专题04 角平分线和垂直平分线经典应用（七大类型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题04 角平分线和垂直平分线经典应用（七大类型） 重难点题型归纳 【题型1：利用垂直平分线的性质求角度】 【题型2：利用垂直平分线定位性质求线段长度】 【题型3；利用角平分线的性质求面积】 【题型4；利用角平分线的性质求边长】 【题型5：角平分线+垂直构造全等模型】 【题型6：角平分线和垂直平分线的综合应用】 【题型7：利用尺规作图综合应用】 【题型1：利用垂直平分线的性质求角度】 1．如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于D，交于E，连接，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．由垂直平分可得，由得，由得，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： 垂直平分， ， ， 等腰中，， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及中垂线性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，先由中垂线性质得到，再结合等边对等角确定，再由直角三角形两锐角互余得到，数形结合表示出即可得到答案，熟练掌握中垂线的性质及三角形的相关知识是解决问题的关键． 【详解】解： 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，，则， ， 故选：C． 3．如图，已知中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若在的中垂线上，N在的中垂线上，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，根据三角形的内角和得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得 ， ，推出 ，从而由平角定义得到结论． 【详解】解：， ． 在的中垂线上，在的中垂线上， ，． ，． ，， ， ． ． ． 故选：C． 4．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中两个锐角互余；根据作图过程可得，是的垂直平分线，可得，根据三线合一可得，再根据，，即可求出的度数，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，求（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角，三角形的外角，根据中垂线的性质，结合等边对等角，得到，，再根据三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故选B． 6．如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，根据作图得到垂直平分，进而得到，等边对等角得到，三角形的外角求出的度数，再根据等边对等角求出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 7．如图，等边中，是的中线，点E在线段上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出是解本题的关键；先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵等边三角形中，是的中线， ，，即：是的垂直平分线， ∵点在上， ， ， ， ， ∵是等边三角形， ， ， 故选：A． 【题型2：利用垂直平分线定位性质求线段长度】 8．如图所示，在中，的垂直平分线交于点，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接．   ， ， 的垂直平分线是， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出和是解此题的关键． 9．如图，中，的垂直平分线分别与边，交于点D，点E，若与的周长分别是和，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，三角形周长，是解题关键． 先根据线段垂直平分线的定义得，则，再根据，，得，据此可得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，，的周长为23，求的周长为（　　） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解答此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质得出，，求出，，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：是的垂直平分线，， ∴，， 的周长为23， ， ， 的周长为， 的周长为15． 故选：B． 11．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故选：B． 12．如图，，，线段的垂直平分线交于，交于为垂足，，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是含30度的直角三角形和线段垂直平分线的性质、三角形的外角定理．先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：线段的垂直平分线交于，交于为垂足，，， ，， ， ， ． 故选：C． 13．如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】解：如图，连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 14．如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，分别交于点F，G，连接，若的周长为16，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】该题主要考查了垂直平分线的性质和尺规作图，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 根据作图得垂直平分，得出，，根据的周长为16，推出，再根据的周长求解即可． 【详解】解：根据作图可得：垂直平分， 则，，， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 【题型3；利用角平分线的性质求面积】 15．如图，在中，平分于点E．若，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．14 D．24 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出．根据角平分线的性质和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：过D作，垂足为F， ∵平分，， ∴， ， ∴的面积的面积的面积 ， 故选：B． 16．如图，是的角平分线，于点，，，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理；过作交于，角平分线的性质定理得，由三角形的面积，即可求解；掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：过作交于， 是的角平分线，， ， ； 故选：D． 17．如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可． 【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F， ∵点是三条角平分线的交点， ∴． ∵， ， ， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键． 18．如图，在中，的平分线和的平分线交于点O，于点D，若的周长为10，，则的面积为（   ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是把问题转成． 【详解】解：角平分线的交点是内心，到三条边的距离相等， ， 故选：C． 【题型4；利用角平分线的性质求边长】 19．如图，在中，，，，点D到的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质以及点到直线的距离，，则是的角平分线，根据角平分线的性质即可求出，然后进一步求得． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，点D到的距离为， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 20．如图，，P是的平分线上的一点，于点M，交OA于点N，若，则PN的长为（    ）    A．2 B．2.5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点P作，垂足为C，利用角平分线的定义可得，再利用角平分线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，最后利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：过点P作，垂足为C，    ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 故选：C． 