17.2 一元二次方程的解法 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

17.2 一元二次方程的解法 一、直接开平方法 这是一种相对简单直接的解法，适用于形如的一元二次方程，其解为。 二、配方法 配方法的步骤包括：移项、化二次项系数为1、方程两边加上一次项系数的一半的平方、原方程变形为(x+m)2=n的形式，最后开平方求解。 三、公式法 公式法是基于一元二次方程的求根公式来求解的。首先需要理解求根公式的推导过程，然后准确地将方程的系数代入公式，进行计算求解。 四、因式分解法 因式分解法适用于可以分解为两个一次因式乘积的一元二次方程。通过将方程左边进行因式分解，然后令每个因式等于零，分别求解得到方程的解。 巩固课内例1:一元二次方程的解法——直接开平方法 1．方程 的两个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 则，， 故选：A． 2．关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为： ． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ， 巩固课内例2:一元二次方程的解法——配方法 1．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程配方法的运用，掌握配方法的操作方法是解题的关键． 根据题意找到一次项的系数，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时加上得到， ∴， 故选：B ． 2．一元二次方程配方为，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题关键．将原方程变形为的形式，即可得出k的值． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：2． 3．用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 【答案】，，，，，，，， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 按照配方法解一元二次方程的一般步骤补全整个计算过程即可． 【详解】解：用配方法解一元二次方程如下： ， 整理，得：， 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 即：， 开方，得：， 解得：，， 故答案为：，，，，，，，，． 巩固课内例3:一元二次方程的解法——公式法 1．下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 根据一元二次方程的求根公式计算判断即可．一元二次方程，当时，． 【详解】因为一元二次方程的根是，所以A符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以B不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以C不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以D不符合题意． 故选：A． 2．一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，把方程化为一般式，从而得到c的值，即可求解；正确理解一元二次方程的、、及求根公式是解决问题的关键． 【详解】解：方程化为一般式为， 所以c的值为， 故答案为：． 3．用适当的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．利用公式法即可求解此题． 【详解】解：由题意得： ∴ 巩固课内例4:一元二次方程的解法——因式分解法 1．方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解： ∴或 解得： 故选：B． 2．若等腰△两边的长分别是一元二次方程的两个解，则等腰△的周长为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，先解方程，然后根据三边关系和等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得， ， 解得：，， ∵等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解， ∴当三边为，，，能构成三角形，则等腰得周长为； 当三边为，，，能构成三角形，则等腰得周长为； 故等腰△的周长为或， 故答案为：或． 3．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解的方法． （1）根据因式分解法即可求解； （2）根据因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：原方程左边因式分解可得， ， 即 或， ∴ ，； （2）解：原方程左边因式分解可得， ， 即 或， ∴ ，． 类型一、解一元二次方程——直接开平方法 1．方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程-直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法解方程．利用直接开方法解方程． 【详解】解：, 故选：C. 2．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，选择合适的方法是解题的关键； 直接利用开平方的方法求解即可； 【详解】解： ，． 故答案为：，． 3．用适当的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解： 或 解得：． 类型二、解一元二次方程——配方法 1．用配方法解方程变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选B． 2．用配方法解方程时，可将方程变为 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． 故答案为：． 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得． 类型三、解一元二次方程——公式法 1．在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 2．一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 【答案】 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程．