专题03 平方差和完全平方运算和几何背景（六大类型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版2024新教材）

专题03平方差和完全平方运算和几何背景（六大类型） 【题型1 平方差运算】 【题型2 平方差的几何背景】 【题型3 完全平方公式运算】 【题型4 完全平方公式的几何背景】 【题型5 完全平方公式与不等式之最值问题】 【题型6 整式混合运算-化简求值】 【题型1 平方差运算】 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则n等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 5．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）计算： (1) (2) 【题型2 平方差的几何背景】 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南信阳·期中）从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·重庆万州·期末）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是_____________；（请选择正确的选项） A．    B． (2)若，，求的值； (3)计算：． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 10．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）； (2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：． 【题型3 完全平方公式运算】 11．（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·云南昆明·期中） ． 13．（24-25八年级上·山东滨州·期中）已知，，则的值为 ． 14．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）若代数式可以配方为，则 ． 15．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）化简：． 16．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）运用乘法公式计算：． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 完全平方公式的几何背景】 19．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的边长满足，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； (2)根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，且，求的值． 22．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 主题：制作“回形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为__________．（用含，的式子表示） （2）根据图2，请直接写出，，之间的等量关系． （3）若，，求的值． 拓展与应用 （4）若，求的值． 22．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为_____． (2)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为_______、_______． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 23．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴． 【探究】（1）若，，求的值； 【延伸】（2）若，求的值； 【应用】（3）如图，点C在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 24．（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 25．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若，，则______； 类比应用：（2）若，则______； 知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 26．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值． (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则___________． ②若满足，求的值； ③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积．    【题型5 完全平方公式与不等式之最值问题】 27．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 28．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 29．（22-23八年级上·山东东营·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【题型6 整式的化简求值】 30．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）先化简，再求值  ，其中， 31．（2023·吉林松原·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 32．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 33．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 35．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03平方差和完全平方运算和几何背景（六大类型） 【题型1 平方差运算】 【题型2 平方差的几何背景】 【题型3 完全平方公式运算】 【题型4 完全平方公式的几何背景】 【题型5 完全平方公式与不等式之最值问题】 【题型6 整式混合运算-化简求值】 【题型1 平方差运算】 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的特点是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、可以用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则n等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式得到，即可解答． 【详解】解：， 则 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式可得，结合，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 5．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算． （1）根据多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）根据平方差公式展开，再将完全平方公式展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 平方差的几何背景】 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差与几何图形面积的计算，理解图示面积的计算方法是解题的关键． 边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，则面积为，拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为，其面积为，两部分面积相等，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图①中阴影部分的面积为， 拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为， ∴， 故选：B ． 7．（24-25八年级上·河南信阳·期中）从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出两个图形阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴可以验证成立的公式为． 故选：D． 8．（24-25八年级上·重庆万州·期末）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是_____________；（请选择正确的选项） A．    B． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2)； (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）解：∵，即，而， ∴； （3）解： ． 9．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题； （2）根据（1）中的发现即可解决问题； （3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解； 【详解】（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：3． （3）解：原式 ． 10．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）； (2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案； （2）①根据平方差公式将转化为，再根据，进而求出的值； ②利用平方差公式将原式化为，进而得出即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图1、图2的面积相等得，， 故答案为：； （2）解：①， ， 又， ， 故答案为：3； ②原式 ． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 【题型3 完全平方公式运算】 11．（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式计算即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 12．（24-25八年级上·云南昆明·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握，进行解答，即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·山东滨州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】26 【分析】此题考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式展开然后代入求解即可． 