (2)当点P运动到什么位置时，是等边三角形？说明理由； (3)当点P，Q分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； (4)如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 15．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 16．如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从,两点出发，分别沿，方向匀速移动． (1)若点的运动速度是，点的运动速度是，当点到达点时，，两点都停止运动，设运动时间为，当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，且当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为，则当为何值时，是直角三角形？ 17．如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题． (1)_________；_________；（用含t的代数式表示） (2)如图①，点P与点Q运动的过程中，能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理． (3)如图②，点D是的中点，连接、，点P、点Q在运动过程的某一时刻与全等，求此时的长． 【题型3 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 18．综合与实践 问题情境： 已知在等边中，是边上的一个定点．是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接． 猜想证明： （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，试猜想，，之间的数量关系．并说明理由． 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．求的长． （3）如图3，当点在的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系． 19．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【题型4 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 20．如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 21．数学活动课上，张老师带领同学们研究动点问题中线段长度的变化规律．如图1，△是边长为8的等边三角形，，分别是边和边延长线上的动点，且，连接交边于点 (1)如图2，过点作交边于点，洛洛说：“在点，运动的过程中，线段和的长度也随之变化，但始终有．”你同意洛洛的说法吗？若同意，请证明；若不同意，请说明理由； (2)如图3，过点作于点，阳阳提出了一个新的问题：“在点，运动的过程中，线段的长度是否发生变化？”请你结合（1）中的结论帮阳阳解决这个问题，如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 22．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 23．在等边三角形中，D为所在直线上的一个动点，E为延长线上一点，． (1)如图1，若点D在边上，求证：． (2)如图2，若点D在边的延长线上，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． 24．在边长为9的等边三角形中，点P是上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若点Q是上一定点，，，求t的值； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形？ 25．如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； (2)如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； (3)当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 26．等边中，分别是上的动点，以为边作等边； (1)当点在上时， ①如图1，求证：； ②如图2，和的延长线交于，若，求证：为中点； (2)如图3，若点、在运动过程中，始终满足，试探究的度数是否发生变化？若不变，求出的度数并直接写出时，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$