根据求根公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， 则， ∴， 解得：． 类型四、解一元二次方程——因式分解法 1．若正数是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．0 B． C．5 D．0或5 【答案】C 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟记因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． 提公因式得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 解得：， ∴正数， 故选：C． 2．一元二次方程的解为 ． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成两个一元一次方程，将方程转化成两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 或， ，， 故答案为： ， ． 3．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：配方，得， 即， 开平方，得， ∴，； （2）解：移项，得， 则 ∴或， ∴，． 类型一、求根公式 1．一元二次方程的求根公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，掌握求根公式成为解题的关键． 根据题意直接运用求根公式即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴该方程有两个实数根， ∴． 故选C． 2．求方程的根时，根据求根公式，列式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了求根公式，解题的关键是掌握求根公式． 对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 故， 故答案为：． 3．如图是投影屏上显示的一元二次方程在时求根公式的推导过程． ① ． ． ∵． ∴② ． ③ ． (1)写出横线上符号所代表的内容． ①代表______；②代表______；③代表______； (2)用配方法解方程． 【答案】(1)①（或）；②；③ (2)， 【分析】（1）根据求根公式的推导过程即可求解． （2）利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：求根公式的推导过程： ， ， 或， ， ∵， ∴， ， 故答案为：（或）；；． （2），移项并两边同时除以2，得：， 配方，得：，即， 开平方，得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握其推导过程及配方法解一元二次方程是解题的关键． 类型二、解一元二次方程——换元法 1．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及非负数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 设，根据题意可得，整理并求出的值，结合，确定符合题意的的值，即可获得答案． 【详解】解：设，根据题意可得， 整理可得， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． 故选：B． 2．已知：，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查解一元二次方程，令，原方程变形为，求出解后根据进行取舍即可． 【详解】解：令，原方程变形为， 即， 解得，， ， ， 故答案为：5． 3．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中求解方法是解答的关键．设，则原方程可化为，解方程得，，再解方程和，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根，舍去； 当时， ，即， 解得，， ∴原方程的解为，． 类型一、规律问题 1．图形“□”，“●”按如图所示的规律拼图案，图①中有4个“□”，4个“●”，图②中有9个“□”，12个“●”，图3中有16个“□”，24个“●”，……，按此规律排列下去，则同一幅图中“□”和“●”的个数不符合规律的是（    ） A．25，40 B．36，60 C．100，160 D．121，220 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律即可解决问题．据此可以求得答案． 【详解】解：第1个图形中有个“□”，个“●”； 第2个图形中有个“□”，个“●”； 第3个图形中有个“□”，个“●”； ； 第n个图形中有个“□”， 个“●”（n为正整数）； 当时，； 当时，； 当时，不是正整数； 当时，； 故选：C． 2．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆．第3个图形有16个小圆．第4个图形有24个小圆……依此规律，第 个图形有76个小圆． 【答案】8 【分析】本题考查了图形类规律探索，解一元二次方程，能够根据图形发现规律是解题的关键．先根据图形得出规律，进而得到一元二次方程，求解即可． 【详解】解：由图可知：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆．第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆……依此规律，第n个图形有个小圆， ∴当时，（舍去）， 故答案为：8． 3．根据表格中的信息回答后面提出的问题． 方程 方程的根， 第1个方程 ， 第2个方程 ， 第3个方程 ， 第4个方程 ， … … … (1)请你根据上表中的规律猜想：第5个方程为______，第5个方程的根为______，______． (2)你能猜想出第个方程及其方程的根吗？请用公式法证明猜想的正确性． 【答案】(1)，，6 (2)第个方程为，第个方程的根为，，详见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法、公式法： （1）利用所给方程的一次项系数和常数项与序号数的关系写出第5个方程，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用所给方程的一次项系数和常数项与序号数的关系写出第个方程和方程的解，然后利用公式法解方程检验猜想的结论． 【详解】（1）解：第5个方程为，第5个方程的根为，； 故答案为：，，6； （2）解：第个方程为，第个方程的根为，． 理由如下：，，， ， ， ，． 类型二、新定义问题 1．