专题19 图形的相似与位似（讲义）-备战2025年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲 1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质． 2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题． 3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出 它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。 考点1：比例线段 1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项. 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 2.比例的基本性质：①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c. 3.黄金分割 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB. 考点2：相似图形 1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 　也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形). 2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形. 3.相似多边形的性质： 　　相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 　　相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方. 4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. 5.相似三角形的性质： 　　(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 　　(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. 　　(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 6.相似三角形的判定： 　　(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 　　(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 　　(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 　　(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 　　(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相 等，那么这两个三角形相似. 考点3：位似图形 1.位似图形的定义 　　两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心. 2.位似图形的分类 　　(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. 　　(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上. 3.位似图形的性质 　　位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　　位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　　位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 4.作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接截取点. 【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 【题型1：相似三角形的相关计算】 【典例1】（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由平移性质可知，，则四边形是平行四边形，又，则有四边形是矩形，根据同角的余角相等可得，从而证明，由性质得，设，则，，则，解得：，故有，，得出即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 【题型2：相似三角形的实际应用】 【典例2】（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 【答案】树的高度为8米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题． 方案一：作，在中，解直角三角形即可求解； 方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可． 【详解】解：方案一：作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴（米）， 树的高度为米． 方案二：根据题意可得， ∵， ∴ ∴，即 解得：米， 答：树的高度为8米． 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）某同学在做“小孔成像”实验时，将一支长为3cm的蜡烛（包括火焰高度）立在小孔前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为6cm，此时蜡烛火焰通过小孔刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”，若以小孔为坐标原点，构建如图所示的平面直角坐标系，设蜡烛火焰顶端A点处坐标为，则A点对应的“像”的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，根据小孔成像实验可得，据此求解即可． 【详解】如图所示，A点对应的“像”的点，则 ∴， ∵蜡烛火焰顶端A点处坐标为，刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”， ∴ ， ，， ∴，解得， ∴A点对应的“像”的点， 故答案为：． 【题型3：位似】 【典例3】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 1．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 1．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，已知且，．若，则的长度为（   ）    A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．先得出，通过证明．得出，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图，中，是的中点，过点作，交于点，则与四边形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明并且根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出与的面积比是解题的关键．设的面积为，由证明，再由是的中点证明与的面积的比为，再用含的式子分别表示的面积与四边形的面积，再求出它们的比即可得到问题的答案． 【详解】解：如图，设的面积为， 是的中点， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 与四边形的面积比是， 故选：C． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点分别在反比例函数与的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 4．（2024·四川广安·模拟预测）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，直线与交于点O，点A，B，C，D，O都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点O作于点E，交过点B的平行线于点F，与中间两条平行线分别相交于点G和H，根据题意得到，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E，交过点B的平行线于点F，与中间两条平行线分别相交于点G和H， 根据题意，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（   ）    A．cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，，过点作于点，于点，先判定，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，于点，    由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∴相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故选：C． 6．（2024·山西大同·二模）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了中心位似图形，根据正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，即可得出答案，掌握中心位似图形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图：    由图可知，点， ∵正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴点或， 故选：C． 7．（2024·广东·模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．如图是“小狗手影”游戏，光源O与手的距离为3米，手与墙壁的距离为1米，与墙壁平行．在光源O不动的情况下，要使在墙壁上的“小狗手影”的高度增加一倍，则手与墙壁的距离应增加 米 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明．得，设，当“小狗手影”的高度增加一倍时，．设此时，则，即可得到，解得，进而即可求出答案． 【详解】解：由题意可知， ∴． ∵ ∴ ∴可设， ∴当“小狗手影”的高度增加一倍时， 如图，．设此时，则， ， 解得， ∴手与墙壁的距离应增加（米）． 故答案为： 8．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ． 【答案】80 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于N，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为． 