1.3. 线段的垂直平分线 练习题 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

1.3. 线段的垂直平分线 一、单项选择题 1．如图，P是线段AB的垂直平分线l上的一点，若PA＝5，则PB的长为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD等于( ) A．50° B．70° C．75° D．80° 3．如图，有A，B，C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( ) A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边垂直平分线的交点处 C．AC，BC两边中线的交点处 D．A，B两内角平分线的交点处 4．如图，已知线段a，h，求作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①连接AB，AC，△ABC即为所求作的等腰三角形；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③作线段BC＝a；④在直线MN上截取线段AD＝h.正确的作图顺序为( ) A．②③①④ B．②④③① C．③②④① D．①②③④ 5．如图，AD是线段BC的垂直平分线，EF是线段AB的垂直平分线，连接BF，若AB＝8，BC＝6，则△BCF的周长是( ) A．17 B．16 C．15 D．14 6．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝( ) A．68° B．70° C．78° D．80° 二、填空题 7．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为____． 8．如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是PB___ PC (<;＝;>)． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为____． 10．如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 _____________． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝48°，∠BAC的平分线与线段AB的垂直平分线OD交于点O，连接OB，OC，将∠ACB沿直线EF(点E，F分别在BC，AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC＝______． 三、解答题 12．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a<b，尺规作图，保留作图痕迹). 13．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇A村、B村、C村所属的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：点D在线段AB的垂直平分线上． 15．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F.已知∠BAC＝100°，∠ACB＝30°，求∠ABD的度数． 16．如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠ACD＝25°，∠BAD＝40°，求∠BCD的度数． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC三条垂直平分线的交点，延长BO交边AC于点D，且BC＝BD. (1)求∠ACB的度数； (2)将△ABD沿BD翻折得到△EBD，边BE交AC于点F，若AB＝AC＝8，求AD的长． 18．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M. (1)求∠NMB的度数； (2)如图②，如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数； (3)根据(1)(2)的计算，你能发现其中蕴含的规律吗？请写出你的猜想并证明； (4)如图③，将(1)中的∠A改为钝角，其余条件不变，该规律是否需要加以修改？请你把∠A代入一个钝角度数验证你的结论． 答案： 一、 1-6 BBBCD C 二、 7. 11 8. ＝ 9. 10. 2＋2 11. 96° 三、 13. 解：作法：(1)作线段AD＝a； (2)过点D作直线MN⊥AD于点D； (3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示 13. 解：已知：A，B，C三点不在同一直线上．求作：作一点P，使PA＝PB＝PC.如图所示，点P即为所求的点 14. 证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°. 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝30°＝∠A， ∴AD＝BD，∴点D在线段AB的垂直平分线上 15. 解：连接AD.设∠BCD＝α.∵∠ACB＝30°，∴∠DCA＝30°＋α.∵∠BAC＝100°，∴∠ABC＝50°.∵DE垂直平分AB，DF垂直平分AC， ∴BD＝AD＝CD.∴∠DAC＝∠DCA＝30°＋α，∠CBD＝∠BCD＝α， ∠BAD＝∠ABD＝50°＋α.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∴30°＋α＋50°＋α＝100°，解得α＝10°.∴∠ABD＝50°＋α＝60° 16. 解：∵点D为△ABC三边垂直平分线的交点， ∴DA＝DB＝DC，∴∠CAD＝∠ACD＝25°，∠ABD＝∠BAD＝40°，∠BCD＝∠CBD， ∴∠BCD＝(180°－∠CAD－∠ACD－∠ABD－∠BAD)＝×(180°－2×25°－2×40°)＝25° 17. 解：(1)设∠BAO＝α，∵点O是△ABC三条垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC， ∴∠ABO＝∠BAO＝α.又∵AB＝AC，∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠CAO＝∠BAO＝α， ∴∠BAC＝∠BAO＋∠CAO＝2α，∠BDC＝∠ABO＋∠BAO＋∠CAO＝3α， ∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝90°－α.又∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠ACB， 即90°－α＝3α，解得α＝22.5°，∴∠ACB＝90°－α＝67.5° (2)∵∠EBD＝∠ABD＝22.5°，∴∠ABE＝45°＝∠BAC，∴∠BFA＝90°，BF＝AF， ∴AB＝＝AF＝8，∴AF＝4.过点D作DH⊥AB于点H，则DH＝DF， ∠ADH＝90°－∠BAC＝45°＝∠BAC，∴AH＝DH＝DF， ∴AD＝＝AH＝DF，∴DF＝AD， ∴AF＝AD＋DF＝AD＋AD＝4，∴AD＝8－8 18. 解：(1)∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝70°. ∵MN是AB的垂直平分线，∴∠BNM＝90°，∴∠NMB＝90°－∠B＝20° (2)∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，∴∠B＝55°.∵MN是AB的垂直平分线， ∴∠BNM＝90°，∴∠NMB＝90°－∠B＝35° (3)能，猜想：∠NMB＝∠A.证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝90°－∠A. ∵MN是AB的垂直平分线，∴∠BNM＝90°，∴∠NMB＝90°－∠B＝∠A (4)不需要修改．验证(代入度数不唯一)：若∠A＝100°，∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝40°.∵MN是AB的垂直平分线，∴∠BNM＝90°， ∴∠NMB＝90°－∠B＝50°＝∠A 学科网（北京）股份有限公司 $$