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，根据新定义，列出一元二次方程进行求解后，再进行乘法计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选C． 2．对于实数，，定义运算“※”：．如，因为，所以．若，是方程的两个根，则 ． 【答案】16或24 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，首先解方程，再根据运算“※”： ※，求出的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：或6， ①当时，； ②当时，． 故答案为：16或24． 3．定义：若关于x的一元二次方程中的常数项c是该方程的一个根，我们就将该一元二次方程叫做常数根方程．例如，对于一元二次方程，因为是该方程的一个根，所以该方程是常数根方程． (1)下列方程是常数根方程的有__________（填序号）： ①；②；③； (2)已知关于x的一元二次方程是常数根方程，求m的值． 【答案】(1)①③ (2)0或 【分析】本题考查一元二次方程与新定义常数根方程、解一元二次方程． （1）将各方程的常数项分别代入方程，验证是否是方程的根，即可判定方程是否为常数根方程； （2）根据常数根方程的定义将，代入方程得，解方程即可得出m的值． 【详解】（1）解：①将代入得即， 故是常数根方程； ②将代入得即不成立， 故不是常数根方程； ③将代入得即， 故是常数根方程； 故答案为：①③； （2）解：是常数根方程， 方程的一个根为，代入方程得，解得或， 即m的值为0或． 类型三、配方法的应用 1．已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用；直接利用完全平方公式分解因式进而利用偶次方的性质分析得出即可． 【详解】∵， ， ∴，则 故选：B． 2．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 3．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， 的最大值为5． 1．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程． 解方程：． 解：， ， ∴__△_ ∴=（△）， 或， ． 若以上解答过程正确，则“△”“△”应分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解方程：． 解：， ， ， ∴， ∴=， 或， ，． 故选：A 2．一元二次方程配方可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键．将常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 3．如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，再变形为，结合非负数的性质即可得解． 【详解】解：∵正实数，满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 4．方程的解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 可得， 故答案为：． 5．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 将一个根0代入，得，解得，由一元二次方程定义，可知，解得，进而求出k值． 【详解】解：由题意， 将一个根0代入，得 ， 解得， 由一元二次方程定义，可知， 解得， ∴， 故答案为：． 6．若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程的两根满足关系式是解答的关键．由方程的两根为，得出方程的两根满足关系式，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 7．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）先移项，再用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解答：； （2）解：， ， 或， 解得：． 8．解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴； （2）解： 或 解得：． 9．某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的“”，“○”，“☆”，“”表示的数即可； （2）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ ∴， 两边直接开平方得：， 解得：， ∴“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 直接开平方法得：， 解得：． 10．为进一步推进绿美花都生态建设，某景区计划在相邻的甲、乙两块空地上修建一块长方形绿地（不能超过原有范围），作为网红打卡点．已知甲、乙两块空地的各边长如图所示（单位为m，且），它们的面积分别为和． (1)甲空地的周长为________________m；（用含a的代数式表示，结果化为最简） (2)请比较和的大小关系，并说明理由； (3)①为了达到最佳效果，景区要求新修建的长方形绿地面积要尽量大，请你用含a的代数式表示出该长方形绿地的最大面积S； ②若，请求出①中S的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了列代数式和求代数式的值，整式运算的应用，因式分解法求解一元二次方程，能根据题意用含a的代数式分别表示出图中各部分的面积是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可解决问题． （2）利用作差法即可解决问题． （3）①根据题意，得出当长方形的一边长为，另一边长为时面积最大，再结合长方形的周长公式进行表示即可． ②由甲的面积求得出a的值，再代入①中进行计算即可． 【详解】（1）解：由题得，甲空地的周长为：； 故答案为：． （2）解：． 理由：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：当长方形的一边长为，另一边长为时面积最大， 此时长方形的面积． ②当时， ， 解得，（舍去）． 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.2 一元二次方程的解法 一、直接开平方法 这是一种相对简单直接的解法，适用于形如的一元二次方程，其解为。 二、配方法 配方法的步骤包括：移项、化二次项系数为1、方程两边加上一次项系数的一半的平方、原方程变形为(x+m)2=n的形式，最后开平方求解。 