故答案为：80． 9．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知线段，相交于点，，，．求． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质．首先根据平行线的性质可证，根据对顶角相等可得，所以可证，再根据相似三角形对应边成比例可求结果． 【详解】解：如下图所示， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，过点作，垂足为． (1)若，，，求的长； (2)连接，若，且，，求的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明即可求解； （）由得到，求得，利用勾股定理可得，再证明即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（2024·四川眉山·二模）如图，是正方形的边上一点，是的中点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据正方形的性质，垂线的定义，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，中点求出的长，相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由（1）知：， ∴，即：， ∴， ∴． 1．（23-24九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆周角定理及其推论、等腰三角形判定与性质、圆内接四边形性质、相似三角形的判定与性质等知识，先由直径所对的圆周角是直角，再由等腰三角形三线合一得到，根据圆内接四边形性质得到，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案，熟练掌握圆的性质及相似三角形性质求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示：    为的直径， ，即， 在中，， 则， 四边形是的内接四边形， ， 在中，， ， ， ， 即，解得， 故选：B． 2．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接，先利用等腰三角形的性质证明点为的中点，可得为的中位线，进而得，，即得，得到，再根据已知可得，进而由中线性质得到，再由即可得到，由得到是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， ， ， ， ， ， 点为的中点 ∵为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点D在边上，交于点F；下列结论： ①； ②平分； ③平分，其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是旋转的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，结合对顶角的性质可判定①，证明，，可判定②，根据旋转的性质得不到③，从而可得结论； 【详解】解：∵以点A为中心逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴，所以①正确； ∵以点A为中心逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即平分，所以②正确； ∵以点A为中心逆时针旋转得到， ∴， 而不能确定平分， ∴不能确定，所以③错误． 故选：A． 5．（2024·重庆·二模）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质．根据“位似图形的对应边互相平行，位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方”逐项判断可得答案． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即 ，原说法正确，本选项不符合题意； B、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则，所以，原说法错误，本选项符合题意； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确，本选项不符合题意； D、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确，本选项不符合题意． 故选B． 6．（2022·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，在y轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点B的坐标为，则点B的对应点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴的垂线，交轴于点，可得，根据相似三角形的性质可得，根据位似比等于相似比可得，继而得的长，即可求得点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，交轴于点， ， ， ， 以为位似中心，在y轴右侧作放大2倍后的位似图形， ， ， ， 由即， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 7．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 8．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 9．（2024·广西贵港·模拟预测）数学兴趣小组对“测量某池塘宽度”进行了热烈讨论，展示方法如下： 小丽的方法：如图（1），在过点且与垂直的直线上确定一点，使点可直接到达点，连接，在的延长线上确定一点，使，测出的长，则． 小丽的理由：，，．（依据是：______） 小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点，的点，连接，，在和上分别取点和，使，，连接，测出的长，则． 小强的理由：，，是的中位线，．（依据是：______） 小亮的方法：如图（3），在的延长线上取一点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使从点可直接到达点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使点，，在同一条直线上，测出，，的长，即可求出的长． 小方的方法：如图（4）在过点且与垂直的直线上确定一点，只需测得的度数和的长度，就可求出池塘的宽度． 请根据以上方法按要求完成以下问题： (1)填空：小丽的方法依据是 ；小强的方法依据是 ； (2)若按照小亮的方法，测出m，m，m，请你求出池塘的宽度； (3)若按照小方的方法，测得，的长度为34米，求池塘的宽度． 【答案】(1)等腰三角形的顶角角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 (2)池塘的宽度为20m (3)池塘的宽度为米 【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形的中位线定理可求解； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）由特殊角的三角函数可求解． 【详解】（1）解：小丽的理由：，， （依据是：等腰三角形的顶角角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合）； 小强的理由：，， 是的中位线， ．（依据是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）； 故答案为：等腰三角形的顶角角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； （2）解：，， ， ， ， ， ， 池塘的宽度为20m； （3）解：，，的长度为34米， ， ， 池塘的宽度为米． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10．（2024·青海西宁·一模）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，，，．连接，．请写出__________；并写出详细解答过程． 【答案】【问题呈现】见解析；【类比探究】 【分析】本题主要考查了相似形的综合题，是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键： （1）证明，即可得； （2）证明，可推导出，再证明，可得 【详解】解：问题呈现：证明：∵和都是等边三角形， ∴ ∴ 即 ； 类比探究：解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 即 ∴， ∵， ∴ ∴ 11．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交的延长线于，证明，得出，，由题意得出，再由等腰三角形的性质即可得出答案； （2）由角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，，，证明， 得出，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． 12．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理可得出，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）利用勾股定理可求出，，利用等面积法求出，可求出，然后利用（1）中求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E到、的距离相等， 设E到的距离为，C到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 1．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 2．（2024·湖北·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过C作于F，根据矩形的性质得到,再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ， ． 选择“平面镜”方案： 由题意得，， ． 又， ， ，即， ． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 4.（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形； （2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 5．