精品解析：吉林省长春市农安县2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

2024-2025学年吉林省长春市农安县九年级（上）期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的值可以是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点A、B，如果线段与网格线的其中两个交点为M、N，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 与周长比为 C. D. 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若，则的值是________． 10. 抛物线的顶点坐标为___________． 11. 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 _________%． 12. 如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为________米． 13. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是________________． 14. 函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 17. 如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字6，2，1；转盘B被四等分，分别标有数字．（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘） （1）转动转盘B一次，转盘停止时，指针指向偶数的概率为________； （2）同时转动两个转盘，转盘停止时，求两个指针指向的数字之和大于0的概率．（画树状图或列表法） 18. 图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上． （1）在图①中，在右侧找到格点，使； （2）在图②中，画出，使； （3）在图③中，画射线，使平分四边形的面积． 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）设矩形的边，则边的长度是多少？（用含有x的代数式表示） （2）当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 20. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 21. 定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形． 利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ． 22. 【定义】如图①，若内一点P满足，则点P为的布洛卡点． 【探究】（1）如图②，在中，，点P是的一个布洛卡点． 求证：． 【应用】（2）如图③，在【探究】的条件下，若，且．判断AP与CP的数量关系，并说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，抛物线经过点B，且与x轴交于点和点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接， ，当四边形的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形的最大面积是多少． 24. 如图，在中，为斜边的中线．点P从点A出发，沿以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作于E，于F，得到四边形与四边形的一边交于点G，连结．设点P的运动时间为t秒． （1）求线段的长．（用含t的代数式表示） （2）当四边形是正方形时，求t的值． （3）当将四边形的面积分为两部分时，求t的值． （4）作点G关于直线的对称点，当点落在四边形内部时，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省长春市农安县九年级（上）期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得． 【详解】根据题意知≥0， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项：，故A选项错误； B选项：由于与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误. 故本题应选C. 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的值可以是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由“关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根”可得，解不等式即可求出的取值范围，然后从各选项中选择合适的值即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 四个选项中只有选项满足要求， 故选：． 5. 如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点A、B，如果线段与网格线的其中两个交点为M、N，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，在网格中找到平行的线段是解题的关键，根据线段成比例即可解答． 【详解】解：如图所示： 由题意可知 故选C． 6. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可． 【详解】解∶ 抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选∶D． 7. 如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 与周长比为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换得到，，，则，，与周长比为，，即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴，，与周长比为， ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由，根据比例的性质，即可求得，继而求得的值． 【详解】∵ ， ∴， 即， ∴ ． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）. 10. 抛物线的顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是会将函数解析式化为顶点式． 将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 11. 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 _________%． 【答案】10％ 【解析】 【分析】设平均每年下降的百分率是x，利用原有降尘量乘以（1-平均每年下降的百分率）2=现在降尘量，列出方程解答即可． 【详解】设平均每年下降的百分率是x， ， 解得x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）， 答：平均每年下降的百分率是10%， 故答案为：10%． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题，正确理解题意并掌握增长率问题计算公式是解题的关键． 12. 如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为________米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，解题的关键是根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，建立合适的平面直角坐标系． 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出时，x的值，即可得答案． 【详解】解：如下图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 设这条抛物线的解析式为，由抛物线经过点，可得， 解得：， 这段抛物线表示的二次函数为， 由已知得，两盏景观灯的纵坐标都是， ， 解得：， 两盏景观灯之间的水平距离是5米， 故答案为：5． 13. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理、三角形的中位线等知识点，掌握三角形的中位线等于第三边的一半成为解题的关键． 如图：连接，根据三角形的中位线可得，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得： ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定. 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】①由图象可知：抛物线与轴无交点，即 故此选项正确； ②由图象可知：抛物线过点，即当时, 故此选项错误； ③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和， 当时, 当 时, ， ， 故③正确； ④由图象可知，当 时，抛物线在直线的下方, 即当时, ， 故此选项正确； 故答案为: ①③④. 