21．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用．根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案． 【详解】解：过作于，如图：   是的角平分线，， ， ， 的面积为7， 的面积为， ， ， ， 故选：D． 22．如图，中，，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（   ）    A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形面积求法．由作图知，得到平分,由角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得方程，解方程即可得解. 【详解】解：如图，过点作于点，设,    由作图知，平分, 又∵,， , , ， , ， ,即， 故选：． 23．如图，，和分别平分和,过点，且与垂直，若．则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 作于点，由题意得，进而得出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ，， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， 点到的距离是， 故选：C ． 24．如图，已知在中，是边上的高，平分，交于点E，且，则点E到的距离等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点E作于F，根据角平分线的性质求出即可． 【详解】解：如图，过点E作于F， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， 即点E到的距离为3． 故选：B． 25．如图，在中，，平分，交于点D，，，若点P是边上的动点，则线段的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再过点D作于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时最短，根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ， 过点D作于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时最短， 平分交于D， ，即线段的最小值为 故选：B 【题型5：角平分线+垂直构造全等模型】 26．如图，在中，平分，于点，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键； 延长交于点，根据角平分线的性质可得，进而得到，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，，进而求解的面积； 【详解】解：如图，延长AP交BC于点D； 平分，， ，， ， ． ， ， ． ，， ， ． 故选：C 27．如图，在中，，平分，于点，连接．若的面积为，求的面积（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，解题关键在于掌握等底等高的三角形的面积相等． 根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点，   是的角平分线， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ； 故选：B 28．如图所示，的面积为交的平分线于点P．则的面积为（） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，延长交于点，根据角平分线和垂直构造全等模型可证从而可得进而可得，，然后根据三角形面积的和差关系可得，进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为 ∴， 故选：B． 【题型6：角平分线和垂直平分线的综合应用】 29．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C 30．如图，在中，，的平分线交于点，又是的垂直平分线，垂足为．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和，角平分线的性质，因为的平分线交于点，是的垂直平分线，垂足为．得，结合计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵的平分线交于点， ∴， ∵是的垂直平分线，垂足为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 即， 故选：B 31．在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 32．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案． 【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等， ∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点， 如图， ∴货物中转站可以供选择的地址有4处． 故选：D 【题型7：利用尺规作图综合应用】 33．如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的基本作图．根据题意得出，即点在的垂直平分线上，结合垂直平分线的作法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 34．如图，是两条笔直的交叉公路，是两个观测点，现欲建一个服务区，使得此服务区到两条公路的距离相等，且到两个观测点的距离也相等，画出此服务区应建的位置．（不写作法，只保留作图痕迹） 【答案】作图见详解 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，掌握作垂直平分线，角平分线的方法是解题的关键． 根据服务区到两条公路的距离相等可得作的角平分线，到两个观测点的距离也相等得到线段的垂直平分线，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，分别作的角平分线，线段的垂直平分线的交点即为所求点的位置． 35．如图，在一张长方形纸片中，， (1)将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交于点M．交于点N请在图①中用尺规作出折痕 (不写作法，保留作图痕迹)； (2)将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点P处，折痕交于点E．请用尺规在图②中作出点P和折痕(不写作法，保留作图痕迹)： (3)在（2）的条件下，若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了作图—基本作图，折叠的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点，交于点即可； （2）以为圆心，为半径作弧交于点，作的角平分线交于点即可； （3）利用勾股定理求出，设，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， ； （2）解：如图，直线，点即为所求， ； （3）解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴． 36．如图，已知是锐角三角形． (1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与分别交于点M、N，在线段上找一点O，使点O到边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和角平分线的尺规作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质和勾股定理等知识，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据要求先作的垂直平分线，再作出的角平分线，交直线于点O，交点即为O点； （2）过点O作于点H．证明，利用勾股定理求出，利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线，点O即为所求； （2）解：过点O作于点H． ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．【知识回顾】我们已学习了五种用尺规完成的基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④过一点作已知直线的垂线；⑤作一条线段的垂直平分线． 【图形呈现】 有一个内角为的等腰三角形叫黄金三角形．我们将底角为的等腰三角形称为“黄金1号”；顶角为的等腰三角形称为“黄金2号”．这两种黄金三角形，你中有我，我中有你． 【实践操作】我们可运用尺规作图将一个大的黄金三角形分割成两个小的黄金三角形． (1)小乐同学选择尺规基本作图①，如图1，在黄金1号的边上截取，连接后，得到和．