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，得出，即可证明结论； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出； （3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 6．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲 1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质． 2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题． 3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出 它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。 考点1：比例线段 1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项. 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 2.比例的基本性质：①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c. 3.黄金分割 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB. 考点2：相似图形 1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 　也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形). 2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形. 3.相似多边形的性质： 　　相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 　　相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方. 4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. 5.相似三角形的性质： 　　(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 　　(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. 　　(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 6.相似三角形的判定： 　　(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 　　(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 　　(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 　　(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 　　(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相 等，那么这两个三角形相似. 考点3：位似图形 1.位似图形的定义 　　两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心. 2.位似图形的分类 　　(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. 　　(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上. 3.位似图形的性质 　　位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　　位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　　位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 4.作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接截取点. 【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 【题型1：相似三角形的相关计算】 【典例1】（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 3．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【题型2：相似三角形的实际应用】 【典例2】（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 2．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）某同学在做“小孔成像”实验时，将一支长为3cm的蜡烛（包括火焰高度）立在小孔前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为6cm，此时蜡烛火焰通过小孔刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”，若以小孔为坐标原点，构建如图所示的平面直角坐标系，设蜡烛火焰顶端A点处坐标为，则A点对应的“像”的点的坐标为 ． 【题型3：位似】 【典例3】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 1．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，已知且，．若，则的长度为（   ）    A．8 B．12 C．14 D．16 2．（2024·安徽·模拟预测）如图，中，是的中点，过点作，交于点，则与四边形的面积比是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川广安·模拟预测）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，直线与交于点O，点A，B，C，D，O都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A． B．1 C． D．2 5．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（   ）    A．cm B． C． D． 6．（2024·山西大同·二模）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 7．（2024·广东·模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．如图是“小狗手影”游戏，光源O与手的距离为3米，手与墙壁的距离为1米，与墙壁平行．在光源O不动的情况下，要使在墙壁上的“小狗手影”的高度增加一倍，则手与墙壁的距离应增加 米 8．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ． 9．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知线段，相交于点，，，．求． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，过点作，垂足为． (1)若，，，求的长； (2)连接，若，且，，求的长． 11．（2024·四川眉山·二模）如图，是正方形的边上一点，是的中点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 1．（23-24九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点D在边上，交于点F；下列结论： ①； ②平分； ③平分，其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．（2024·重庆·二模）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 6．（2022·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，在y轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点B的坐标为，则点B的对应点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 9．（2024·广西贵港·模拟预测）数学兴趣小组对“测量某池塘宽度”进行了热烈讨论，展示方法如下： 小丽的方法：如图（1），在过点且与垂直的直线上确定一点，使点可直接到达点，连接，在的延长线上确定一点，使，测出的长，则． 小丽的理由：，，．（依据是：______） 小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点，的点，连接，，在和上分别取点和，使，，连接，测出的长，则． 小强的理由：，，是的中位线，．（依据是：______） 小亮的方法：如图（3），在的延长线上取一点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使从点可直接到达点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使点，，在同一条直线上，测出，，的长，即可求出的长． 小方的方法：如图（4）在过点且与垂直的直线上确定一点，只需测得的度数和的长度，就可求出池塘的宽度． 请根据以上方法按要求完成以下问题： (1)填空：小丽的方法依据是 ；小强的方法依据是 ； (2)若按照小亮的方法，测出m，m，m，请你求出池塘的宽度； (3)若按照小方的方法，测得，的长度为34米，求池塘的宽度． 10．（2024·青海西宁·一模）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，，，．连接，．请写出__________；并写出详细解答过程． 11．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 12．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 1．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 2．（2024·湖北·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 4.（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 5．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 6．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$