精品解析：广东省广州市第十六中学2024-2025学年九年级数学下学期开学测试卷

2024学年下学期寒假作业检查反馈练习 九年级 数学（问卷） 一、单选题（共30分，每题3分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象的特点是解题关键．根据一次函数的图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数中的，， ∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 3. 在一个不透明的袋子里有红球．黄球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．根据红球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案． 【详解】解：∵通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右， ∴摸到红球的概率为， ∴袋子中红球的个数可能为（个）． 故选：C． 4. 若，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 若n边形的内角和是720°，则n的值是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°列式计算即可得解． 【详解】根据题意，（n﹣2）•180°＝720°， 解得n＝6． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，是基础题，熟记公式是解题的关键． 6. 如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，点与对应，且，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，则根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出，即可确定旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点A旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴，即旋转角的度数为． 故选：B． 7. 如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的增减性分析解答． 【详解】解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴当时， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，掌握反比例函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键． 9. 如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接，以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质得出，，由点F为的中点可知，在中利用勾股定理得出的长即可解答． 【详解】解：矩形， ，， 点F为的中点， ， 以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G， ， 在中，， ． 故选：D． 10. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④． 【详解】解：①二次函数与图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确②； ③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 故选：D． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 二、填空题（共18分，每题3．分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而求解的取值范围． 【详解】解： 二次根式在实数范围内有意义， ， 解得． 故答案为： 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是___________． 【答案】（2，0） 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可得OA=OC，结合勾股定理可得OA=OC=2，进而即可求解． 【详解】解：∵菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是， ∴OB=1，OA=OC， ∵， ∴OC=， ∴OA=2，即：A的坐标为：（2，0）， 故答案是：（2，0）． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理以及点的坐标，熟练掌握菱形的性质，是解题的关键． 13. 设，是方程的两个实数根，则的值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入原式中即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 扇形的半径为3cm，弧长为2πcm，则该扇形的面积为______cm2． 【答案】3π． 【解析】 【详解】解：设扇形的圆心角为n，则：2π=，得：n=120°，∴S扇形= =3πcm2．故答案为3π． 15. 如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为________． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质得出，，则可证明，由相似三角形的性质可得出，进而可得出，，进而可求出，最后根据平行四边形的性质求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：34． 16. 如图，一次函数分别与轴、轴交于、两点，为反比例函数图象上一动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴，与反比例函数交于点．若，则点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出点的坐标，得，进而得，设，，由点在反比例函数上，，得关于b、m的方程组，解方程组得m的值，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵点在反比例函数上，轴， ∴设，则， ∵点在一次函数上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，点在一次函数上， ∴可设，， ∵点在反比例函数上，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： 【答案】x1=-4，x2=-2 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求解． 【详解】 ∴x+4=0或x+2=0 解得x1=-4，x2=-2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 18. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，连结，点为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定．根据平行四边形的性质，得到，得到，，根据，，推出，即可得证． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 19. 已知 （1）化简A； （2）若，求A的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可； （2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键． 20. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； （2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 【答案】（1）20；18；36 （2）恰好都是女性的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了统计图、列表法或树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据统计图中的信息，列式计算即可； （2）由题意得，用现金支付方式的居民里有名女性，根据题意列出表格，结合表格再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由统计图可得，本次调查的总人数为：， ， ， 在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为． 故答案为：20；18；36． 【小问2详解】 由题意得，用现金支付方式居民共有5人， 用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性， 用现金支付方式的居民里有名女性， 设男性为、，女性为、、，列表得： 由列表可知，共有20种等可能的结果，恰好选到都是女性的情况有6种， 恰好都是女性的概率． 答：恰好都是女性的概率为． 21. 如图，已知抛物线与x轴交于点． （1）求m的值和顶点M的坐标； （2）求直线的解析式； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式，求得，求出抛物线的对称轴，即可求解； （2）设，将两点代入求解即可； （3）结合函数图像，可得在点的右边或点的左边，满足，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入可得 ，解得，即， 则的对称轴为 将代入得，，即； 【小问2详解】 解：设，将，代入可得 ，解得， 即； 【小问3详解】 解：由图像可得：当时x的取值范围为或 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，根据图象求解一元二次不等式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 22. 为了打造“清洁能源示范城市”，广州市年投入资金万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，年在年的基础上增加投入资金万元． （1）从年到年，广州市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）年广州市计划再安装、两种型号充电桩共个．已知安装一个型充电桩需万元，安装一个型充电桩需万元，且型充电桩的数量不多于型充电桩的一半．求、两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 【答案】（1） （2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元 【解析】 【分析】（1）设从2021年到2023年，广州市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解； （2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案． 