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂、特殊角的三角函数值是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先根据零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算，然后把化简后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解； （2）用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解：因式分解得， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：方程两边同除以2得， 方程两边同时开平方得， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． 17. 如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字6，2，1；转盘B被四等分，分别标有数字．（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘） （1）转动转盘B一次，转盘停止时，指针指向偶数的概率为________； （2）同时转动两个转盘，转盘停止时，求两个指针指向的数字之和大于0的概率．（画树状图或列表法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到和大于0的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4个数，其中偶数有2个，且每个数被转到的概率相同， ∴转动转盘B一次，转盘停止时，指针指向偶数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中和大于0的结果数有4种， ∴同时转动两个转盘，转盘停止时，求两个指针指向的数字之和大于0的概率为． 18. 图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上． （1）在图①中，在右侧找到格点，使； （2）在图②中，画出，使； （3）在图③中，画射线，使平分四边形的面积． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 如图所示，射线即为所求． 【解析】 【分析】（）取格点，连接，由网格可得，，即，故点即为所求； （）取格点，由网格可得，，即，故即为所求； （）取格点，画射线，由网格可得，即射线即为所求． 本题考查了网格作图，根据网格特点求出图形的面积是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）设矩形的边，则边的长度是多少？（用含有x的代数式表示） （2）当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 【答案】（1） （2）羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）用栅栏长减去长的两倍再加上的长即可得到答案； （2）根据（1）所求结合矩形面积计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，，； 当时，，； 答：羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为． 20. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，路程与速度和时间的关系，是解题关键． （1）过B点作于C，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的值，结合山高即可求出的值； （2）在中，求得的长，再计算段和段所用时间和即得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过B点作于C， 则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：登山缆车上升的高度； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， 答：从山底A处到达山顶处大约需要． 21. 定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形． 利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ． 【答案】（1）见解析 （2）矩形 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）连接，根据中位线定理，得出进而得出，，即可求证； （2）根据三角形的中位线定理得出，结合推出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴ ∴，， ∴四边形是平行四边形；         【小问2详解】 解：∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 22. 【定义】如图①，若内一点P满足，则点P为的布洛卡点． 【探究】（1）如图②，在中，，点P是的一个布洛卡点． 求证：． 【应用】（2）如图③，在【探究】的条件下，若，且．判断AP与CP的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【解析】 【分析】（1）找，证明过程利用等腰三角形的性质及布洛卡角的概念，通过找出三个角分别对应相等来证明； （2）根据是等腰直角三角形，得到，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，于是得到，，即可得到． 【详解】（1）证明：， ， 点是的一个布洛卡点， ， ； （2）解：， 理由：是等腰直角三角形， ， 由（1）知， ， ，， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了新概念问题、等腰三角形、等腰直角三角形、相似三角形的判定定理和性质、涉及知识点多，综合性强，解题的关键是：通过阅读材料，弄明白题中的新定义或新概念，然后利用概念及灵活运用所学知识点进行解答． 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，抛物线经过点B，且与x轴交于点和点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接， ，当四边形的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形的最大面积是多少． 【答案】（1） （2），面积最大为16 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质结合，的长度可得出点A，C，B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点E的坐标，连接，过点P作轴，交于点F，交于点G，设点P的坐标为，利用，即可得出关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出结论． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴点， ∵抛物线经过点B，且与x轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如答图1，连接，过点P作轴，交于点F，交于点G， 当时， 解得，， ∴， 设直线为， 将代入可得， ， 解得， ∴直线为， 设点P的横坐标为m，则， ∵轴，点F在上，点G在上， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴函数有最大，当时，， 此时四边形的面积最大为16． 【点睛】本题考查了矩形的性质、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用分割图形求面积法，找出四边形的面积关系m的函数关系式． 24. 如图，在中，为斜边的中线．点P从点A出发，沿以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作于E，于F，得到四边形与四边形的一边交于点G，连结．设点P的运动时间为t秒． （1）求线段的长．（用含t的代数式表示） （2）当四边形是正方形时，求t的值． （3）当将四边形的面积分为两部分时，求t的值． （4）作点G关于直线的对称点，当点落在四边形内部时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）t的值为秒或秒 （4）或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，利用勾股定理求得的长，由题意得，利用正弦函数的定义即可求得； （2）根据正方形的性质得到，据此列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，当和时，画出图形，分别列式计算即可求解； （4）分别求得点在四边形各边上时t的值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 由题意得，， ∴； 【小问2详解】 由（1）得， ∴， 当四边形是正方形时，则，即， 解得； 【小问3详解】 分两种情况讨论， 当时，如图， ∵为斜边的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得； 当时，如图， 同理得，由，即， ∴，解得； 综上，t的值为秒或秒； 【小问4详解】 ∵点G与点关于直线对称， ∴， 当点落在边上时，如图， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 由（3）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当点落在边上时，如图， 此时四边形是正方形， ； ∴； 当点与点D重合时，此时， 则； 当点落在边上时，如图， 同理，四边形是菱形，求得， ， 依题意得， 解得； ∴； 综上，当点落在四边形内部时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、菱形的判定和性质、解直角三角形，解答的关键是熟练掌握相关知识的性质及其应用，学会利用参数建立方程，学会用分类讨论和数形结合思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $