精品解析：河北省博野中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

2025届普通高等学校招生全国统一考试 高考信息联考卷（二） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知的一个极值点为2，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C D. 6. 已知，对，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 8. 若，使得与椭圆有4个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 若，则 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 11. 已知函数满足对，且在区间上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本相关系数的取值范围为__________. 13. 已知数列满足，在数列小于50的各项中一次性任取不同的两项，其和为奇数的概率为__________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且内切圆的半径为，则双曲线的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲袋中有两个红球、一个白球，乙袋中有两个白球，一个红球，各球除颜色外其余均相同.从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，若两球颜色相同，则放回各自袋中，进行下一次抽球；若两球颜色不同，则抽球结束. （1）求第一次抽球后两球颜色相同的概率； （2）求抽球结束时，抽球次数为1概率； （3）求抽球结束时，抽球次数为3的概率. 16. 在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且. （1）证明：； （2）求； （3）若，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，四边形矩形，，且平面平面. （1）证明：平面平面； （2）若，且与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 如图，过点作两直线分别交抛物线于四点，且点，C在第一象限. （1）设两点的纵坐标分别为，求的值； （2）若直线分别交轴于两点，以线段为直径作，过原点作的切线交于点，证明：的值为定值. 19. 函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题.将一函数用较简单的函数来找到最佳逼近，这种处理复杂函数的方法，我们称之为函数逼近.比如指数函数在附近的一个常见的逼近函数为，比函数逼近得更精确.同理，对于一个不易求和的数列，我们也可以用一个关于的解析式去逼近数列的前项和，用函数去逼近，的值称为逼近估差. （1）当时，比较与的大小； （2）研究函数在上单调性； （3）①证明：； ②对时，用去逼近，证明：逼近估差不超过. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届普通高等学校招生全国统一考试 高考信息联考卷（二） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式、对数不等式求集合，再应用集合的交运算求集合. 【详解】由， 所以. 故选：C 2. 已知的一个极值点为2，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，利用只有一个极值点，可得，求解即可. 【详解】，令0，得或， 又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可计算结果. 【详解】∵，， ∴， ∴. 故选：D. 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助模长与数量积的关系及数量积公式计算即可得. 【详解】由，得， 由，则， 即有，则. 故选：D. 5. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助余弦函数的性质列出不等式计算即可得. 【详解】因为，所以， 即，所以的解集是. 故选：B. 6. 已知，对，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的零点，再由不等式成立的必要条件求出，进而代入并利用导数分析函数的性质求解. 【详解】由，得或1，当或时，；当时，， 则“”成立的必要条件是且，得， 当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当或时，；当时，， 因此对成立，所以. 故选：C 7. 在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助内切球性质可得，则有，计算即可得内切球的半径，即可得高. 【详解】设与相交于点，取的中点为， 连接，作于，设内切球的半径为， 则，设，由题意知. 又，故，易得， 则，故，故， 即正四棱锥的高为. 故选：A. 8. 若，使得与椭圆有4个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与椭圆的几何性质，将圆与椭圆有4个公共点转化为椭圆上的点到圆心的距离小于，利用两点间的距离公式表示距离，消去参数，构造二次函数，根据二次函数在端点处的函数值判断对称轴在区间端点的左侧，即可列式求解. 【详解】 由题意知，设椭圆上有动点， 原命题等价于当时，. 则， 设， 二次函数的开口向上，且对称轴为， 因为，又， 所以，解得或（舍去）. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，结合复数的相关概念可判断选项. 【详解】A.由题意得，， ∴，A正确； B.，B正确； C.，在复平面内对应的点为，在第一象限，C错误； D.由题意得，， ∴，解得， ∴，D正确. 故选：ABD. 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项判断可确定选项. 【详解】A.， 故，当且仅当时取等号，A错误； B， 故，当且仅当时取等号，B正确； C.由，得， 故，C错误； D.由，得， 则，故，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD. 11. 已知函数满足对，且在区间上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，即可判断A；令，即可判断B；取，且，利用定义法即可判断C；设，则，再利用累加法求出即可判断D. 