1.1等腰三角形同步强化练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.1等腰三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A．240° B．120° C．170° D．360° 2．的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 3．如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE﹔②BF＝DE，③∠BFE＝∠BAE：④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（    ）个   A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，直线∥，AB=BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA=25°，则∠1的度数为（   ） A．70° B．65° C．60° D．55° 5．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC为等边三角形，则∠BEA为(        ) A．45° B．60° C．75° D．以上都不对 6．如图，内有一点D，且，若，则的大小是(   ) A． B． C． D． 7．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法中正确的个数是（    ） ①直角三角形只有一条高；②多边形的外角和等于；③三角形的外角大于任何一个角；④如果两个三角形中两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等；⑤各边都相等的多边形是正多边形；⑥等边三角形是等腰三角形；⑦有两边和一角分别相等的两个三角形全等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，在直线上，点，，在轴上，，，都是等腰直角三角形，若已知点，则点的纵坐标是（  ） A． B． C． D． 10．如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（　　） A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0） 11．等腰三角形的顶角为150°,则它的底角为(    ) A．30° B．15° C．30°或15° D．50° 12．如图，等腰，，点是的中点，点为线段上一动点，连结、．设，的面积为，若关于的函数表达式为，则的长度为（   ） A． B．5 C． D． 二、填空题 13．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为 ． 14．如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点于点．若，则 ． 15．如图，，，，，若，，且长为奇数，则的长为 ． 16．如图，直线分别与，轴交于A，两点，A点坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，动点从点出发沿射线运动，运动的速度为每秒一个单位长度，设点运动时间为，当为等腰三角形时，的值为 . 17．长是4米的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了 米 三、解答题 18．如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABC，设点C的坐标为． (1)动点A在运动过程中，求的值； (2)当时，求出点C的坐标； (3)在（2）的条件下，，在x轴上是否存在一点P，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)当时，求的度数． 20．如图，D是等边的边上一点，E是延长线上一点，连接交于点F，过D点作于点G．    (1)证明：； (2)若，求证：． 21．如图，在等边三角形的，边上各取一点，，使，连接，相交于点．求的度数． 22．如图，已知在中，，是上一点，延长至点，使．连接交于点，求证：． 23．如图，和均是边长为2的等边三角形，E，F分别是上的两个动点，且满足． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 24．如图，是一个直角三角形，其中，垂足分别是，那么的长是多少？ 《1.1等腰三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B C A A B D C 题号 11 12 答案 B D 1．A 【分析】本题考查等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 故选A． 2．A 【分析】本题考查了等边三角形的判定、偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握等边三角形的判定是解题关键．根据偶次方和绝对值的非负性可得，从而可得，再根据等边三角形的判定即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的三边长分别为，，， ∴是等边三角形， 故选：A． 3．C 【分析】由“”可证，由全等三角形的性质和外角性质可依次判断即可求解． 【详解】解：，，， ， ，，， ， ，故①符合题意， ， ，故④符合题意， ， ， ，故③符合题意， 由题意无法证明，故②不合题意， 故正确为：①③④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 4．B 【分析】根据垂线的定义和三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据等腰三角形的性质可求∠BCA的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DCA＝25°， ∴∠BAC＝65°， ∵AB＝BC， ∴∠BCA＝65°， ∵∥， ∴∠1＝65°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 5．C 【分析】由四边形ABCD是正方形，（即各边相等，各内角都是90°）△ABC为等边三角形，易得AB=BE，且∠ABE=30°，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，△EBC为等边三角形， ∴AB=BC，BE=BC，∠ABC=90°，∠EBC=60°， ∴AB=BE，∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°， ∴∠BEA=∠BAE=75°． 故选C． 【点睛】此题考查了正方形的性质以及等边三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 6．A 【分析】如果延长BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，所以，又，根据等腰三角形等边对等角的性质得出，进而得出结果． 【详解】延长BD交AC于E． ， ． 又， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 7．A 【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠3＝180°−40°−60°＝80°， ∵， ∴∠1＝∠3＝80°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质． 8．B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质、三角形的中线性质，全等三角形的性质及三角形全等的判定等，根据相关知识逐项判断是解决问题的关键． 【详解】解：①直角三角形只有三条高，故原说法错误； ②多边形的外角和等于，故说法正确； ③三角形的外角大于任何不相邻的内角，故原说法错误； ④如果两个三角形有两条边和其中一边中线分别相等，那么这两个三角形全等， 如图，，，中线中线，    ∴， ∴， ∴， ∴，故说法正确； ⑤各边各角都相等的多边形是正多边形，故原说法错误； ⑥等边三角形是等腰三角形，故说法正确； ⑦有两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，故原说法错误； 综上，说法正确的有：②④⑥，共3个， 故选：B． 