17.3 一元二次方程根的判别式 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

17.3 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac。 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系如下： 当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： 首先把一元二次方程化为一般形式； 然后确定a，b，c的值； 接着计算b2-4ac的值； 最后根据b2-4ac的符号判定方程根的情况。 巩固课内例1:两个不相等的实数根 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（　　） A．且 B．且 C． D．且 2．若关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个的值使其符合条件： ． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)取一个合适的的值时，求此时方程的解． 巩固课内例2:两个相等的实数根 1．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（   ） A． B． C．1 D．4 2．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 3．已知关于x的一元二次方程 (1)当a为何值时，方程有两个相等的实数根． (2)在（1）的条件下，求方程的两个相等的实数根． 巩固课内例3:没有实数根 1．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 3．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 类型一、根据判别式判断一元二次方程的实数根 1．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．关于的一元二次方程根的情况是 ． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)是一元二次方程一个实数根，求m的值及方程的另一根． 类型二、求根的判别式的值 1．一元二次方程的根的判别式的值是（    ）． A．21 B．29 C． D． 2．方程的根的判别式的值为 ． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求这个一元二次方程的根的判别式的值（用含有的式子表示）； (2)求证：无论取何值，这个方程总有实数根． 类型一、已知一元二次方程的根求参数的取值范围 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．如果关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 3．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 类型二、已知一元二次方程的根求参数的值 1．若是方程的根，则的值为（   ） A． B． C． D．4 2．关于x的一元二次方程的一个根是2，则 ． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求m的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 类型三、与三角形结合 1．已知、、为三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是(    ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不等三角形 2．已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 3．已知，，是三边的边长，且一元二次方程有两个相等的实数根．试根据条件判断是什么三角形，并说明理由． 类型一、参数求整 1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ． 3．已知关于的方程．（其中为常数） (1)当的范围为何时，方程有两个不相等的实数根； (2)在（1）的结果中，取满足的范围的最小整数，并算出该方程的根． 类型二、新定义问题 1．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美”方程，已知是“完美”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 3．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两不相等实数根 D．无法判断 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 4．若关于的一元二次方程有实数根．则实数的取值范围是 ． 5．已知关于的方程有两个相等的实数根，则 ． 6．满足的所有实数对，使取最小值，此最小值为 ． 7．在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 8．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此时方程的根． 9．对于实数a、b定义运算“※”为，例如：． (1)若，求x的值； (2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”． 根据所获信息解决下列问题： (1)以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号） ①，②； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (3)若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.3 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac。 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系如下： 当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： 首先把一元二次方程化为一般形式； 然后确定a，b，c的值； 接着计算b2-4ac的值； 最后根据b2-4ac的符号判定方程根的情况。 巩固课内例1:两个不相等的实数根 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（　　） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】此题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，且，即可求出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， ∴a的取值范围为且． 故选：A 2．若关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个的值使其符合条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．先求出的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴的值可以为0． 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)取一个合适的的值时，求此时方程的解． 【答案】(1) (2)当时，该方程的解为． 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据判别式的定义可得，然后解不等式即可； （2）根据（1）所得的m的取值范围确定一个符合条件的m的值代入方程，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴m的可以取， ∴当时，有， 则， 解得：． 巩固课内例2:两个相等的实数根 1．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 2．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据判别式的意义得到，然后代入所求的式子计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．