【详解】对于A，令，则，所以，故A正确； 对于B，令，则，则，故B错误； 对于C，取，且，则，则， 又， 故，即， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，设， 则，则， 同理， 累加得，即， 对任意，取，则，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于函数方程问题，赋值法是解决问题的突破口. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本相关系数的取值范围为__________. 【答案】[ 【解析】 【分析】略. 【详解】样本相关系数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知数列满足，在数列小于50的各项中一次性任取不同的两项，其和为奇数的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知写出中小于50的项，确定奇数、偶数的个数，再应用组合数求古典概型的的概率. 【详解】数列中小于50的项， 其中有3个偶数，5个奇数，抽取两项中一项为偶数，一项为奇数时，和为奇数， 所求概率为. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且内切圆的半径为，则双曲线的离心率为__________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】设的内切圆分别与相切于点， 并设. 则，故. 又，故，故点的坐标为， 在中，，故离心率. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲袋中有两个红球、一个白球，乙袋中有两个白球，一个红球，各球除颜色外其余均相同.从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，若两球颜色相同，则放回各自袋中，进行下一次抽球；若两球颜色不同，则抽球结束. （1）求第一次抽球后两球颜色相同的概率； （2）求抽球结束时，抽球次数为1的概率； （3）求抽球结束时，抽球次数为3的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意进行分类求解即可； （2）抽球1次，则两球颜色相同或颜色不同，所以根据对立事件即可求解； （3）根据独立事件的概率乘法即可求解. 【小问1详解】 第一次抽球后，两球颜色相同，则有以下两种情况： ①两球同为红球，记为事件，则； ②两球同为白球，记为事件，则， 所以第一次抽球后，两球颜色相同的概率为. 【小问2详解】 抽球结束后，抽球次数为1，则两球颜色不同，记为事件，则根据对立事件. 【小问3详解】 抽球结束时，抽球次数为3，则前两次抽球颜色相同，第三次抽球颜色不同，记为事件，则. 16. 在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且. （1）证明：； （2）求； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理表示，根据可证明结论. （2）利用正弦定理可得，根据二倍角公式结合三角形内角取值范围可得结果. （3）设，利用等面积法可得，结合余弦定理得，构造函数，根据函数单调性可求的取值范围. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，， ∴，同理得，， ∴，即. 小问2详解】 在中，由正弦定理得，，∴， ∴，即， 由得，， ∴，故，∴. 【小问3详解】 设，由，得，故. ∵，，∴，故， ∴， 令，则， ∵，当且仅当时等号成立，∴，故， ∵在上单调递增，当时，，当时，， ∴的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，且平面平面. （1）证明：平面平面； （2）若，且与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助面面垂直的性质定理与线面垂直的性质定理可得，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，表示出的方向向量与平面的法向量后，再借助空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 因平面平面，平面平面， 且，平面，则平面. 又平面，则， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 取的中点为，则由得，， 又平面平面，平面， 则平面， 故可以为原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则， ， 设，因为， 可得， 可知， 故，故， 设平面的法向量为， 则，故， 取，得， 由题意可知， 即，解得， 由得，的值为. 18. 如图，过点作两直线分别交抛物线于四点，且点，C在第一象限. （1）设两点的纵坐标分别为，求的值； （2）若直线分别交轴于两点，以线段为直径作，过原点作的切线交于点，证明：的值为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线，代入抛物线方程，利用根与系数的关系可得结论； （2）设，直线：，直线，直线，由（1）类似可得，联立与抛物线方程，由根与系数的关系可得，同理可得，可而计算可得，利用条件可求得，可证结论. 【小问1详解】 设直线，代入， 可得，则. 【小问2详解】 设，直线：， 直线，直线， 由（1）同理可知. 将，代入，可得， 则， 同理， 故， 又， 可得. 易知的中点为的半径为， 故的方程为， ， 可得，故的值为定值. 19. 函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题.将一函数用较简单的函数来找到最佳逼近，这种处理复杂函数的方法，我们称之为函数逼近.比如指数函数在附近的一个常见的逼近函数为，比函数逼近得更精确.同理，对于一个不易求和的数列，我们也可以用一个关于的解析式去逼近数列的前项和，用函数去逼近，的值称为逼近估差. （1）当时，比较与的大小； （2）研究函数在上的单调性； （3）①证明：； ②对时，用去逼近，证明：逼近估差不超过. 【答案】（1） （2）在上单调递减. （3）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，求导可得在上单调递减，可证结论； （2）求导得，令，进而求导可得，可得结论； （3）①，累加法可得结论； ②在上，由（1）知，，由（2）知，，可得，令，可得，进而计算可得结论. 【小问1详解】 令， 则， 故上单调递减，， 即， 故当时，. 小问2详解】 ， 令， 则， 故在上单调递减，， 即，故在上单调递减. 【小问3详解】 ①， 故 . ②在上，由（1）知，，由（2）知，，又在上单调递减， 故，即，即， 故当时， ， 故， 又 ， 故 ， 故 ， 即当时，用去逼近，逼近差不超过. 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小关系，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$