小乐认为这两个三角形都是黄金三角形，小乐的说法对吗？请判断并证明你的结论； (2)请你从尺规基本作图②③④⑤中选择一种，在如图2的黄金2号的边上找一点G，连接，将分割成两个小的黄金三角形（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母）． 【答案】(1)对，证明见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形的判定和性质： （1）根据作图得到，等边对等角求出的度数，进而求出的度数，进行判断即可； （2）利用②或③的方法，进行作图即可． 【详解】（1）解：小乐的说法正确； 证明如下：∵， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴为黄金三角形； ∵， ∴， ∴为黄金三角形； （2）解：利用②作，如图： ∵， ∴， 由作图可知：， ∴，， ， ∴， ∴均为黄金三角形； 利用③作的角平分线，如图： 由作图可知：， ∴，， ∴，， ∴均为黄金三角形． 38．如图，在中，，． (1)根据要求用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹： ①作的角平分线交于点D； ②作边上的垂直平分线l交于点G； (2)连结，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据角平分线的作法作图即可；②根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：①的角平分线如图所示， ②的垂直平分线如图所示， （2）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 角平分线和垂直平分线经典应用（七大类型） 重难点题型归纳 【题型1：利用垂直平分线的性质求角度】 【题型2：利用垂直平分线定位性质求线段长度】 【题型3；利用角平分线的性质求面积】 【题型4；利用角平分线的性质求边长】 【题型5：角平分线+垂直构造全等模型】 【题型6：角平分线和垂直平分线的综合应用】 【题型7：利用尺规作图综合应用】 【题型1：利用垂直平分线的性质求角度】 1．如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于D，交于E，连接，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若在的中垂线上，N在的中垂线上，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，求（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，等边中，是的中线，点E在线段上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型2：利用垂直平分线定位性质求线段长度】 8．如图所示，在中，的垂直平分线交于点，若，则（   ）    A． B． C． D． 9．如图，中，的垂直平分线分别与边，交于点D，点E，若与的周长分别是和，则的长是（  ） A． B． C． D． 10．如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，，的周长为23，求的周长为（　　） A．13 B．15 C．17 D．19 11．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 12．如图，，，线段的垂直平分线交于，交于为垂足，，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 13．如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 14．如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，分别交于点F，G，连接，若的周长为16，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型3；利用角平分线的性质求面积】 15．如图，在中，平分于点E．若，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．14 D．24 16．如图，是的角平分线，于点，，，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D．5 17．如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 18．如图，在中，的平分线和的平分线交于点O，于点D，若的周长为10，，则的面积为（   ） A．20 B．15 C．10 D．5 【题型4；利用角平分线的性质求边长】 19．如图，在中，，，，点D到的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 20．如图，，P是的平分线上的一点，于点M，交OA于点N，若，则PN的长为（    ）    A．2 B．2.5 C．4 D．3 21．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 22．如图，中，，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（   ）    A．2 B．3 C．5 D．6 23．如图，，和分别平分和,过点，且与垂直，若．则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 24．如图，已知在中，是边上的高，平分，交于点E，且，则点E到的距离等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 25．如图，在中，，平分，交于点D，，，若点P是边上的动点，则线段的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【题型5：角平分线+垂直构造全等模型】 26．如图，在中，平分，于点，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，平分，于点，连接．若的面积为，求的面积（    ）    A． B． C． D． 28．如图所示，的面积为交的平分线于点P．则的面积为（） A．1 B．2 C． D．3 【题型6：角平分线和垂直平分线的综合应用】 29．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 30．如图，在中，，的平分线交于点，又是的垂直平分线，垂足为．则（   ） A． B． C． D． 31．在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 32．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【题型7：利用尺规作图综合应用】 33．如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 34．如图，是两条笔直的交叉公路，是两个观测点，现欲建一个服务区，使得此服务区到两条公路的距离相等，且到两个观测点的距离也相等，画出此服务区应建的位置．（不写作法，只保留作图痕迹） 35．如图，在一张长方形纸片中，， (1)将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交于点M．交于点N请在图①中用尺规作出折痕 (不写作法，保留作图痕迹)； (2)将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点P处，折痕交于点E．请用尺规在图②中作出点P和折痕(不写作法，保留作图痕迹)： (3)在（2）的条件下，若，．求的长． 36．如图，已知是锐角三角形． (1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与分别交于点M、N，在线段上找一点O，使点O到边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 37．【知识回顾】我们已学习了五种用尺规完成的基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④过一点作已知直线的垂线；⑤作一条线段的垂直平分线． 【图形呈现】 有一个内角为的等腰三角形叫黄金三角形．我们将底角为的等腰三角形称为“黄金1号”；顶角为的等腰三角形称为“黄金2号”．这两种黄金三角形，你中有我，我中有你． 【实践操作】我们可运用尺规作图将一个大的黄金三角形分割成两个小的黄金三角形． (1)小乐同学选择尺规基本作图①，如图1，在黄金1号的边上截取，连接后，得到和．小乐认为这两个三角形都是黄金三角形，小乐的说法对吗？请判断并证明你的结论； (2)请你从尺规基本作图②③④⑤中选择一种，在如图2的黄金2号的边上找一点G，连接，将分割成两个小的黄金三角形（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母）． 38．如图，在中，，． (1)根据要求用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹： ①作的角平分线交于点D； ②作边上的垂直平分线l交于点G； (2)连结，求的度数． 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