【小问1详解】 解：设从2021年到2023年，广州市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：从2021年到2023年，广州市用于充电桩安装的资金年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元． 根据题意，得：， 解得：， ， ∵， ∴随a的增大而减小． ∵a为整数， ∴当时，最小，最小值为（万元）． 此时，． 答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键． 23. 如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°． （1）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）求△ABC的面积； （3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F． ①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长； ②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①3；② 【解析】 【分析】（1）连接OC，利用切线的判定定理，证明OC⊥AC即可； （2）要求的面积，结合（1）题，底边AB可求，只需再求出底边上的高CH即可； （3）根据垂径定理可求CE的长，再利用锐角三角函数，可求CF的长； 由可知，点E在运动过程中，始终有，所以，求出CE的最大值，即可得到CF的最大值． 【详解】（1）证明：连结OC，如图所示． ∵AD＝CD ，∠A＝30°， ∴∠ACD＝∠A=30°． ∴∠CDB＝60°． ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC=60°． ∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°． ∴OC⊥AC． ∴直线AC是⊙O的切线． （2）过点C作CH⊥AB于点H，如图所示． ∵OD=OC，∠ODC=60°， ∴是等边三角形． ∴． ∴在中， ． ∵AB＝AD＋BD＝3， ∴． （3）当点运动到与点关于直径BD对称时，如图所示． 此时，CE⊥AB，设垂足为K． 由（2）可知，． ∵BD为圆的直径，CE⊥AB， ∴CE＝2CK＝． ∵CF⊥CE， ∴∠ECF＝90°． ∵， ∴∠E=∠CDB＝60°． 在中， ∵， ∴． 如图所示： 由可知，在中， ∵， ∴． ∴当点E在上运动时，始终有． ∴当CE最大时，CF取得最大值． ∴当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、锐角三角函数、求线段的最值等知识点，熟知切线的判定方法、垂径定理、圆周角定理、锐角三角函数的定义是解题的关键． 24. 已知二次函数的图象为抛物线C，一次函数的图象为直线l． （1）求抛物线C的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求k的值； （3）当时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P，当为钝角三角形时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）k值为2或 （3）或时，为钝角三角形 【解析】 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）由题意可知两个函数与x轴的交点重合，即可求出m与k的关系式，再联立两个方程，由即可求k的值； （3）分别求出当为直角三角形时m的值，以此为界点，确定为钝角三角形时m的取值范围即可． 【小问1详解】 解： ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意得：与x轴交点， ∵直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上， 令，则， 解得：或， 联立：， 整理得：， ∴， 当时， ，即， ， 当时， ，即， ， 综上，k的值为2或； 【小问3详解】 解：当时，直线解析式为， 令，则， 令，则， 解得， ∴， 令， ∴或， ∵在抛物线对称轴左侧的点记为P， ∴， 当时，此时，此时是直角三角形， 当时，即，此时为钝角三角形； 当时，，此时是直角三角形； 当时，即，此时为钝角三角形； ∵，，点到x轴的距离为3， ∴P点在以为直径的圆外或圆上， ∴始终为锐角或直角； 综上所述：当或时，为钝角三角形． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 25. 如图，中，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，、的对应点分别为、．连接并延长与交于点． （1）如图1，若，则与的数量关系是________； （2）如图2，求证：； （3）如图3，在射线上分别取点、（、不重合），使得，在旋转过程中，当的值最大时，直接写出的面积． 【答案】（1）相等 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）可得，由旋转得：，，那么，同理，则，，故，继而； （2）作延长线于M，于N，证明，得到，继而得到，那么，则，由勾股定理得：，，故； （3）关键在于利用的值最大确定F的位置，由，斜边为定长可以确定F的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，利用子母型相似得出，从而得出当F、H、Q三点共线时，的值最大，进一步利用相似三角形以及勾股定理求出高，即可求出面积． 【小问1详解】 解：如图： ∵， ∴， 由旋转得：， ∴，同理 ∴，， ∴， ∴， 故答案为：相等； 【小问2详解】 证明：如图，作延长线于M，于N， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 同上可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：取的中点O，连接，在上取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， ∴ ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 当F、H、Q三点共线时，的值最大， 如图：过点作于点，过点作于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 同理可得：， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴ 整理得：， 解得：，， ∴， ∴此时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，圆周角定理，难度很大，正确转化是解题的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年下学期寒假作业检查反馈练习 九年级 数学（问卷） 一、单选题（共30分，每题3分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在一个不透明的袋子里有红球．黄球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 4. 若，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若n边形的内角和是720°，则n的值是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，点与对应，且，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接，以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 10. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（ ） A B. C. D. 二、填空题（共18分，每题3．分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是___________． 13. 设，是方程的两个实数根，则的值为____________． 14. 扇形的半径为3cm，弧长为2πcm，则该扇形的面积为______cm2． 15. 如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为________． 16. 如图，一次函数分别与轴、轴交于、两点，为反比例函数图象上一动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴，与反比例函数交于点．若，则点的坐标为__________． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： 18. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，连结，点为线段上一点，且．求证：． 19. 已知 （1）化简A； （2）若，求A的值． 20. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； （2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 21. 如图，已知抛物线与x轴交于点． （1）求m的值和顶点M的坐标； （2）求直线的解析式； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 22. 为了打造“清洁能源示范城市”，广州市年投入资金万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，年在年的基础上增加投入资金万元． （1）从年到年，广州市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）年广州市计划再安装、两种型号充电桩共个．已知安装一个型充电桩需万元，安装一个型充电桩需万元，且型充电桩的数量不多于型充电桩的一半．求、两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 23. 如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°． （1）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）求△ABC的面积； （3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F． ①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长； ②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长． 24. 已知二次函数的图象为抛物线C，一次函数的图象为直线l． （1）求抛物线C的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求k值； （3）当时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P，当为钝角三角形时，求m的取值范围． 25. 如图，中，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，、的对应点分别为、．连接并延长与交于点． （1）如图1，若，则与的数量关系是________； （2）如图2，求证：； （3）如图3，在射线上分别取点、（、不重合），使得，在旋转过程中，当的值最大时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $