精品解析：青海省格尔木市2024-2025学年九年级上学期第一次阶段性质量评估（期末）数学试题

2024年秋季九年级第一次阶段性质量评估 九年级数学 （本试卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 第一部分 选择题（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念． 根据在平面内，把一个图形绕着某点旋转180度，如果旋转后得到的图形能够与原图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形，据此即可解答． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是中心对称图形，故不符合题意； D．是中心对称图形，故符合题意， 故选：D． 2. 函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式．在中其顶点坐标为，对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线． 故选：A． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视，它正在播广告 B. 367人中有两人的生日相同 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打雷后会下雨 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件的定义和随机事件的定义依次判断四个选项即可． 【详解】解：A选项，打开电视，它正在播广告，是随机事件，故A选项不符合题意； B选项，367人中有两人的生日相同，是必然事件，故B选项符合题意； C选项，抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故C选项不符合题意； D选项，打雷后会下雨，是随机事件，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查必然事件和随机事件的定义，熟练掌握这些知识点是解题关键． 4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的两对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的两对角互补得到，计算求解即可得到答案． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ； 故选：A ． 5. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解． 【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1， ∴灰色区域的面积为, ∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6. 如图，P是等边内的一点，连接．若将绕点B旋转到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．根据旋转的性质找到旋转角即可求解． 【详解】解：∵将绕点B旋转到， ∴旋转角为或， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由小路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形，再利用长方形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵小路宽为， ∴种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形． 依题意得：． 故选C． 【点睛】本题考查列一元二次方程、图形的平移，根据平移得出种植草坪的部分可合成一个长方形是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b（ab≠0）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图像的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函数系数对比，即可得到答案． 【详解】解：A选项中，y＝ax2＋b开口朝上 ∴ 又∵y＝ax＋b函数y随x增大而减小 ∴，和二次函数规律不符 ∴A选项错误 B选项中，y＝ax2＋b开口朝下 ∴ 又∵y＝ax＋b函数y随x增大而增大 ∴，和二次函数规律不符 ∴B选项错误 C选项中，y＝ax2＋b开口朝上，且时 ∴且 又∵y＝ax＋b当时， ∴和二次函数规律不符 ∴C选项错误 D选项中，y＝ax2＋b开口朝下，且时 ∴且 ∵y＝ax＋b函数y随x增大而减小，且当时， ∴且 ∴和二次函数规律相符 ∴D选项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图像的性质，从而完成求解． 第二部分 非选择题（共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 点关于原点对称点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 根据关于原点的对称点，横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是． 故答案为：． 10. 把一元二次方程化为一般形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式是，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，掌握一元二次方程的基本形式是解题关键． 将5移到等式的左边，利用完全平方公式将展开，合并同类项，即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先分别计算出自变量为，3时的函数值，然后比较函数值得大小． 【详解】解：把、分别代入得 ，， 所以． 故答案是：． 12. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数小于3的概率是________________． 【答案】 【解析】 【分析】用点数小于3的结果数除以所有可能的结果数即可． 【详解】解：投这个骰子共有6种等可能结果，其中掷的点数小于3的有1、2这2种结果， 所以掷点数小于3的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷事件A可能出现的结果数． 13. 扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检结果如下： 抽取的毛绒玩具数 优等品频数 优等品的频率 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是_______（精确到） 【答案】0.92 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由表中数据可判断频率在0.92附近，利用频率估计概率即可求解． 【详解】解：从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92， 故答案为：0.92． 14. 圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为， ∴底面周长为： 解得：， 故答案为： 15. 如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径，刷子的长度．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据刷子扫过的面积为计算即可． 【详解】解：，， ， ， 刷子扫过的面积为， 故答案为：． 16. 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是_________________. 【答案】(5,2) 【解析】 【详解】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′， ∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°， ∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′， ∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°， ∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′， ∴∠AOC=∠A′OC′． 在△ACO和△A′C′O中， ∵∠ACO=∠A′C′O，∠AOC=∠A′OC′，AO=A′O， ∴△ACO≌△A′C′O（AAS）， ∴AC=A′C′，CO=C′O． ∵A（﹣2，5）， ∴AC=2，CO=5， ∴A′C′=2，OC′=5， ∴A′（5，2）．故答案为（5，2）． 考点：坐标与图形变化-旋转． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 选择适当方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程．运用因式分解法求解即可． 【详解】解：提取公因式得：， 或， ∴，． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出关于原点对称的； （2）请图出绕点逆时针旋转90°后的． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用方格纸特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于坐标原点对称的点、、，再顺次连接即可得出所求的，根据关于坐标原点对称的点，其横坐标互为相反数、纵坐标也互为相反数即可得出、、的坐标； （2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°后的对应点、，再顺次连接即可． 