【详解】∵，， ∴ ． 故答案为：26． 14．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）若代数式可以配方为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用，利用配方法原式变形，根据题意分别求出a、b，计算即可． 【详解】解：， 由题意得：，， ，， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可得出结果． 【详解】解： ． 16．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）运用乘法公式计算：． 【答案】400 【分析】本题考查完全平方公式知识点，解题的关键是将原式变形为完全平方公式的形式． 观察原式发现它符合完全平方公式的形式，通过对应找出a，b的值，再代入公式计算． 【详解】解： ． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)0 【分析】本题考查的是利用完全平方公式求解代数式的值； （1）把代入，再计算即可； （2）把代入，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键． （1）先将改写成，再利用完全平方公式计算即可得； （2）先将改写成，再利用完全平方公式计算即可得； （3）先将改写成，再利用完全平方公式计算即可得； （4）先将改写成，再利用完全平方公式计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【题型4 完全平方公式的几何背景】 19．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的边长满足，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式与图形的面积；根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白的面积，列式化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：大小两个正方形边长分别为、， 阴影部分的面积； ，， ． 故选：B． 20．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法与几何的应用，理解题意，能用代数式表示图中阴影部分的面积是解答的关键． 【详解】解：左图中阴影部分的面积为， 右图中阴影部分的面积为， ∴相应的代数恒等式为， 故选：C． 21．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； (2)根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分的正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由（2）中的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：解：（1）方法一：； 方法二：； 故答案为：；； （2）解：代数式，，之间的等量关系为： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得， ． 22．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 主题：制作“回形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为__________．（用含，的式子表示） （2）根据图2，请直接写出，，之间的等量关系． （3）若，，求的值． 拓展与应用 （4）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）16；（4） 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式在几何图形中的应用，能正确运用完全平方公式变形是解题的关键． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为大长方形的长减去宽，即可表示； （2）根据图2 阴影部分面积为正方形，则可用正方形面积公式表示，也可通过大正方形面积减去4个长方形面积表示，即可得到，，之间的等量关系； （3）由即可求解； （4）先求得，则利用求解即可． 【详解】解：（1）由图2可得小正方形（阴影部分）的边长为， 故答案为：； （2）可得阴影部分面积为：，而阴影部分面积又可表示为， ∴， ∴； （3）∵，， ∴； （4）∵， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为_____． (2)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为_______、_______． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景及应用能力． （1）从大正方形面积的整体和各部分求和两方面列式表示，可得； （2）根据因式分解可得此题结果； （3）由（1）题结果可得，利用以上两个结论可分别求解①，②小题． 【详解】（1）解：由题意，图2面积可分别表示为：和， ∴， 故答案为：； （2）解：可分解为， ∴可拼成边长各为，的长方形， 故答案为：，； （3）解：①∵，， 由（2）题结果可得， ； ②设，，则， ，， 又， ， ， ． 23．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴． 【探究】（1）若，，求的值； 【延伸】（2）若，求的值； 【应用】（3）如图，点C在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）23；（3） 【分析】本题主要完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式得出，然后再整体代入求值即可； （2）根据完全平方公式将转化为，然后再整体代入求值即可； （3）设， ，可得，，再根据完成平方公式可得求出，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴，解得： ∴阴影部分的面积． 24．（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 25．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若，，则______； 类比应用：（2）若，则______； 知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）19；（2）43；（3）一块三角板的面积为10 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）根据进行计算即可； （2）令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】解：（1），， ∴， ； （2）令，， ，， ； （3）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， ，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是10． 26．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值． (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则___________． ②若满足，求的值； ③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)40 (2)①；②60；③106 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）①设，则，，再根据进行求解即可；②设，则，，再根据求出，据此可得答案；③由题意得，设，，则，根据长方形的面积为45，得到，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①设， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②设， ∴，， ∴， ∴， ∴； ③由题意得， 设，，则， ∴ ∵且， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是106． 【题型5 完全平方公式与不等式之最值问题】 27．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 28．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 29．（22-23八年级上·山东东营·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)有最大值，当时，有最大值 (3) 【分析】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值3； 故答案为：3，3； （2）解：， 当时，有最大值． 即有最大值，此时； （3）解：， 当时，的最小值为． 【题型6 整式的化简求值】 30．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）先化简，再求值  ，其中， 【答案】； 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，完全平方公式和平方差公式，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算法则进行运算． 先利用完全平方公式和平方差公式进行化简，得到最简代数式，再把x、y的值代入计算，即可得到答案． 【详解】 ∵， ∴原式． 31．（2023·吉林松原·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．首先利用完全平方公式以及平方差公式计算，然后去括号、合并同类项即可化简，然后代入数值计算． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 32．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了多项式乘多项式—化简求值，平方差公式，完全平方公式，先根据单项式乘多项式，以及乘法公式进行展开，合并同类项得，然后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 33．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式的混合运算法则及计算步骤正确计算是解题的关键． 根据完全平方公式及多项式乘以多项式的法则去括号，再合并同类项化简，最后代入字母的值计算，即可求解． 【详解】解： ， 把，代入， 即. 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，合并同类项法则进行计算，是解题的关键． 根据多项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项，最后x=7代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 35．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$