9．D 【分析】作x轴， x轴， x轴，设纵坐标为m，再根据等腰直角三角形的性质，将坐标表示为，代入直线解析式算出m，再用同样的方法设，代入解析式求出n． 【详解】解：如图，作x轴， x轴， x轴， 把代入，求出，则直线解析式是， 已知，根据等腰直角三角形的性质，得到， 设纵坐标为m，，，得，代入直线解析式，得，解得， 设纵坐标为n，，，得，代入直线解析式，得，解得． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和几何综合，解题的关键是抓住等腰直角三角形的性质去设点坐标，再代入解析式列式求解． 10．C 【分析】根据直线解析式确定，∠AOP1＝45°，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得前面几个点的坐标，找出规律即可求解． 【详解】解：∵直线OA的解析式为y＝x， ∴∠AOP1＝45°， ∵PQ1⊥x轴， ∴△OP1Q1为等腰直角三角形， ∵点P1坐标为（1，0）， ∴P1Q1＝OP1＝1， ∵P2Q1⊥OA， ∴∠P1Q1P2＝45°， ∴△P1P2Q1为等腰直角三角形， ∴P1P2＝P1Q1＝1， ∴P2（2，0）， 同理可得P3（4，0），P4（8，0），……，Pn（2n﹣1，0）， ∴P100（299，0）， 故选：C． 【点睛】此题考查了坐标类规律的探索问题，涉及了正比例函数的性质、等腰直角三角形的性质。解题的关键是根据题意，利用性质找出前面几个点的坐标，正确找出规律，然后求解． 11．B 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可解答. 【详解】∵等腰三角形的顶角为150°， ∴等腰三角形底角的度数为：. 故选B. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解决问题的关键. 12．D 【分析】根据题意得到当时，，求出，时，，求出的面积，过点A作于点E，然后求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵设，的面积为，若关于的函数表达式为， ∴当点P和点C重合时，的面积为0， 即当时， 解得 ∴此时 当点P和点B重合时，即时， ∴此时的面积为6，即的面积为6， ∵点是的中点 ∴的面积 如图所示，过点A作于点E ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三线合一，勾股定理，三角形中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 13．. 【分析】利用等腰三角形的性质，判定，证明BD=AD，利用直角三角形中30°角的性质计算BD即可得解. 【详解】∵，， ∴∠A=30°，∠ABC=120°， ∵，， ∴∠CBD=90°，BD=1， ∴∠DBA=30°， ∴∠DBA=∠A， ∴BD=AD， ∴AD=1. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用性质是解题的关键. 14．9 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及含的直角三角形的相关计算． 设，则，根据等边三角形的性质得出，进而得出，进而得出．，再根据进而求得结果． 【详解】解：设，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：9． 15．3 【分析】由已知条件得，进而得出，，再根据得到为等边三角形，进而得到，最后根据三角形的三边关系即可求出． 【详解】解：在和中 ， ，， ，， ， 为等边三角形， ， ，， ，即， , 长为奇数， ， 故答案为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键． 16．或或 【分析】先求出b的值，得出直线，再求出，根据，求出，然后分三种情况：，，，求出点M的坐标即可． 【详解】解：把代入得：，解得：， ∴直线， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，如图所示： 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴此时点M的坐标为； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∴此时点M的坐标为：； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时点M的坐标为：； 综上分析可知，点M的坐标为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是画出图形，注意分类讨论． 17． 【分析】利用勾股定理求出BO，再利用30°的直角三角形的性质得到CO，再利用勾股定理求出DO，相减可得BD． 【详解】解：由题意知： AB=CD=4，∠AOB=90°，∠BAO=45°，∠DCO=60°， ∴AO=BO， 在△AOB中，， 解得：AO=BO=， ∵∠DCO=60°， ∴∠CDO=30°， ∴CO=CD=2， ∴DO=, ∴BD=DO-BO=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是理解实际情境，灵活运用勾股定理． 18．(1)1 (2) (3)存在．点P的坐标分别为，， 【分析】（1）过点C作轴于点E，证明，得出，，根据，，得出，点，即可得出答案； （2）将当代入，即可得出答案； （3）分两种情况进行讨论：，，分别求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点E，则， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴． （2）解：根据解析（1）可知，点， ∴当时，． （3）解：存在；当时，如图所示： ∵，， ∴， ∴P点坐标为：； 当时，如图所示： 点在B点的右边时，， 此时点P坐标为：； 点在B点的左边时，， 此时点P坐标为：； 综上分析可知，点P的坐标为：点P的坐标分别为，，． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，注意进行分类讨论． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键． （1）首先根据条件证明，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形； （2）根据，可知，即可得出结论； （3）由（2）知，再根据等腰三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由是等边三角形就可以得出，由就可以得出，从而得出，再根据直角三角形所对的直角边是斜边的一半的性质就可以得出结论； （2）过点D作交于点H，先证明是等边三角形得出，得出，进而得出，就可以得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ，且是直角三角形， ． （2）证明：过点D作交于点H，如图所示，    ，，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，熟练掌握证明三角形全等是解题的关键． 21． 【分析】先证明，由全等三角形的性质及三角形的外角性质，可以推出答案； 【详解】是等边三角形 ， 在和中 ∴ ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，具有较强的综合性． 22．见解析 【分析】过点D作交于点G，由“”可证，可得． 【详解】证明：如图，过点D作交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质证明全等． （1）根据等边三角形的性质证明，，，再利用证明即可； （2）根据全等的性质得到，，从而证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴， 在和中， ， ； （2）解：是等边三角形． ， ，， ， 是等边三角形． 24． 【分析】根据在中，，求出，推出，则在中，，推出．根据在中，，可得． 【详解】解：在中，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． 在中，， ∴． ∵在中，， ∴． 【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，掌握知识点是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$