【详解】解：（1）如下图： 为所求三角形，的坐标为（-2，-4）、的坐标为（-1，-1）、的坐标为（-4，-3）； （2）如下图：为所求三角形． 【点睛】 此题主要考查关于原点对称的坐标特征、旋转作图，熟练掌握中点对称和旋转对称的性质是解题关键． 19. 如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角推出，再由等边对等角得到，结合已知条件证明，即可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 20. 如图，中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为． （1）填空： ， （用含t的代数式表示）； （2）当的面积为时，求此时t的值． 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】（1）先求出，则； （2）根据三角形面积公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当运动时间为时，， ∴ ． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去， ∴． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程与几何图形的应用，正确理解题意列出对应的式子和方程是解题的关键． 21. 某初中对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小可从这4部名著中，随机选择1部阅读，她选中《西游记》的概率为______； （2）该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》和《三国演义》这两本书同时被选中的概率．（请用画树状图或列表的方法求解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及《红楼梦》和《三国演义》这两本书同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4部名著， ∴随机选择1部为《西游记》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》和《三国演义》同时被选中的结果有2种， ∴《红楼梦》和《三国演义》同时被选中的概率为． 22. 如图，是的直径，点，均在上，，弦． （1）求直径的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及弧长计算，正确理解题意是解题的关键． （1）由圆周角定理得，，从而可得； （2）连接，由（1）得圆半径为6，再根据计算求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，则， ∵， ∴的半径为6， ∴的长为：． 23. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1） （2）2或6m 【解析】 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 24. 正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． （1）求证： ； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，；由和四边形是正方形，可得，从而得出，利用得出，即可求解； （2）由得，正方形的边长为，从而求出，根据求出的长，设，则，在中，由勾股定理得： ，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的定理及性质． 25. 综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式． （2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P，使得S△BOP＝6S△AOC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交二次函数的图象于点E，求线段DE长度的最大值． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）设二次函数的表达式为，将点代入，可得的值，即可得出二次函数的表达式； （2）设，表示出，再根据，解出n即可得出点E的坐标； （3）由，可求得的函数表达式是． 设，则，可得，即可求出长度的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点、． 设二次函数的表达式为，将点代入， 即 解得 即 该二次函数的表达式为； （2）解：∵、． ∴，． ，． 设，则，且． ∵， ∴， 即．解得． 当时，，解得，． ∴二次函数位于x轴上方的图像上存在点P，使得． 点P的坐标为或． （3）解：设直线BC的表达式为y＝kx+n，由，可得 ∴，解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4， 设，则． ∵． ∴当时，有最大值． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数以及一次函数表达式，分类讨论思想．解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季九年级第一次阶段性质量评估 九年级数学 （本试卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 第一部分 选择题（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视，它正在播广告 B. 367人中有两人的生日相同 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打雷后会下雨 4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，P是等边内的一点，连接．若将绕点B旋转到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b（ab≠0）大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 点关于原点对称点的坐标是 ___________． 10. 把一元二次方程化为一般形式为________． 11. 已知，两点都在二次函数图象上，则，的大小关系为________． 12. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数小于3的概率是________________． 13. 扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 优等品的频数 优等品的频率 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是_______（精确到） 14. 圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______°． 15. 如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径，刷子的长度．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为___________（结果保留）． 16. 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）对应点A′的坐标是_________________. 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 选择适当方法解方程：． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出关于原点对称的； （2）请图出绕点逆时针旋转90°后． 19. 如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线． 20. 如图，中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为． （1）填空： ， （用含t的代数式表示）； （2）当的面积为时，求此时t的值． 21. 某初中对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小可从这4部名著中，随机选择1部阅读，她选中《西游记》的概率为______； （2）该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》和《三国演义》这两本书同时被选中的概率．（请用画树状图或列表的方法求解） 22. 如图，是的直径，点，均在上，，弦． （1）求直径的长； （2）求的长． 23. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 24. 正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． （1）求证： ； （2）当时，求的长． 25. 综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式． （2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P，使得S△BOP＝6S△AOC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交二次函数的图象于点E，求线段DE长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$