三、公式法 公式法是基于一元二次方程的求根公式来求解的。首先需要理解求根公式的推导过程，然后准确地将方程的系数代入公式，进行计算求解。 四、因式分解法 因式分解法适用于可以分解为两个一次因式乘积的一元二次方程。通过将方程左边进行因式分解，然后令每个因式等于零，分别求解得到方程的解。 巩固课内例1:一元二次方程的解法——直接开平方法 1．方程 的两个根是（   ） A． B． C． D． 2．关于的方程的解是 ． 3．解方程：． 巩固课内例2:一元二次方程的解法——配方法 1．用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程配方为，则的值是 ． 3．用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 巩固课内例3:一元二次方程的解法——公式法 1．下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ． 3．用适当的方法解方程：． 巩固课内例4:一元二次方程的解法——因式分解法 1．方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 2．若等腰△两边的长分别是一元二次方程的两个解，则等腰△的周长为 ． 3．解下列方程： (1) (2) 类型一、解一元二次方程——直接开平方法 1．方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．方程的根是 ． 3．用适当的方法解下列方程． (1) (2) 类型二、解一元二次方程——配方法 1．用配方法解方程变形正确的是（  ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，可将方程变为 3．解方程： (1) (2) 类型三、解一元二次方程——公式法 1．在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 2．一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 3．解方程： (1)； (2)． 类型四、解一元二次方程——因式分解法 1．若正数是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．0 B． C．5 D．0或5 2．一元二次方程的解为 ． 3．解下列方程 (1)； (2)． 类型一、求根公式 1．一元二次方程的求根公式是（    ） A． B． C． D． 2．求方程的根时，根据求根公式，列式为，则的值为 ． 3．如图是投影屏上显示的一元二次方程在时求根公式的推导过程． ① ． ． ∵． ∴② ． ③ ． (1)写出横线上符号所代表的内容． ①代表______；②代表______；③代表______； (2)用配方法解方程． 类型二、解一元二次方程——换元法 1．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 2．已知：，则 ． 3．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 类型一、规律问题 1．图形“□”，“●”按如图所示的规律拼图案，图①中有4个“□”，4个“●”，图②中有9个“□”，12个“●”，图3中有16个“□”，24个“●”，……，按此规律排列下去，则同一幅图中“□”和“●”的个数不符合规律的是（    ） A．25，40 B．36，60 C．100，160 D．121，220 2．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆．第3个图形有16个小圆．第4个图形有24个小圆……依此规律，第 个图形有76个小圆． 3．根据表格中的信息回答后面提出的问题． 方程 方程的根， 第1个方程 ， 第2个方程 ， 第3个方程 ， 第4个方程 ， … … … (1)请你根据上表中的规律猜想：第5个方程为______，第5个方程的根为______，______． (2)你能猜想出第个方程及其方程的根吗？请用公式法证明猜想的正确性． 类型二、新定义问题 1．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．对于实数，，定义运算“※”：．如，因为，所以．若，是方程的两个根，则 ． 3．定义：若关于x的一元二次方程中的常数项c是该方程的一个根，我们就将该一元二次方程叫做常数根方程．例如，对于一元二次方程，因为是该方程的一个根，所以该方程是常数根方程． (1)下列方程是常数根方程的有__________（填序号）： ①；②；③； (2)已知关于x的一元二次方程是常数根方程，求m的值． 类型三、配方法的应用 1．已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 3．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 1．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程． 解方程：． 解：， ， ∴__△_ ∴=（△）， 或， ． 若以上解答过程正确，则“△”“△”应分别为（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程配方可变形为（   ） A． B． C． D． 3．如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 4．方程的解 ． 5．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为 ． 6．若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 7．解方程： (1) (2) 8．解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 9．某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 10．为进一步推进绿美花都生态建设，某景区计划在相邻的甲、乙两块空地上修建一块长方形绿地（不能超过原有范围），作为网红打卡点．已知甲、乙两块空地的各边长如图所示（单位为m，且），它们的面积分别为和． (1)甲空地的周长为________________m；（用含a的代数式表示，结果化为最简） (2)请比较和的大小关系，并说明理由； (3)①为了达到最佳效果，景区要求新修建的长方形绿地面积要尽量大，请你用含a的代数式表示出该长方形绿地的最大面积S； ②若，请求出①中S的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$