已知关于x的一元二次方程 (1)当a为何值时，方程有两个相等的实数根． (2)在（1）的条件下，求方程的两个相等的实数根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系． （1）求出根的判别式，令根的判别式等于0，解出即可； （2）将a值代入，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴当时，方程有两个相等的实数根． （2）解：∵， ∴方程为， ∴， 解得． 巩固课内例3:没有实数根 1．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式．根据题意计算和零的关系，继而得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：D． 2．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式的计算是解题的关键．根据根的判别式进行计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， 解得且， 故答案为：且． 3．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 解得，； （2）解：∵该方程无实数根， ∴， 解得， 即若该方程有无数根，的取值范围是． 类型一、根据判别式判断一元二次方程的实数根 1．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．根据数轴上表示的点的值和根的判别式，判定根的情况有两个不相等实数根． 【详解】解：由数轴看出，， ∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 2．关于的一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把原方程整理成一般形式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)是一元二次方程一个实数根，求m的值及方程的另一根． 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一根为 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握根的判别式的内容是解决此题的关键． （1）先计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）把代入原方程得出m的值，再将代入原方程，然后解方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程：， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：把代入原方程得：， ∴， ∴代入原方程得：， 解得：， ∴m的值为4，方程的另一根为． 类型二、求根的判别式的值 1．一元二次方程的根的判别式的值是（    ）． A．21 B．29 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式．一元二次方程的根的判别式为． 根据根的判别式的定义，计算的值即可． 【详解】∵， ∴． 故选：B． 2．方程的根的判别式的值为 ． 【答案】37 【分析】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式是解题的关键． 首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：37． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求这个一元二次方程的根的判别式的值（用含有的式子表示）； (2)求证：无论取何值，这个方程总有实数根． 【答案】(1)这个一元二次方程的根的判别式的值为 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）由题可知，，，，根据求解即可 （2）由（1）知，，进而结论得证． 【详解】（1）解：∵， 这里，，， ∴ ， 即：这个一元二次方程的根的判别式的值为； （2）证明：由（1）可知， 这个一元二次方程的根的判别式， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根． 类型一、已知一元二次方程的根求参数的取值范围 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．由一元二次方程定义得出二次项系数；由方程有两个不相等的实数根，得出，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：， 解得：且； 故选：C． 2．如果关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：． 3．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式并正确求解一元二次方程是解题的关键； （1）由题意得，解不等式即可； （2）根据（1）求得的k的范围可得到k的最大整数值，代入方程中并解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得． （2）解：由，得满足条件的的最大整数值为3， 则原方程化为， ∴， 解得，． 类型二、已知一元二次方程的根求参数的值 1．若是方程的根，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了由方程的根求参数，理解方程的根，代入计算是解题的关键． 根据题意，把代入计算即可． 【详解】解：若是方程的根， ∴， 解得，， 故选：A ． 2．关于x的一元二次方程的一个根是2，则 ． 【答案】8 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故答案为：8． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求m的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了方程的根及根的判别式，解题的关键是理解并掌握根的定义及根的判别式． （1）根据方程根的定义，将代入方程中，即可解得m的值； （2）根据一元二次方程根的判别式进行计算，得出，即可得证； 【详解】（1）∵方程的一个根为3， ∴将代入方程中，得到： 解得： （2）∵关于x的一元二次方程中， ， ， ∴该方程总有两个不相等的实数根； 类型三、与三角形结合 1．已知、、为三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是(    ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不等三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出关于的等式，因式分解后即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即 ∴ ∴或 ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，因式分解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 2．已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 【答案】15或16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的根的判别式，先进行分类讨论，即当，或当，代入解出；再或者为腰长时，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形 ∴当，则把代入 得出 解得 同理：∴当，则把代入 得出 解得 当为腰长时，方程 则 解得 故答案为：15或16 3．已知，，是三边的边长，且一元二次方程有两个相等的实数根．试根据条件判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，因式分解的应用，等腰三角形的判定，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出，解出，即可作答． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理，得， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 类型一、参数求整 1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且 又∵为整数， ∴整数的最大值是， 故选：C． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程有两个不相等实数解可得m的取值范围，再解分式方程得到且，最后结合整数解可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数解， ∴，且， 即且， 解关于y的分式方程，可得； ∴或或， ∵且，，y为整数，即， ∴或或， ∴足条件的所有整数m的和为：． 故答案为：． 3．已知关于的方程．（其中为常数） (1)当的范围为何时，方程有两个不相等的实数根； (2)在（1）的结果中，取满足的范围的最小整数，并算出该方程的根． 【答案】(1)当的范围为何时，方程有两个不相等的实数根． (2)，． 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式列关于k的不等式，然后解不等式即可； （2）求得最小整数，进然后化简得到方程，最后解方程即可． 【详解】（1）解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：． ∴当的范围为何时，方程有两个不相等的实数根． （2）解：由得最小整数， ∴方程为，解得，． 类型二、新定义问题 1．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美”方程，已知是“完美”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键． 根据“完美”方程的定义，方程有两个相等的实数根即根的判别式等于零，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程（）是“完美”方程， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故选A． 2．定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①将代入的倒方程求出的值即可作出判断； ②利用和根的判别式进行判断即可； ③确定倒方程的判别式与零的关系即可作出判断； ④解一元二次方程与它的倒方程构成的方程组即可作出判断； 【详解】解：①∵的倒方程是， 又∵是的倒方程的解， ∴， 解得：，故结论①正确； ②一元二次方程是一元二次方程的倒方程， ∵， ∴， ∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故结论②正确； ③∵一元二次方程无解， ∴， ∴， ∵一元二次方程的倒方程是， 又∵， ∴它的倒方程也无解，故结论③正确； ④∵一元二次方程与它的倒方程有相同的根， ∴ 解得：， ∴这个根一定是，故结论④错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查倒方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元一次方程，解方程组．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 3．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)①证明见解析；②存在，的值为 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】（1）解：①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故选：①③． （2）解：①证明：， ， 此方程一定是“美好方程”． ②存在，理由如下： ， ，， 始终在函数的图象上， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1． 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两不相等实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两不相等实数根； 故选C． 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式，根据一元二次方程根的情况得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，根据一元二次方程的定义得到二次项系数不等于，解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且， 故选：A． 4．若关于的一元二次方程有实数根．则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式，掌握根的判别式，求不等式的解集的方法是解题的关键． 根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根；再根据不等式的性质求解即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，即， 解得：， 故答案为：． 5．已知关于的方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据判别式的值为0，构建方程求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 6．满足的所有实数对，使取最小值，此最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次不等式；设，则，代入整理得关于x的一元二次方程，由题意可知，方程恒有解，根据判别式可得，再解不等式即可求得最小值． 【详解】解：设，则， ， ， 整理得， 则， 即， 由知： （i），或（ii）， 由（i）解得：， 由（ii）解得：无解， ∴的解集为：， 故取最小值，此最小值为． 7．在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）证明根的判别式即可； （2）证明根的判别式即可． 【详解】（1）证明：若，则方程为， ， 原方程有实根； （2）证明：、异号，， ， ， 原方程有两异实根． 8．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元二次方程． （1）根据方程有两个不相等的实数根得出，求出m的取值范围即可； （2）根据（1）中m的取值范围及m为正整数得出m的值，求出方程的根即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， 即， ∴或， ∴，． 9．对于实数a、b定义运算“※”为，例如：． (1)若，求x的值； (2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数． （1）根据新定义得出关于x的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可． （2）根据新定义得出关于x的一元二次方程，再根据方程有两个相等的实数根，即可得出m的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，． （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”． 根据所获信息解决下列问题： (1)以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号） ①，②； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (3)若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”． 【答案】(1)② (2)0 (3) 【分析】（1）据倍根方程定义判断即可； （2）根据是倍根方程，且，得到或，从而得到或，进而得到； （3）根据题干信息得出，根据在一次函数的图象上，得出，求出m、n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：①， ， ，， ∴方程不是倍根方程； ②， ，， ∴方程是倍根方程； （2）解：由得： ，， ∵方程是倍根方程， ∴或， ∴或， ∴或， ∴； （3）解：∵关于的一元二次方程是“倍根方程”， ∴根据题意得：， ∴， ∵在一次函数的图象上， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此倍根方程为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$